《2022年高中数学-椭圆点差法 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学-椭圆点差法 .pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222byaxab0中，假设直线l与椭圆相交于M 、 N 两点，点),(00yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN. 证明：设M、N 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则有)2(.1)1(, 1222222221221byaxbyax)2() 1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN同理可证，在椭圆12222aybxab0中，假设直线l与椭圆相交于M 、N 两点
2、，点),(00yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN. 典题妙解例 1 04 辽宁设椭圆方程为1422yx，过点) 1 ,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O 为坐标原点，点P 满足)(21OBOAOP，点 N 的坐标为21,21.当l绕点 M 旋转时，求：1动点 P 的轨迹方程；2|NP的最大值和最小值. 解： 1设动点P的坐标为),(yx.由平行四边形法则可知：点P 是弦 AB 的中点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 焦点在 y 上，.1,422ba假设直线l
3、的斜率存在 . 由22baxykAB得：.41xyxy整理，得：.0422yyx当直线l的斜率不存在时，弦AB 的中点 P 为坐标原点)0 ,0(O，也满足方程。所求的轨迹方程为.0422yyx2配方，得：.141)21(16122yx.4141x127)61(341)21()21()21(|222222xxxyxNP当41x时，41|minNP；当61x时，.621|maxNP例 2 07 年海南、宁夏在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点P 和 Q. 1求k的取值范围；2 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、 B， 是否存在常数
4、k， 使得向量OQOP与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解： 1直线l的方程为.2kxy由.12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 ) 12(83222kk0. 解之得：k22或k22. k的取值范围是,2222,. 2在椭圆1222yx中，焦点在x轴上，1,2 ba，).1 ,2(),1 , 0(),0 ,2(ABBA设弦 PQ 的中点为),(00yxM，则).,(100yxOM由平行四边形
5、法则可知：.2OMOQOPOQOP与AB共线，OM与AB共线 . 1200yx，从而.2200 xy由2200abxykPQ得：2122k，.22k由 1可知22k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k. 例 309 年四川已知椭圆12222byaxab0的左、右焦点分别为1F、2F，离心率22e，右准线方程为2x. () 求椭圆的标准方程；() 过点1F的直线l与该椭圆相交于M 、N 两点， 且3262|22NFMF，求直线l的方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 解： 根据题意，得.2,
6、222caxace1, 1,2cba. 所求的椭圆方程为1222yx. 椭圆的焦点为)0, 1(1F、)0, 1(2F. 设直线l被椭圆所截的弦MN 的中点为),(yxP. 由平行四边形法则知：PFNFMF2222. 由3262|22NFMF得：326|2PF. .926) 1(22yx假设直线l的斜率不存在， 则xl轴， 这时点 P 与)0, 1(1F重合，4|2|1222FFNFMF，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在 . 由22abxykMN得：.211 xyxy).(2122xxy代入，得.926)(21) 1(22xxx整理，得：0174592xx. 解之得：317x，或32x. 由可
7、知，317x不合题意 . 32x，从而31y. .11xyk所求的直线l方程为1xy，或1xy. 例 4 (09 全国 )已知椭圆1:2222byaxCab0的离心率为33，过右焦点 F 的直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 线l与 C 相交于 A、B 两点 . 当l的斜率为 1 时，坐标原点O 到l的距离为22. 1求ba,的值；2C 上是否存在点P，使得当l绕 F 转到某一位置时，有OBOAOP成立？假设存在，求出所有点P 的坐标与l的方程；假设不存在，说明理由.解：1 椭圆的右焦点为)0,(cF， 直线l的
8、斜率为1 时， 则其方程为cxy， 即0cyx. 原点 O 到l的距离：22222|00|ccd，1c. 又33ace，3a. 从而2b. 3a，2b. 2椭圆的方程为12322yx. 设弦AB 的中点为),(yxQ. 由OBOAOP可知，点Q是线段 OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(yx. 123422yx.假设直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点Q 与)0, 1(F重合，)0 ,2(OP，点 P 不在椭圆上，故直线l的斜率存在 . 由22abxykAB得：.321 xyxy)(3222xxy.由和解得：42,43yx. 当42,43yx时，21xykAB，点P 的坐标为)22,23(，
9、直线l的方程为022yx；当42,43yx时，21xykAB， 点 P 的坐标为)22,23(，直线l的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 022yx. 金指点睛1. 已知椭圆4222yx，则以)1 , 1 (为中点的弦的长度为A. 23B. 32C. 330D. 2632.06 江西椭圆1:2222byaxQab0的右焦点为)0,(cF，过点 F 的一动直线m 绕点 F转动，并且交椭圆于A、B 两点， P 为线段 AB 的中点 . 1求点 P 的轨迹 H 的方程； 2略 . 3 05 上海1求右焦点坐标是)
10、0,2(且过点)2, 2(的椭圆的标准方程； 2已知椭圆C 的方程为12222byaxab0.设斜率为k的直线l，交椭圆C 于 A、B两点， AB 的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上； 3略 . 4. (05 湖北 )设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点)3 , 1 (N是线段 AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . 1确定的取值范围，并求直线AB 的方程； 2略 . 5. 椭圆 C 的中心在原点，并以双曲线12422xy的焦点为焦点，以抛物线yx662的准线为其中一条准线. 1求椭圆C 的方程；2设直线)0(2:kkxyl与椭
11、圆 C 相交于 A、B 两点，使A、B 两点关于直线)0(1:mmxyl对称，求k的值 . 参考答案1. 解：由4222yx得12422yx，2,422ba. 弦 MN 的中点)1 , 1(，由22abxykMN得21MNk，直线 MN 的方程为)1(211xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 即32yx. .21k由324222yxyx得：051262yy. 设),(),(2211yxNyxM，则65,22121yyyy. 330)3104(54)()11 (|212212yyyykMN故答案选C. 2.
12、解： 1设点 P 的坐标为),(yx，由22abxykAB得：22abxycxy，整理，得：022222cxbyaxb. 点 P 的轨迹 H 的方程为022222cxbyaxb.3解： 1右焦点坐标是)0,2(，左焦点坐标是)0,2(. 2c.由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222a，22a. 4222cab. 所求椭圆的标准方程为14822yx. 2设点 M 的坐标为),(yx，由22abxykAB得：22abxyk，整理得：022kyaxb. a、b、k 为定值，当直线l平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022kyaxb上. 4. 解： 1点)3 , 1 (N
13、在椭圆223yx内，22313，即12.的取值范围是),12(.由223yx得1322xy，3,22ba，焦点在y 轴上 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 假设直线AB 的斜率不存在， 则直线 ABx轴，根据椭圆的对称性，线段 AB 的中点 N 在 x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在 . 由22baxykAB得：313ABk，1ABk. 所求直线 AB 的方程为)1(13xy，即04yx. 从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13xy，即02yx. 5. 解： 1在双曲线12422xy中，6
14、,2, 222bacba，焦点为)6(,),6,0(21FF. 在抛物线yx622中，6p，准线为26y. 在椭圆中，262ca. 从而.3, 3 ba所求椭圆C 的方程为13922xy. 2 设弦 AB 的中点为),(00yxP， 则点 P 是直线l与直线l的交点，且直线ll. km1.由2200baxykAB得：300 xyk，003xky.由1100 xky得：kxky00.由、得：23,200ykx. 又200kxy，2223kk，即12k.1k. 在2kxy中，当0 x时，2y， 即直线l经过定点)2 ,0(M.而定点)2,0(M在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点. k的值为1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页