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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用2 2定理 在椭圆 x2 y2 1 a b 0中,假设直线 l 与椭圆相交于 M 、N 两点,点 P x 0y 0 a b是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN,就 kMN y 0 b 22 . x 0 a2 2x 1 y 12 2 ,1 1 证明：设 M 、N 两点的坐标分别为 x 1y 1 、 x 2y 2 ,就有 a2 b2x 2 y 22 2 1 . 2 a b2 2 2 2 1 2 ,得 x 12 x 2 y 12 y 20 .a b2y 2 y 1 y 2 y 1 b2 .
2、x 2 x 1 x 2 x 1 a又 kMN y 2 y 1, y 1 y 2 2 y y .x 2 x 1 x 1 x 2 2 x x2y bkMN 2 .x a2 2同理可证,在椭圆 x2 y2 1 a b 0中,假设直线 l 与椭圆相交于 M 、N 两点,点b a2P x 0y 0 是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 k MN,就 kMN y 0 a2 . x 0 b典题妙解例 1 04 辽宁设椭圆方程为x2y21,过点M01,的直线 l 交椭圆于点A、B,O 为坐4标原点,点P 满意OP1OAOB,点 N 的坐标为1,1 2.当 l 绕点 M 旋转时,求：221动点
3、 P 的轨迹方程；2| NP|的最大值和最小值x. .由平行四边形法就可知：点P 是弦 AB 的中点. ,y解：1设动点 P 的坐标为1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点在 y 上,a24,b21 .假设直线 l 的斜率存在 . 2由 k AB y a2 得：y 1 y4 .x b x x整理,得：4 x 2y 2y 0 .当直线 l 的斜率不存在时,弦 AB 的中点 P 为坐标原点 O 0 0, ,也满意方程；2 2所求的轨迹方程为 4 x y y 0 .1 22配方,得：x 2 y2 1 . 1x 1.1
4、1 4 416 4| NP | 2 x 1 2 y 1 22 21 2 1 2 x x2 43 x 1 2 76 121 1 1 21当 x 时,| NP | min；当 x 时,| NP | max .4 4 6 6例 2 07 年海南、宁夏在直角坐标系 xOy 中,经过点 0 , 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆2xy 21 有两个不同的交点 P 和 Q. 21求 k 的取值范畴；2设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数 k ,使得向量OPOQ与 AB 共线？假如存在,求k 的取值范畴；假如不存在,请说明理由. 解：1直线 l 的方程为ykx2.由ykx
5、22,得：2k21 x242kx20.x2y1 .2直线 l 与椭圆x2y21有两个不同的交点,22 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 32k28 2 k210. 解之得： k 2或 k 2. a2 b1,22k 的取值范畴是,22,. 22 2在椭圆x2y21中,焦点在 x 轴上,2A 20, ,B1,0 ,AB21, .设弦 PQ 的中点为Mx0y0,就OMx 0y 10.由平行四边形法就可知：OPOQ2OM.OPOQ与 AB 共线,OM 与 AB 共线 . x02y0,从而y02.F 、F ,离心率x012由k
6、PQy0b2得：k21,x 0a222k2.2由 1可知k2时,直线 l 与椭圆没有两个公共点,2不存在符合题意的常数k . 例 309 年四川已知椭圆x2y21 a b 0的左、右焦点分别为a2b2e2,右准线方程为x2. 2 求椭圆的标准方程； 过点F 的直线 l 与该椭圆相交于M 、N 两点, 且|F 2MF2N|226,求直线 l 的方程 . 33 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：依据题意,得c 2e ,a 22x a 2 .ca 2 , b ,1 c 1 . 2x 2所求的椭圆方程为 y 1 . 2椭
7、圆的焦点为 F 1 ,1 0 、F 2 ,1 0 . 设直线 l 被椭圆所截的弦 MN 的中点为 P x , y . 由平行四边形法就知：F 2 M F 2 N 2 F 2 P . 由 | F 2 M F 2 N | 2 26得：| F 2P | 26. 3 32 2 26 x 1 y . 9假设直线 l 的斜率不存在, 就 l x 轴,这时点 P 与 F 1 ,1 0 重合,| F 2 M F 2 N | | 2 F 2 F 1 | 4,与题设相冲突,故直线 l 的斜率存在 . 2由 kMN y b2 得：y y 1 .x a x 1 x 22 1 2y x x . 2代入,得 x 1 2
8、1 x 2x 26 .2 9整理,得：9 x 2 45 x 17 0 . 解之得：x 17,或 x 2. 3 3由可知,x 17不合题意 . 32 1x,从而 y . 3 3yk 1 .x 1所求的直线 l 方程为 y x 1,或 y x 1 . 2 2例 4 09 全国 已知椭圆 C : x2 y2 1 a b 0的离心率为 3 ,过右焦点 F 的直a b 34 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线 l 与 C 相交于 A、B 两点 . 当 l 的斜率为 1 时,坐标原点O 到 l 的距离为2. 21求a,b的值；
9、OB成立？假设存在,2C 上是否存在点P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OPOAxc,即xyc0. 求出全部点P 的坐标与 l 的方程；假设不存在,说明理由.解：1椭圆的右焦点为Fc,0 ,直线 l 的斜率为 1 时,就其方程为y原点 O 到 l 的距离：d|00c|2 c2,c1. 222OAOB可知,点Q又ec3,a3. 从而b2. a3a3,b2. 2椭圆的方程为x2y21. 设弦AB 的中点为Qx,y. 由OP32是线段 OP 的中点,点P 的坐标为2x,2y. 4x22y21. 3假设直线 l 的斜率不存在,就lx轴,这时点Q 与F ,10 重合,OP 2 0, ,点 P 不
10、在椭圆上,故直线 l 的斜率存在 . 由k AByb2得：xyy2.2 2,直线 l 的方程为xa21 x3y22x2x. 3由和解得：x3 y 42. 4当x3 y 42时,k ABxy12,点P 的坐标为3,422xy20；2 2,直线 l 的方程为当x3 y 42时,k ABxy12, 点 P 的坐标为3,425 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2xy20. 金指点睛1. 已知椭圆x22y2x4,就以1,1 为中点的弦的长度为FcD. 326m 绕点 FB. 23C. 30A. 3232y21 a b 0的右
11、焦点为2.06 江西椭圆Q:22,0,过点 F 的一动直线ab转动,并且交椭圆于A 、B 两点, P 为线段 AB 的中点 . 1求点 P 的轨迹 H 的方程； 2略 . 3 05 上海1求右焦点坐标是2 ,0且过点,22的椭圆的标准方程；C 于 A 、B 2已知椭圆C 的方程为x2y21 a b 0.设斜率为 k 的直线 l ,交椭圆a2b2两点, AB 的中点为 M. 证明：当直线 l 平行移动时,动点 3略 . M 在一条过原点的定直线上；4. 05 湖北 设 A 、B 是椭圆3x2y2上的两点,点N3,1是线段 AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . AB 的
12、方程； 1确定的取值范畴,并求直线 2略 . 5. 椭圆 C 的中心在原点,并以双曲线y2x21的焦点为焦点,以抛物线x266y的准线为42其中一条准线 . 1求椭圆 C 的方程；2设直线l:ykx2k0与椭圆 C 相交于 A 、B 两点,使 A 、B 两点关于直线l:ymx1 m0 对称,求 k 的值 . 参考答案1. 解：由x22y24得x2yy2b1,ka24 ,b22. y11x1 . 42弦 MN 的中点 1,1 ,由k MN2得MN1 2,直线 MN 的方程为2xa26 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - -
13、即x2 y3. k1.2由x22y24得：6y212y50. y25. x2y3设Mx 1,y 1,Nx 2,y2,就y14y22,y 16|MN|11y 1y 22y 1y 2k254103303故答案选 C. 2. 解：1设点 P 的坐标为x,y,由k AByb2得：yc2yb2,2,aa22. xa2xxa2整理,得：b2x2a2y2b2,0 2cx0. 点 P 的轨迹 H 的方程为b2x2a2y2b2cx0. c2.3解：1右焦点坐标是2 ,0,左焦点坐标是由椭圆的第肯定义知,2 a22 22222 22 24y21. ky xb,整理得：b2xb2a2c24. 所求椭圆的标准方程为x
14、22ky0. 84,由k AByb2得： 2设点 M 的坐标为x,yxa2a2a、b、k 为定值,当直线 l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线b2xa2ky0上. 12.4. 解：1点N3,1在椭圆3x2y2内,3122 3,即的取值范畴是 12,.1,a2,b23,焦点在 y 轴上 . 由3 x2y2得y2x237 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假设直线 AB 的斜率不存在, 就直线 AB 不合题意,故直线 AB 的斜率存在 . x轴,依据椭圆的对称性, 线段 AB 的中点 N 在 x 轴上,由 k A
15、B y a2 2得：k AB 3,k AB 1 . x b 13所求直线 AB 的方程为 y 3 1 x 1 ,即 x y 4 0 . 从而线段 AB 的垂直平分线 CD 的方程为 y 3 1 x 1 ,即 x y 2 0 . 2 25. 解： 1在双曲线 y x1 中,a ,2 b 2 , c a 2b 2 6,4 2焦点为 F 1 0 , 6 , F 2 , 6 . 在抛物线 x 2 2 6 y 中,p 6,准线为 y 6. 22在椭圆中,a 6. 从而 a ,3 b 3 .c 22 2y x所求椭圆 C 的方程为 1 . 9 3 2设弦 AB 的中点为 P x 0y 0 ,就点 P 是直线 l 与直线 l 的交点,且直线 l l . m 1 .k由 kAB y 0 a2 2得：k y 03,ky 0 3x 0 . x 0 b x 0由 y 0 1x 0 1 得：ky 0 x 0 k . k由、得：x 0 k, y 0 3. 2 2又 y 0 kx 0 2,3 k 2k 2,即 k 1 .2 2k 1 . 在 y kx 2 中,当 x 0 时,y 2,即直线 l 经过定点 M 0 2, .而定点 M 0 , 2 在椭圆的内部,故直线 l 与椭圆肯定相交于两个不同的交点 . k 的值为 1 . 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页