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1、2019-2020 年中考数学专题复习第5 章四边形第 16 讲特殊的平行四边形? 归纳一矩形1. 定义 : 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2. 性质矩形的四个角都是直角矩形的对角线互相平分并且相等矩形是一个轴对称图形，它有 2 条对称轴，矩形是一个中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3. 判定有 1 个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形? 归纳二菱形1. 定义: 有一组邻边相等的平行四边形是菱形2. 性质菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直平分每条对角线平分一组对角菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点3. 判
2、定四条边相等的四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形? 归纳三正方形1. 定义 : 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2. 性质正方形对边平行正方形四边相等正方形四个角都是直角正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形既是轴对称图形也是 中心对称图形，对称轴有 4 条，对称中心是对角线的交点3. 判定有一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形? 【常考题型剖析】?题型一、矩形的应用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
3、 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【例 1】 （xx 营口）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若 ACB=30 ， AB=2 ，则 OC的长为（）A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】 A 【分析】根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4 ，再根据矩形的对角线互相平分解答【解答】解：在矩形ABCD中， ABC=90 ， ACB=30 ， AB=2 ，AC=2AB=2 2=4，四边形 ABCD 是矩形，OC=OA=AC=2 【举一反三】1. (xx无锡 ) 如图 1，矩形 ABCD 的面积是 15，边 AB的长比 AD的长大 2，则
4、AD的长是图 1 图 2 【答案】 3 【分析】根据矩形的面积公式，可得关于AD的方程，根据解方程，可得答案【解答】解：由边AB的长比 AD的长大 2，得AB=AD+2 由矩形的面积，得AD （AD+2 ）=15解得 AD=3 ，AD=-5（舍去）2. (xx成都 )如图 2，在矩形ABCD 中， AB=3 ，对角线AC ，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点 E，则 AD的长为【答案】【分析】因为AE垂直平分 OB ，所以， AB AO 3，BD AC 2AO 6，AD 3. (xx岳阳 ) 如图，在矩形ABCD 中，点 E在边 AB上，点 F在边 BC上，且 BE=CF ，EF DF ，求
5、证： BF=CD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【分析】由四边形ABCD 为矩形，得到四个角为直角，再由EF与 FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形BEF与三角形 CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证【解答】证明：四边形ABCD 是矩形， B=C=90 ，EFDF，EFD=90 ， EFB+ CFD=90 ， EFB+ BEF=90 ， BEF=
6、 CFD ，在 BEF和 CFD中，BEFCFDBECFBC BEF CFD （ASA ） ，BF=CD ?题型二、菱形的应用【例 2】 （xx 莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A. 对边相等 B. 对角相等C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直【答案】 D 【解答】解菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直【例 3】 （xx 遵义）如图，在?ABCD中，对角线AC与 BD交于点 O ，若增加一个条件，使?ABCD 成为菱形，下列给出的
7、条件不正确的是（）A. AB=AD B. ACBD C. AC=BD D. BAC= DAC 【答案】 C 【解答】解： A、根据菱形的定义可得，当AB=AD 时?ABCD 是菱形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，?ABCD 是菱形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - D、 BAC= DAC 时，?ABCD 中， AD BC ， ACB= D
8、AC ， BAC= ACB ，AB=BC ，?ABCD 是菱形 BAC= DAC 故命题正确【举一反三】4. (xx无锡 ) 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）A. 对角线相等 B. 对角线互相平分C. 对角线互相垂直D. 邻边互相垂直【答案】 C 【解答】解： （A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有5. (xx湘西州 ) 如图 4，已知菱形ABCD 的两条对角线长分别为AC=8和 BD=6 ，那么，菱形ABCD的面积为图 5
9、 图 6 【答案】 24 【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半进行计算即可【解答】解：菱形的面积= 6. (xx南充 ) 如图 5，菱形 ABCD 的周长是 8cm，AB的长是 cm【答案】 2 【分析】根据菱形的四边相等即可解决问题【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB=BC=CD=DA，AB+BC+CD+DA=8cm，AB=2cm ，AB的长为 2cm ?题型三、正方形的应用【例 4】 （xx 兰州市） ?ABCD 的对角线 AC与 BD相交于点 O ，且 AC BD ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
10、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 请添加一个条件：_，使得 ?ABCD为正方形【答案】 BAD=90 【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可【解答】解：?ABCD 的对角线AC与 BD相交于点O ，且 AC BD ，?ABCD 是菱形，当 BAD=90 时， ?ABCD 为正方形【举一反三】6. (xx河北 ) 关于 ?ABCD的叙述，正确的是（）A. 若 AB BC ，则 ?ABCD 是菱形 B. 若 AC BD ，则 ?ABCD 是正方形C. 若 AC=BD ，则?ABCD 是矩形 D. 若 AB=AD
11、，则?ABCD 是正方形【答案】 C 【分析】由菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法得出选项A、B、D错误，C正确；即可得出结论【解答】解：?ABCD 中， AB BC ，四边形ABCD 是矩形，不一定是菱形，选项A错误；?ABCD 中， AC BD ，四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项B错误；?ABCD 中， AC=BD ，四边形ABCD 是矩形，选项C正确；?ABCD 中， AB=AD ，四边形ABCD 是菱形，不一定是正方形，选项D错误；7. （ xx 崇左）下列命题是假命题的是（）A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B. 对角线互相垂直的矩形是正方形C.
12、 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形【答案】 D 8. （ xx 无锡）如图，正方形ABCD 中， E为 BC边上一点， F 为 BA延长线上一点，且 CE=AF 连接 DE 、DF求证： DE=DF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 【分析】根据正方形的性质可得AD=CD ，C=DAF=90 ，然后利用“边角边”证明 DCE和 DAF全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可【解答】证明
13、：四边形ABCD 是正方形，AD=CD ， DAB= C=90 ，FAD=180 DAB=90 在 DCE和 DAF中，CDADCDAFCEAF DCE DAF （SAS ） ，DE=DF ? 【巩固提升自我】?1. （ xx 大庆）下列说法正确的是（）A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形【答案】 D. 【解析】选项A：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，错误；选项 B：矩形的对角线不会互相垂直，错误；选项 C：一组对边平行的四边形也可能是梯形，错误；选项 D：四边相等的四边形是菱形，正确. 2. （
14、 xx 广东）如图2，菱形 ABCD 的边长为 6， ABC=60 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 则对角线AC的长是. 图 2 图 3 图 4 【答案】 6 【分析】由菱形ABCD 中，ABC=60 ，易证得ABC是等边三角形，继而求得对角线AC的长【解答】解：四边形ABCD 是菱形，AB=BC ，ABC=60 ， ABC是等边三角形，AC=AB=6 3. （ xx 广东）如图3，正方形ABCD 的面积为 1
15、，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形 EFGH 的周长为（）A. B. C. D. 【答案】 B 【分析】由正方形的性质和已知条件得出BC=CD=1 ，BCD=90 ， CE=CF= ，得出 CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH 的周长【解答】解：正方形ABCD 的面积为 1，BC=CD=1 ，BCD=90 ，E、F 分别是 BC 、CD的中点，CE=BC= ，CF=CD= ，CE=CF ， CEF是等腰直角三角形，EF=CE= ，正方形EFGH的周长 =4EF=4 =2；4. （ xx 广东）如图4，矩形 ABCD 中，对角线AC= ，E为 B
16、C边上一点， BC=3BE ，将矩形 ABCD 沿 AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的 B处，则 AB= 【答案】【分析】先根据折叠得出BE=B E，且AB E=B=90 ，可知 EB C是直角三角形，由已知的 BC=3BE得 EC=2B E，得出 ACB=30 ，从而得出AC与 AB的关系，求出AB的长【解答】解：由折叠得： BE=B E，AB E=B=90 ，EB C=90 ，BC=3BE ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - -
17、- - - - - - - EC=2BE=2BE，ACB=30 ，在 RtABC中，AC=2AB ，AB=AC= 2=，5. （ xx 广州）如图，矩形ABCD 的对角线 AC, BD 相交于点O,若 AB=AO ，求 ABD的度数 . 【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得：AO=BO ，则 AOB为等边三角形，进而得到 ABD =60. 解： 四边形 ABCD为矩形AO=BO又AB=AOAB=AO=B O ABD为等边三角形 ABD =606. （ xx 广东）如图，在边长为6 的正方形 ABCD 中， E是边 CD的中点，将 ADE沿 AE对折至 AFE ，延长交 BC于点 G，连接
18、 AG. (1) 求证： ABG AFG ；(2) 求 BG的长 . 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB=AF ， B=AFG=90 ，利用HL定理得出 ABG AFG即可；（2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可；【解答】解：（1）在正方形ABCD 中， AD=AB=BC=CD， D=B=BCD=90 ，将 ADE沿 AE对折至 AFE ，AD=AF ，DE=EF ，D=AFE=90 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - AB=AF ， B=AFG=90 ，又 AG=AG ，在 Rt ABG和 RtAFG中， ABG AFG （HL ） ；（2） ABG AFG ， BG=FG ，设 BG=FG=x ，则 GC=6 x，E为 CD的中点，CE=EF=DE=3 ，EG=3+x ，在 Rt CEG 中， 32+（6x）2=（3+x）2，解得 x=2，BG=2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -