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1、 2.1 椭圆【自主学习，明确目标】【学习目标】：1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程2掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形【学习重点】：椭圆标准方程的掌握【学习难点】：椭圆标准方程的应用【研讨互动，问题生成】思考 1：1椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2 的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆，点_叫做椭圆的焦点，_叫做椭圆的焦距2椭圆的标准方程思考 2：平面内动点M满足|MF1|MF2|2a，当 2a|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当 2a|F1F2|时呢？提示：当2a|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当 2ab0 这一条件例 1
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)焦点在 x 轴上焦点在 y轴上标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)焦点_ _ a、b、c 的关系c2a2b2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -例 2 根据下列条件，求椭圆的标准方程(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)和 B(12，3)；(2)经过点(2，3)且与椭圆9x24y236 有共同的焦点【解】(1)由于椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x2a2y2b
3、21(ab0)2a5 4254210，a5.又 c4，b2a2c225169.故所求椭圆的方程为x225y291.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为y2a2x2b21(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，4a20b210a21b21?a24，b21.故所求椭圆的方程为y24x21.解：(1)设所求椭圆的方程为x2my2n1(m0，n0且 mn)椭圆经过两点A(0,2)、B(12，3)，0m4n1，14m3n1，解得m1，n4.所求椭圆方程为x2y241.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -二、利用椭圆的定义求轨迹方程用定义法求椭圆方程的
4、思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可例 3 已知动圆M 过定点 A(3,0)，并且内切于定圆B：(x3)2y264，求动圆圆心M的轨迹方程例 4 已知动圆M 和定圆 C1：x2(y3)264 内切，而和定圆 C2：x2(y3)24 外切求动圆圆心M 的轨迹方程三、椭圆定义的应用椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点F1、F2 构成的 F1PF2 称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、(2)椭圆9x24y236 的焦点为(0，5)，则可设所求椭圆方程为x2my2m51(m0)又椭圆经过点(2，3)，则有4m
5、9m51.解得 m10 或 m 2(舍去)所求椭圆的方程为x210y2151.【解】设动圆 M 的半径为r，则|MA|r，|MB|8 r，|MA|MB|8，且 8|AB|6，动点 M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3,0)，B(3,0)，且 2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M 的轨迹方程是x216y27 1.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -三角形中的正弦定理、余弦定理等知识例 5 已知 P 为椭圆x216y291 上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，F1PF260，求 F1PF2的面积 S.例 6 本例中其他条件不变，F1PF260
6、改为F1PF290，求F1PF2 的面积【巩固训练，问题拓展】一、选择题1已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.x24y231 B.x24y21 C.y24x231 D.y24x21 解析：选A.c1，a2，b2a2c23.【解】在椭圆x216y291 中，a4，b3，所以 c7.因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|PF2|8，在PF1F2中，F1PF260，根据余弦定理可得：|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60|F1F2|228，由得|PF1|PF2|12，所以 S12|PF1|PF2|sin60 3 3.解：因x216y2
7、91，a4，b3，c7.点 P 在椭圆上，所以|PF1|PF2|8.在 PF1F2中，F1PF290，|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，|F1F2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|，28642|PF1|PF2|，|PF1|PF2|18.SF1PF212|PF1|PF2|9.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -椭圆的方程为x24y231.2椭圆x29y2251 的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则ABF2的周长是()A20 B12 C10 D6 解析：选A.AB过F1，由椭圆定义知|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，
8、|AB|AF2|BF2|4a20.3椭圆x225y21 上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5 B6 C7 D8 解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x210，x8.4已知椭圆x2a2y221 的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.x24y221 B.x23y221 Cx2y221 D.x26y221 解析：选D.由题意知a224，a26.所求椭圆的方程为x26y221.二、填空题5椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为 215，则此椭圆的标准方程为_解析：2a8，a4，2c215，c15，b21.即椭圆的标准方程为y216x21.答案
9、：y216x21 6在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆x225y291 上，则sinAsinCsinB_.解析：由题意知，|AC|8，|AB|BC|10.所以，sinAsinCsinB|BC|AB|AC|10854.答案：54三、解答题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -7已知椭圆8x281y2361 上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与x29y241 共焦点的椭圆的方程解：(1)把M的纵坐标代入8x281y2361，得8x2814361，即x29.x3.即M的横坐标为3 或3.(2)对于椭
10、圆x29y241，焦点在x轴上且c2945，故设所求椭圆的方程为x2a2y2a251(a25)，把M点坐标代入得9a24a251，解得a215.故所求椭圆的方程为x215y2101.8已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解：设所求椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1AF2A，F1A2F2A0，而F1A(4c,3)，F2A(4c,3)，(4c)2(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|423242321090410.a210，b2a2c2(210)25215.所求椭圆的标准方程为x240y2151.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -