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1、第 12 讲 函数的图像（第课时）函数的图像用图（数形结合）识图图像的应用伸缩变换对称变换平移变换图像的变换画函数的图像奇偶性与周期性单调性值域讨论函数的性质化简函数解析式确定函数的定义域步骤描点法作图对数函数，指数反比例函数二次函数，一次函数基本函数的图像)(重点 ：1基本函数的图像；2函数图像的初等变换；3识图与用图。难点 ：1复杂的图像变换；2数形结合综合讨论题。1掌握基本函数的图像；2从函数的图像特征去讨论函数的主要性质；3运用数形结合的思想方法解题。1主要考查初等函数的图像特征和函数图像的初等变换（平移，对称，伸缩）；2考查的主要题型有：由式选图，由图选式，图像变换，自觉地应用图像解
2、题。1作函数的图像 利用描点法作图步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性，最值） ；画出函数图像。利用利用基本初等函数的变换作图平移变换：)()(0, 0hxfyxfyhh，右移左移；（可记为“左加右减” ）kxfyxfykk)()(0,0，下移上移；（可记为“上加下减” ）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！考纲要求注意紧扣！命题预测仅供参考！考点热点一定掌握！名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - -
3、 - - - - - - 伸缩变换：)()(1, 10 xfyxfy，缩伸；)()(1, 10 xAfyxfyAA，伸缩；对称变换：)()(xfyxfyx轴对称)()(xfyxfyy轴对称)2()(xafyxfyax对称直线)()(1xfyxfyxy对称直线)()(xfyxfy原点对称)()(xfyxfyyyy轴左边图像。轴对称的图像，去掉轴右边图像，作其关于保留)()(xfyxfyxx。轴下方图像翻折到上方轴上方图像，将保留例 作出下列函数的大致图像：xy2log；) 1(log2xy；12xxy；xy32。解： 先作出xy2log（0 x）的图像，再作出其关于y轴的对称图像即可，如图 1-
4、1 ； 先作出xy2log的图像， 再将其右移一个单位得到) 1(log2xy的图像，最后把x轴下方部分翻折到x轴上方即可，如图1-2； 把12xxy化为131xy，画出xy3再将其左移一个单位，下移一个单位即可，如图1-3 ； 先作出xy的图像，再将其左移三个单位得到3xy的图像，再作出其关于y轴的对称图像xy3，将其上移二个单位即可，如图1-4 。-2 -1 2 1 2 1 y x o -1 -2 -2 -1 2 1 2 1 y x o -1 -2 -2 -1 2 1 2 1 y x o -1 -2 502图1-1图1-2图1-3图1-4点评：本题使用平移变换和对称变换。名师资料总结 -
5、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 例 已知函数f(x)=log2(x+1)，将 y=f(x)的图象向左平移1 个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变 )，得到函数y=g(x)的图象，求函数F(x)=f(x)g(x)的最大值。解： g(x)=2log2(x+2)( x2) F(x)=f(x)g(x)=log2(x+1)2log2(x+2) =log21441log441log)2(122222xxxxxxxx
6、) 1(21111log2xxx x+10,F(x)41log211)1(21log22xx=2 当且仅当 x+1=11x,即 x=0 时取等号 . F(x)max=F(0)=2 点评：本题使用伸缩变换。2识图关于识图，高考中常用的题型有：已知解析式，判断对应的图像；已知图像，求其解析式；已知图像，判断其有关性质。例 （2003 年北京高考题） 如图所示，)4, 3,2, 1)(ixfi是定义在 0， 1上的四个函数，其中满足性质：“对 0，1中任意的x1和,2x任意 10 ，)()1()()1(2121xfxfxxf恒成立”的只有（）（A）)(),(31xfxf（B）)(2xf（C）)(),
7、(32xfxf（D）)(4xf解： 利用特殊值法， 因为 1,0， 令21， 则不等式变为2)()()2(2121xfxfxxf，结合函数)(xf图像的凹凸性可知应选A。3函数的图像的性质的内在联系 若定义在R上的函数)(xf关于直线ax或bx（0b） 都对称，则)(xf为周期函数，ab22是它的一个周期（未必是最小正周期，下同）。 若定义在R上的函数)(xf关于点 （a，c）和（b，c） （ab） 成中心对称， 则)(xf为周期函数，ab22是它的一个周期。若定义在R上的函数)(xf关于点（a，c）成中心对称，又关于直线bx（0b） 成轴对称，则)(xf为周期函数，ab44是它的一个周期。
8、若奇函数或偶函数)(xf的图像中存在一条对称轴ax（0a） ， 则)(xf为周期函数。例 （？年高考题） 定义在区间),(内的奇函数)(xf为增函数，偶函数)(xg在区间),0内的图像与)(xf的图像重合，设0ba，给出下列不等式：f1(x) f2(x) f3(x) f4(x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - )()()()(bgagafbf；)()()()(bgagafbf；)()()()(agbgbfaf；
9、)()()()(agbgbfaf。其中成立的是（）A. 和；B. 和；C. 和；D. 和。解：)(xf是奇函数，)()(xfxf，令0 x可得0)0(f，又)(xf在区间),(内是增函数，且0ba，0)0()()(fbfaf，由已知，有0 x时，)()(xgxf，得)()(agaf，)()(bgbf， 由可得0)(2)()()()()()()()(bfbgagafbfbfagafbf， 成立；由可得0)(bf，这与0)(bf矛盾，不成立；由可得0)(af， 成立；由可得0)(af，这与0)(af矛盾，不成立；综上所述，只有和成立，故应选A。4函数图像的对称性及其证明 研究函数图像的对称性的注意
10、事项奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称； 互为反函数的两个函数的图像关于直线xy对称；)( xfy和)(xfy的图像关于y轴对称；)(xfy和)(xfy的图像关于x轴对称；)( xfy和)(xfy的图像关于原点对称；二次函数cbxaxy2（0a）的图像关于直线abx2对称；定义在R上的函数)(xfy的图像关于直线ax对称)()(xafxaf)2()(xafxf，偶函数的图像关于y轴对称是其特例。 证明函数图像的对称性，即证明其图像上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点仍在图像上。常见函数图像对称性的判别方法有（由上述注意事项可得出）：)()(xfxf图像关于原点对称；)()
11、(xfxf图像关于y轴对称；)()(1xfxf图像关于xy对称；)()(xfxf图像关于x轴对称；)()(xafxaf图像关于直线ax对称。 证明曲线1C与2C的对称性，即证明1C上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在2C上，同时2C上的任一点关于对称中心（或对称轴）的对称点在1C上。例 设曲线C的方程是xxy3，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长后，得到曲线1C。 写出曲线1C的方程； 证明曲线C与1C关于点)2,2(stA对称； 如果曲线C与1C有且仅有一个公共点，证明tts43且0t。解：曲线1C的方程为stxtxy)()(3。 证明：在曲线C任取一点),(111yxB，
12、设),(222yxB是1B关于A点的对称点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 则有2221txx，2221syy，21xtx，21ysy，代入曲线1C的方程得)()(2322xtxtys，即stxtxy)()(2322，2B点在曲线1C上；同理可证，在曲线1C上的任一点关于A点的对称点在曲线C上；综上所述，曲线C与1C关于A点对称。 证明：曲线C与1C有且仅有一个公共点， 方程组stxtxyxxy)()(2322
13、3有且仅有一组解，消去y并整理得0)(33322sttxttx，此方程有且仅有一个解，0t且0)(12934stttt，即0)44(03stttt，tts43且0t。5函数图像的应用我们可以利用函数的图像的特征来研究方程和不等式的解集。例 已知1x是方程3lg xx的一个根，2x是方程310 xx的一个根， 那么1x+2x的值是（）A. 6 ；B. 3 ；C. 2 ；D. 1 。分析： 本题如果从解方程或是方程组入手，将很困难。 如果利用函数图像，数形结合来解题，将较为容易。解：把已知的两个方程变形为xx3lg，xx310，令xxflg)(，xxg10)(，xxh3)(，在同一坐标系内作出上述
14、三个函数的图像，如图，设)(xg与)(xh的交点为A（1x，1y） ，)(xf与)(xh的交点为B（2x，2y） ，)(xf与)(xg互为反函数，)(xf与)(xg的图像关于直线xy对称，A点和B点关于直线xy对称，1x=2y，2x=1y，把点A的坐标代入xxh3)(得113xy，把1y=2x代入113xy得123xx，即321xx，故应选B。点评：对于超越方程，直接求解有困难时，常利用图像来讨论其根的范围。B A 3 1 3 1 y x o h(x) f(x) g(x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
15、整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1设0ak，0bc，在同一坐标系中，caxy2与bkxy的图像只可能是 （）2 把函数)(xfy的图像沿直线0yx向右下方向平移22个单位，得到函数xy2log的图像，则（）A. 2)2(log)(2xxf；B. 2)2(log)(2xxf；C. 2)2(log)(2xxf；D. 2)2(log)(2xxf。3暂缺4作出函数12xy的图像。5. 已知函数) 1(log)(xaaxf（0a且1a） ， 证明函数)(xf的图像在y轴的一侧。能力测试认真完成！y x o y x o y x o y x o
16、 D A B C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6若函数1log2axy的图像的对称轴是2x，求非零实数a的值。7对函数)(xfy定义域中任一个x 的值均有)()(xafxaf，则)(xfy的图象关于直线 x=a 对称。8设 A= x2xa，B= y y=2x+3，且 xA ，C= zz=x2，且 xA ，若 CB，求实数 a 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
17、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1 2 3 4 5 6 7 8 作图描点法平移变换伸缩变换对称变换识图函数的图像的性质的内在联系函数图像的对称性函数图像的对称性证明函数图像的应用1设0ak，0bc，在同一坐标系中，caxy2与bkxy的图像只可能是 （）y x o y x o y x o y x o D A B C 解：0ak，a、k必须同号，若00ka，则抛物线的开口向上，直线向右斜，此时可能为A或B；若00ka，则抛物线的开口向下，直线向左斜，此时可能为C；故可排除D。 抛物
18、线顶点的纵坐标等于c，直线在y轴上的截距等于b，又0bc，b、c必须同号，在A、B、C中满足这一点的只有A，故应选A。2 把函数)(xfy的图像沿直线0yx向右下方向平移22个单位，得到函数xy2log的图像，则（）A. 2)2(log)(2xxf；B. 2)2(log)(2xxf；C. 2)2(log)(2xxf；D. 2)2(log)(2xxf。解：沿直线0yx向右下方向平移22个单位，就是把图像向右和向下同时平移2 个单位，那么反过来把xy2log的图像向左和向上同时平移2 个单位即可得到)(xfy的图像，把xy2log的图像向左平移2 个单位可得)2(log2xy，把)2(log2xy
19、向上平移 2 个单位可得2)2(log2xy， 故应选A。3暂缺4作出函数12xy的图像。解：先作出xy2的图像，如图4-1 ；再将其在y轴左侧部分的图像去掉并作出y轴右侧部分关于y轴的对称图像，从而得到xy2的图像，如图4-2；最后将xy2的图像向右平移一个单位即得到12xy的图像，如图4-3 。参考答案仔细核对！1 1 y x o 图 4-1xy2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5. 已知函数) 1(log
20、)(xaaxf（0a且1a） ， 证明函数)(xf的图像在y轴的一侧。证明：01xa，1xa，当1a时，0 x，此时图像在y轴右侧；当10a时，0 x，此时图像在y轴左侧；综上所述，函数)(xf的图像在y轴的一侧。6若函数1log2axy的图像的对称轴是2x，求非零实数a的值。解：对定义域内的任意x，)2()2(xfxf恒成立，1)2(1)2(xaxa恒成立，即)12() 12(aaxaax，又0a，012a，21a。7对函数)(xfy定义域中任一个x 的值均有)()(xafxaf，则)(xfy的图象关于直线 x=a 对称。证明：设 (x0,y0)是函数)(xfy图象上任一点，则y0=f(x0
21、), 又)()(xafxaf， f(2ax0)=fa+(ax0)=fa(ax0)=f(x0)=y0, (2ax0,y0)也在函数的图象上，而2)2(00 xxa=a, 点 (x0,y0)与(2ax0,y0)关于直线x=a 对称，故)(xfy的图象关于直线x=a 对称 . 8设 A= x2xa，B= y y=2x+3，且 xA ，C= zz=x2，且 xA ，若 CB，求实数 a 的取值范围。分析：解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决。解：y=2x+3 在 2, a上是增函数，1y2
22、a+3，即 B= y 1y2a+3 ，作出 z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a 有三种不同的位置情况如下：当 2a0 时， a2 z4 即 C= z z2 z4 要使 CB，必须且只须2a+34 解之得 a21，这与 2a0 矛盾；当 0a2 时， 0z4 即 C= z0 z4，要使 CB，由图可知：1 1 y x o 1 1 y x o 图 4-2图 4-312xyxy2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -
23、必须且只需20432aa，解得21a2 ；当 a2 时， 0za2，即 C= z0z a2，要使 CB ， 必须且只需2322aaa解之得2a 3 ；当 a 2 时，A=此时 B=C=，则 CB 成立；综上所述， a 的取值范围是 ( ,2)21,3 。点评：学生在确定z=x2，x 2,a的值域时容易出错，有的学生不能分类而论。巧妙观察图象将是上策，不能漏掉a 2 这一种特殊情形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -