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1、精选学习资料 - - - - - - - - - GDOU-B-11-302一、填空（ 3 7=21 分）1. 设 a r1,2,0, b r1, 1,1,就 a rb r,a b2. 过点 1,0,1 且与平面 x y z 1 0 垂直的直线方程为3. 设曲线 L : x cos , t y sin 0 t 2 ,就 . Lx 2y 2 2ds = 1 x 24. 转变积分次序 0 dx 0 f x y dy = 5. 函数 y x x 的傅立叶级数在 x= 处收敛于6. 函数 z x 2y 2 在点 1,1 处的梯度为7. 微分方程 y sin5 x 通解为 y二 . 运算题（ 7 2=1
2、4 分）1. 设zfx2xy2,求dz.zz xye10所确定的具有连续偏导数的函数,2. 设zx,y 是由方程求z , xz.y第 1 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三 . 运算以下积分（ 7 4=28 分）1.xy d,其中D是由直线y0, yx以及x1所围成的闭区域；D2.sinx2y2d,其中D是由2 xy21 围成的闭区域；D3. 设曲线积分1,1 0,0xy dxkxy dy在整个xoy平面内与路径无关,求常数k,并运算积分值；第 2 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - -
3、-第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 运算xdydz2ydzdxzdxdy, 其中是区域0x1,0y1,0z1的整个表面的外侧；四 . 运算题（ 8 4=32 分）1. 判别级数n（n 1是否收敛,如收敛,是肯定收敛,仍是条件13 n收敛；2. 将函数f x 2 3x ex绽开为x的幂级数； 3. 求微分方程yy3x的通解；第 3 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 求微分方程yy2yx的通解；五. 设级数n1un2收敛,证明级数n1u n22也收敛；（5
4、分）n试题答案和评分标准一、填空（ 3 7=21 分）第 4 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 设r a1,2,0,r b1,1,1,就r ar b -1 ,ab2,1, 39. 过点 1,0,1 且与平面 x y z 1 0 垂直的直线方程为x 1 y z 11 1 110. 设曲线 L : x cos , t y sin 0 t 2 ,就 . Lx 2y 2 2ds = 21 x 2 1 111. 转变积分次序 0 dx 0 f x y dy = 0 dy y f x y dx12. 函数 y
5、 x x 的傅立叶级数在 x= 处收敛于 0 13. 函数 z x 2 y 2 在点 1,1 处的梯度为 2, 214. 微分方程 y sin5 x 通解为 y 1 sin 5 x c x 1 c 225二 . 运算题（ 7 2=14 分）2. 设zx2xy2,求dz.zx4xy2（2）解：zx22 y22,（2）xyy1y2dzzdxzdy（2）xydy（1） =x2y22dxx4xy2y2y2z xye0所确定的具有连续偏导数的函数,2. 设zfx,y 是由方程z求z , xz.在方程两边对 x 求偏导数,（1）y解：zz yexyezz0（2）xx第 5 页 共 9 页名师归纳总结 -
6、- - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 得,z1ye z（1）xz xye在方程两边对 y 求偏导数,zz xexyezz0（2）yy得,zxe z（1）y1xye z三 . 运算以下积分（ 7 4=28 分）4.xy d,其中D是由直线y0, yx以及x1所围成的闭区域；D解：区域 D可表示为0yx ,0x1,（1）Dxyd1dxx 0xy dyD是由2 xy2（3）05.=132 x dx,其中（2）02=（1）121 围成的闭区域；sinx2y2dD解：区域 D在极坐标下可表示为02 ,0r1,（2）原=2d1 0sin2 r rdr
7、（3）0 =211cos1 d（1）022 =1 cos1（1）第 6 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 设曲线积分1,1 0,0xy dxkxy dy在整个xoy平面内与路径无关,求常数k,并运算积分值；（2）0x1,0y1,0z1的解：设Pxy Qkxy ,就QPxyQk,P1,所以k1（2）xy原式=1xdx1 01y dy=1 （3）04. 运算xdydz2ydzdxzdxdy, 其中是区域整个表面的外侧；解：设 V是由V围成的闭区域并表示它的体积,由高斯公式x2yzdv 3原式=xyz
8、=V4dv 1 =4 V 2 =4（1）四 . 运算题（ 8 4=32 分）3. 判别级数n（n 1是否收敛,如收敛,是肯定收敛,仍是条件13 n收敛；解：n1（n 1=n11发散,（2）3 n3n1单调削减,lim n10（3）3n3 n第 7 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以n（n 1收敛,并且是条件收敛；（3）13 n4. 将函数f x nx e 2 3x绽开为x的幂级数；（2）解：x en0xn（4）n.（2）3 exn03 n.f x 2 3x exy3nxn2,x.nn0 3. 求微分
9、方程y3x的通解；解：yy0的通解为yx ce,代入方程得（2）设原方程的通解为yx c x ec x 3 xex,得c x 3xex3 exc（4）原方程的通解为y3x3x ce12,21（2）4. 求微分方程yy2yx的通解；（2）解：特点方程为220,特点根为对应的齐次方程的通解为yc e2xx c e（2）y1x124（2）是原方程的一个特解原方程的通解为y1x1c e2xc ex（2）24第 8 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五. 设级数n1un2收敛,证明级数n1u n22也收敛；（5 分）n证：2u n2un244（2）nn2u n22u n24 u n42un2nnn 2n2而n1un2收敛,n14也收敛；（1）n2由比较判别法知,原级数收敛；（2）第 9 页 共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页