《2022年山西中考复习导学案第讲特殊的平行四边形 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年山西中考复习导学案第讲特殊的平行四边形 .pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌参与人：高丽飞弓丽琴审核人：郑威斌2015 年 4 月课题第 23 讲特殊的平行四边形班级姓名组别1有一个角是 _直角 _的平行四边形是矩形矩形的四个角都是_直角 _，对角线 _相等且互相平分 _；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_两_条对称轴矩形的判定方法：(1)有三个角是 _直角 _的四边形；(2)是平行四边形且有一个角是_直角 _；(3)_对角线相等 _的平行四边形；(4)_对角线相等且互相平分_的四边形2有一组 _邻边相等 _的平行四边形叫做菱形菱形的四条边都_相等 _，对角线 _互相垂直平分_，且每一条对角线_平分一组对角
2、_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_两_条对称轴菱形的判定方法：(1)四条边都 _相等 _；(2)有一组 _邻边相等 _的平行四边形；(3)对角线 _互相垂直 _的平行四边形；(4)对角线 _互相垂直平分_的四边形3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形的四个角都是_直角 _，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 四条边都 _相等 _， 两条对角线 _相等 _，并且 _互相垂直平分_，每一条
3、对角线_平分一组对角_；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有_四_条对称轴正方形的判定方法：(1)邻边相等的 _矩形 _；(2)有一角是直角的_菱形 _一个防范在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在 “四边形 ”还是在 “平行四边形 ”的基础之上来求证的要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题 ，通过对已知条件的分析、综合 ，最后确定用哪一种判定方法三种联系(1)平行四边形与矩形的联系：在平行四边形的基础上 ，增加“一个角是直角 ”或“对角线相等 ”的条件可为矩形；若在四边形的基础上 ，则需有三个角是直角 (第四个角必是直角 )则可判定为矩形(2)平行四边形与菱形的联系：在平行四边形的基
4、础上 ，增加“一组邻边相等 ”或“对角线互相垂直 ”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形 )；或先证四边形是矩形 ，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形 )总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系归纳如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - -
5、 - - - 注：学好本部分内容的方法是：弄清楚平行四边形，矩形、菱形和正方形之间的联系和区别 ，以整体的的观点看待本部分内容中考真题再现1(2014陕西 )如图 ，在菱形 ABCD 中 ，AB5，对角线 AC6.若过点 A 作 AEBC ，垂足为 E，则 AE 的长为 ( C ) A4B.125C.245D5 ,第 1 题图)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - ,第 2 题图 ) 2(2013陕西 )如图 ，在矩
6、形 ABCD 中，AD 2AB ，点 M，N 分别在边AD ，BC 上，连接 BM ，DN ，若四边形MBND 是菱形 ，则AMMD等于 ( C ) A.38B.23C.35D.453(2012陕西 )如图 ，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O，OEAB，垂足为 E，若ADC 130，则 AOE 的大小为 ( B ) A75B65C55D 504(2014陕西 )问题探究名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - -
7、 - - - (1)如图 ，在矩形 ABCD 中，AB 3，BC4，如果 BC 边上存在点P，使 APD 为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP 的长；(2)如图 ，在 ABC 中，ABC 60，BC12，AD 是 BC 边上的高 ，E，F 分别为边AB ，AC的中点 ，当 AD 6 时，BC 边上存在一点Q，使 EQF90，求此时 BQ 的长；问题解决(3)有一山庄 ， 它的平面图为如图的五边形ABCDE ，山庄保卫人员想在线段CD 上选一点M 安装监控装置 ，用来监视边AB ，现只要使 AMB 大约为 60，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知 A E D
8、90，AB 270 m，AE 400 m，ED285 m，CD340 m，问在线段CD 上是否存在点 M，使 AMB 60？若存在 ，请求出符合条件的DM 的长，若不存在 ，请说明理由解：(1)作 AD 的垂直平分线交BC 于点 P，如图 ，则 PAPD. PAD 是等腰三角形四边形 ABCD 是矩形 ， AB DC， B C90.PAPD， ABDC， RtABPRtDCP(HL) BPCP.BC4，BPCP2以点 D 为圆心 ，AD 为半径画弧 ，交 BC 于点 P ，如图 ，则 DA DP. PAD 是 等腰三角形四边形ABCD 是矩形 ，AD BC，AB DC，C90.AB3，BC 4
9、，DC3，DP 4.CP 42 327.BP 47.点 A 为圆心 ，AD 为半径画弧 ，交 BC 于点 P ，如图 ，则 AD AP . PAD是等腰三角形同理可得：BP 7.综上所述：在等腰三角形 ADP 中，若 PAPD，则 BP2；若 DPDA ，则 BP47；若 APAD ，则 BP7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - (2)E，F 分别为边AB，AC 的中点 ，EFBC，EF12BC.BC12，EF6
10、.以 EF 为直径作O，过点 O 作 OQ BC，垂足为 Q，连接 EQ、FQ，如图 .AD BC，AD 6，EF 与 BC 之间的距离为3.OQ3 OQOE3. O 与 BC 相切 ，切点为 Q.EF 为 O 的直径 ， EQF90.过点 E 作 EGBC，垂足为 G， 如图 .EGBC，OQBC，EGOQ.EOGQ，EGOQ，EGQ90，OEOQ，四边形 OEGQ 是正方形 GQEO3，EGOQ3. B60，EGB90，EG3，BG3.BQGQBG33.当 EQF90时 ，BQ 的长为 33(3)在线段 CD 上存在点M， 使 AMB 60.理由如下：以AB 为边 ，在 AB 的右侧作等边
11、三角形ABG ，作 GPAB，垂足为 P，作 AK BG，垂足为 K.设 GP 与 AK 交于点 O，以点 O 为圆心 ，OA 为半径作 O，过点 O 作 OH CD，垂足为 H，如图 .则 O 是 ABG 的外接圆 ， ABG 是等边三角形，GPAB，APPB12AB. AB 270，AP135.ED285，OH285135150. ABG是等边三角形，AK BG， BAK GAK 30.OPAP tan30 1353345 3.OA 2OP903.OHOA. O 与 CD 相交 ， 设交点为 M， 连接 MA 、 MB ， 如图 . AMB AGB 60，OM OA 903.OHCD， O
12、H 150，OM 903，HM OM2OH2（903）21502302.AE400，OP453，DH 400453.若点 M 在点 H 的左边 ，则 DM DHHM 400453302.400453302340，DM CD.点 M 不在线段CD 上，应舍去 若点 M 在点 H的右边 ，则 DM DH HM 400453303.400453302340，DM CD.点 M 在线段 CD 上综上所述： 在线段 CD 上存在唯一的点M，使 AMB 60，此时 DM 的长为 (400453302)米名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
13、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 5(2013 陕西)问题探究(1)请在图中作出两条直线， 使它们将圆面积四等分；(2)如图 ，M 是正方形ABCD内一定点 ， 请在图中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M) 使它们将正方形ABCD 的面积四等分 ，并说明理由问题解决(3)如图 ，在四边形 ABCD 中，AB CD，AB CDBC，点 P 是 AD 的中点 ，如果 AB a，CDb，且 ba，那么在边 BC 上是否存在一点Q，使 PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出 BQ 的长
14、；若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解： (1)如图 1 所示(2)连接 AC ，BD 交于 O，作直线 OM ，分别交 AD 于 P，交 BC 于 Q，过 O 作 EFOM 交 DC 于 F，交 AB 于 E，则直线 EF、OM 将正方形的面积四等份，理由是：点O 是正方形ABCD 的对称中心 ，APCQ，EBDF，在 AOP 和 EOB 中， AOP90 AOE ，BOE90 AOE ，AO
15、P BOE， OAOB，OAP EBO 45， AOP EOB， APBEDFCQ，设 O 到正方形ABCD 一边的距离是d，则12(APAE)d 12(BEBQ)d12(CQCF)d12(PDDF)d, S四边形AEOPS四边形BEOQS四边形CQOFS四边形DPOF，直线 EF，OM 将正方形ABCD 面积四等份(3)存在 ，当 BQ CDb 时，PQ 将四边形ABCD 的面积二等份 ，理由是：如图，连接 BP 并延长交 CD 的延长线于点E，ABCD， A EDP，在 ABP 和 DEP 中，A EDP，APDP，APB DPE， ABP DEP(ASA)，BPEP，连接 CP， BPC
16、 的边 BP 和 EPC 的边 EP上的高相等 ，又BPEP，SBPCSEPC，作 PFCD，PGBC，则 BCABCDDECDCE，由三角形面积公式得： PFPG，在 CB 上截取 CQDEAB a，则 SCQPSDEPSABP，SBPCSCQPSABPSCPESDEPSCQP，即：S四边形ABQPS四边形CDPQ，BCABCDab，BQb，当 BQb 时，直线 PQ 将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 -
17、 - - - - - - - - 矩形【例 1】(2014 枣庄 )如图 ，四边形 ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点 ，AECF，DFBE. (1)求证： BOE DOF；(2)若 OD12AC，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 证明： (1)DFBE， FDO EBO，DFO BEO，O 为 AC 的中点 ，即 OAOC，
18、又AECF， OAAEOCCF，即 OEOF，在 BOE 和 DOF 中，FDO EBO，DFO BEO，OEOF， BOE DOF(AAS) (2)若 OD12AC，则四边形 ABCD 是矩形 ，理由为： BOE DOF，OBOD，OA OBOCOD，即 BD AC ，四边形ABCD 为矩形【点评】利用平行线的相关性质找到对应角相等，再结合已知条件来证三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了对角线的判定方法，有时会比边与角更直接简便1(2013聊城 )如图 ，四边形ABCD中，A BCD90，BCCD，CEAD ，垂足为E.求证： AECE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
19、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 证明：过点B 作 BFCE 于 F，CEAD ， D DCE90， BCD90， BCF DCE90， BCF D，在 BCF 和 CDE 中，BCF D，CED BFC90，BCCD， BCFCDE( AAS)， BFCE，又 A90，CEAD ，BFCE，四边形AEFB 是矩形 ，AEBF，AECE 菱形【例 2】(2013 黄冈 )如图 ，四边形 ABCD 是菱形 ，对角线 AC ，BD 相交于点O，DHAB
20、于 H，连接 OH， 求证： DHO DCO. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 证明：四边形ABCD 是菱形 ，ODOB，COD 90，DHAB ，OHOB， OHB OBH，又 AB CD， OBH ODC，在 Rt COD 中，ODC DCO 90，在 RtDHB中， DHO OHB 90， DHO DCO 【点评】本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 ，以
21、及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键2(2014厦门 )如图 ，在四边形ABCD 中，AD BC，AM BC，垂足为 M，AN DC，垂足为 N，若 BAD BCD ，AM AN， 求证：四边形ABCD 是菱形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 证明：AD BC， B BAD 180， D C180， BAD BCD ，B D，四边形ABCD 是平行四边形 ， AM BC， AN DC，
22、AMB AND 90， 在 ABM 和 ADN中， B D， AMB AND 90 ，AM AN ， ABM ADN( AAS)，AB AD ，四边形ABCD 是菱形正方形【例 3】(2013 毕节 )如图 ，四边形 ABCD 是正方形 ，E，F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且 DEBF，连接 AE，AF，EF. (1)求证： ADE ABF；(2)填空： ABF 可以由 ADE 绕旋转中心 _A_点，按顺时针方向旋转_90_度得到；(3)若 BC8，DE6，求 AEF 的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
23、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - (1)证明：四边形ABCD 是正方形 ，AD AB ，D ABC 90，而 F 是 CB 的延长线上的点， ABF90， 在 ADE 和 ABF 中AB AD ，ABF ADE ，BFDE ， ADE ABF( SAS )(2)A；90解析： ADE ABF ， BAF DAE ，而DAE EAB 90， BAF EAB 90，即FAE90， ABF 可以由 ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90 度得到 ，故答案为： A，90 (3)解：BC8，AD 8，在 RtADE
24、中，DE6，AD 8，AEAD2DE210， ABF可以由 ADE 绕旋转中心A 点，按顺时针方向旋转90 度得到 ，AEAF，EAF90， AEF的面积12AE21210050 【点评】正方形具有四边形、平行四边形、 矩形及菱形的一切性质，它们之间既有联系又有区别，其各自的性质和判定是中考的热点3 (2014扬州 )如图 ， 已知 RtABC 中， ABC 90， 先把 ABC 绕点 B 顺时针旋转90至 DBE后， 再把 ABC 沿射线平移至FEG，DE， FG 相交于点 H. (1)判断线段DE，FG 的位置关系 ，并说明理由；(2)连接 CG，求证：四边形CBEG 是正方形名师资料总结
25、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 解： (1)FGED.理由如下：ABC 绕点 B 顺时针旋转90至 DBE 后， DEB ACB ，把 ABC 沿射线平移至FEG， GFE A，ABC 90， A ACB 90， DEB GFE90， FHE90， FGED(2)证明：根据旋转和平移可得GEF90，CBE 90，CGEB，CBBE，CGEB，BCG CBE180， BCG90， 四边形 BCGE 是矩形 ，CBBE，四边
26、形CBEG 是正方形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 特殊平行四边形综合题【例 4】(2014 牡丹江 )如图 ，在 RtABC 中，ACB 90，过点 C 的直线MN AB ，D 为AB 边上一点 ，过点 D 作 DE BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD，BE. (1)求证： CEAD ；(2)当 D 在 AB 中点时 ，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若 D 为 AB
27、 中点 ，则当 A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由(1)证明： DEBC， DFB90 ， ACB 90， ACB DFB ，AC DE，MNAB ，即 CEAD ，四边形ADEC 是平行四边形 ，CEAD(2)解：四边形BECD 是菱形 ，理由是： D 为 AB 中点 ，AD BD ，CEAD ， BDCE，BD CE，四边形 BECD 是平行四边形， ACB 90 ，D 为 AB 中点 ， CDBD ，四边形 BECD 是菱形(3)当 A45时，四边形 BECD 是正方形 ，理由是： ACB 90 ，A45， ABC A45，ACBC，D 为 BA 中点
28、，CDAB ， CDB 90，四边形BECD 是菱形 ，四边形BECD 是正方形 ，即当 A45时 ，四边形 BECD 是正方形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 【点评】在判定矩形、 菱形或正方形时，要弄清是在 “四边形 ”，还是在 “平行四边形 ”的基础上来求证的 ， 要熟悉各判定定理之间的联系与区别， 解答此类问题要认真审题， 通过对已知条件的分析、综合 ，确定一种解决问题的方法4(2014随州 )如图 ，
29、在矩形 ABCD 中，M，N 分别是边 AD ，BC 的中点 ，E，F 分别是线段BM ，CM 的中点(1)求证： ABM DCM ；(2)填空：当AB AD_12_时，四边形 MENF 是正方形(1)证明：四边形ABCD 是矩形 ，AB DC，A D90，M 为 AD 的中点 ，AM DM ，在 ABM 和 DCM 中AM DM ，A D，ABDC， ABM DCM( SAS ) (2)1 2解析： 当 AB AD 12 时，四边形 MENF 是正方形 ，理由是： ABAD 12，AMDM ， AB CD， AB AM DM DC， A D90， ABM AMB DMC DCM45， BMC
30、 90，四边形ABCD是矩形 ， ABC DCB90， MBC MCB45，BM CM ，N，E，F 分别是 BC，BM ，CM 的中点 ，BECF，MEMF ，NFBM ，NECM，四边形MENF 是平行四边形 ，MEMF ，BMC 90，四边形MENF 是正方形 ，即当 ABAD 12 时，四边形 MENF 是正方形 ，故答案为： 12 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 试题在 ABC 的两边 AB，AC
31、上向形外作正方形ABEF ，ACGH ，过点 A 作 BC 的垂线分别交BC 于点 D， 交 FH 于点 M， 求证： FM MH. 错解证明：如图 ，四边形ABEF 与四边形ACGH 都是正方形 ，AFAB ，AH AC.又 FAHBAC ， AFH ABC ， 5 2. 3 1 90，3 290， 1 2， 1 5. 1 4， 4 5.AM FM.同理 ，AM MH ，故 FMMH. 剖析上述解法错在将BAC 画成了直角 (题中没有这个条件)，从而导致 FAH ， BAC 和1，4 分别成为对顶角，不认真画图 ，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
32、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 正解证明： 分别过 F，H 画 FKMD ，HLMD ，垂足为 K，L.四边形ACGH 是正方形 ，AC AH ，CAH 90， 1 290，AD BC， 2 390， 1 3.又 HL A ADC90， AHL CAD ，HLAD. 同理： AFK BAD ， FKAD ，FKHL.又 FMK HML ，FKM HLM90， FMK HML ，FMMH. 教学反思 ; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -