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1、第 1 页 共 9 页一、填空（ 37=21 分）1. 设，则，1,2,0,1,1,1 abrrbarrba2. 过点且与平面垂直的直线方程为(1,0,1)10 xyz3. 设曲线，则= L :cos ,sin (02 )xt ytt222()Lxyds?4. 改变积分次序= 2100( , )xdxf x y dy5. 函数的傅立叶级数在 x=处收敛于()yxx6. 函数在点处的梯度为22zxy(1,1)7. 微分方程通解为sin5yxy二 . 计算题（ 72=14 分）1. 设，求.22xzxydz2. 设是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，),(yxfz10zzxye求.yzxz,GD
2、OU-B-11-302精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页第 2 页 共 9 页三 . 计算下列积分（ 74=28 分）1.，其中是由直线以及所围成的闭区域。()Dxy dDy0, yx1x2.，其中是由围成的闭区域。22Dsin()xydD221xy3. 设曲线积分在整个平面内与路径无关，(1,1)(0,0)()()xy dxkxy dyxoy求常数，并计算积分值。k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页第 3 页 共 9 页4. 计算, 其中
3、是区域的2xdydzydzdxzdxdy01,01,01xyz整个表面的外侧。四 . 计算题（ 84=32 分）1. 判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件11)3nnn（收敛。2. 将函数展开为的幂级数。23( )xf xx ex 3. 求微分方程的通解。3yyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页第 4 页 共 9 页4. 求微分方程的通解。2yyyx五. 设级数收敛，证明级数也收敛。（5 分）12nnu212()nnun试题答案和评分标准一、填空（ 37=21 分）精选学习资料 - - - - - - -
4、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页第 5 页 共 9 页8. 设，则 -1 ，1,2,0,1,1,1 abrrbarrba2,1, 39. 过点且与平面垂直的直线方程为(1,0,1)10 xyz11111xyz10.设曲线，则=L :cos ,sin (02 )xt ytt222()Lxyds?211.改变积分次序=2100( , )xdxf x y dy110( , )ydyf x y dx12.函数的傅立叶级数在 x=处收敛于 0 ()yxx13.函数在点处的梯度为22zxy(1,1)2, 214.微分方程通解为sin5yxy211sin 525xc
5、xc二 . 计算题（ 72=14 分）2. 设，求.22xzxydz解：（2）（2）2222,()zyxxy224()zxyyxy（2）zzdzdxdyxy =（1）2222224()()yxydxdyxyxy2. 设是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，),(yxfz10zzxye求.yzxz,解：在方程两边对 x 求偏导数，（1）（2）0zzzzyexyexx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第 6 页 共 9 页得，（1）1zzzyexxye在方程两边对 y 求偏导数，（2）0zzzzxexyeyy得，（1）1
6、zzzxeyxye三 . 计算下列积分（ 74=28 分）4.，其中是由直线以及所围成的闭区域。()Dxy dDy0, yx1x解：区域 D可表示为，（1）0,01yxx（3）Dxyd100()xdxxy dy=（2）12032x dx=（1）125.，其中是由围成的闭区域。22Dsin()xydD221xy解：区域 D在极坐标下可表示为，（2）02 ,01r原=（3）21200sindr rdr =（1）2011(cos1)22d =（1）(1 cos1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页第 7 页 共 9 页6.
7、 设曲线积分在整个平面内与路径无关，(1,1)(0,0)()()xy dxkxy dyxoy求常数，并计算积分值。k解：设则（2）,Pxy QkxyQPxy，所以（2）,1QPkxy1k原式=1 （3）1100(1)xdxy dy4. 计算, 其中是区域的2xdydzydzdxzdxdy01,01,01xyz整个表面的外侧。解：设 V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式= (3)dvzzyyxxV)2( = (1)dvV4 = (2)V4 =4（1）四 . 计算题（ 84=32 分）3. 判别级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛，还是条件11)3nnn（收敛。解：=发散，（2）11)3n
8、nn（113nn单调减少，（3）13n1lim03nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页第 8 页 共 9 页所以收敛，并且是条件收敛。（3）11)3nnn（4. 将函数展开为的幂级数。23( )xf xx ex解：（4）0!nxnxen（2）30(3 )!nxnxen，（2）22303( )!nnxnxf xx enx 3. 求微分方程的通解。3yyx解：的通解为，（2）0yyxyce设原方程的通解为，代入方程得( )xyc x e，得（4）( )3xc xxe( )33xxc xxeec原方程的通解为（2）33x
9、yxce4. 求微分方程的通解。2yyyx解：特征方程为，特征根为（2）220122,1对应的齐次方程的通解为（2）212xxycec e1124yx是原方程的一个特解（2）原方程的通解为（2）2121124xxyxc ec e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第 9 页 共 9 页五. 设级数收敛，证明级数也收敛。（5 分）12nnu212()nnun证：22422nununn（2）222424nnnuuunnn2242()nun而收敛，也收敛。（1）12nnu214nn由比较判别法知，原级数收敛。（2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页