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1、导数的背景教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的具体意义教学重点瞬时速度、切线的斜率、边际成本教学难点极限思想教学过程一、导入新课1.瞬时速度问题 1：一个小球自由下落，它在下落3 秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是221gts（其中 g 是重力加速度） . 当时间增量t很小时，从 3 秒到（3t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大 .因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3 秒时的速度 . 从 3 秒到（ 3t）秒这段时间内位移的增量：222)(9 .44.2939. 4)3(9.4)3()3(tttstss从而，ttsv9 .44.29. 从上式
2、可以看出，t越小，ts越接近 29.4 米/秒；当t无限趋近于0 时，ts无限趋近于 29.4 米/秒.此时我们说，当t趋向于 0 时，ts的极限是 29.4. 当t趋向于 0 时，平均速度ts的极限就是小球下降3 秒时的速度，也叫做瞬时速度 . 一般地，设物体的运动规律是ss（t） ，则物体在 t 到（ tt）这段时间内的平均速度为ttsttsts)()(.如果t无限趋近于 0时，ts无限趋近于某个常数 a，就说当t趋向于 0 时，ts的极限为 a，这时 a 就是物体在时刻t的瞬时速度 . 2.切线的斜率问题 2：P （1,1）是曲线2xy上的一点， Q 是曲线上点 P附近的一个点，当点 Q
3、沿曲线逐渐向点 P趋近时割线 PQ的斜率的变化情况 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页析：设点 Q 的横坐标为 1x，则点 Q的纵坐标为（ 1x）2，点 Q 对于点 P的纵坐标的增量（即函数的增量）22)(21)1 (xxxy，所以，割线 PQ的斜率xxxxxykPQ2)(22. 由此可知，当点 Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，x变得越来越小，PQk越来越接近 2；当点 Q 无限接近于点 P 时，即x无限趋近于 0 时，PQk无限趋近于2.这表明，割线 PQ无限趋近于过点 P且斜率为 2 的直线 .我们把这条直线叫
4、做曲线在点 P处的切线 .由点斜式，这条切线的方程为：12xy. 一般地，已知函数)(xfy的图象是曲线 C， P （00, yx） ， Q （yyxx00,）是曲线 C上的两点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 接近时，割线 PQ绕着点 P 转动.当点 Q 沿着曲线无限接近点P，即x趋向于 0 时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置 PT，那么直线 PT叫做曲线在点 P处的切线 .此时，割线 PQ的斜率xykPQ无限趋近于切线PT的斜率 k，也就是说，当x趋向于 0 时，割线 PQ的斜率xykPQ的极限为 k. 3.边际成本问题 3：设成本为 C ，产量为 q，成本与产量的函数关系式为103)(2q
5、qC，我们来研究当 q50 时，产量变化q对成本的影响 .在本问题中，成本的增量为：222)(3300)10503(10)50(3)50()50(qqqCqCC. 产量变化q对成本的影响可用：qqC3300来刻划，q越小，qC越接近300；当q无限趋近于 0 时，qC无限趋近于 300，我们就说当q趋向于 0 时，qC的极限是 300. 我们把qC的极限 300 叫做当 q50 时103)(2qqC的边际成本 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页一般地，设 C是成本， q 是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q）
6、 ，当产量为0q 时，产量变化q对成本的影响可用增量比qqCqqCqC)()(00刻划.如果q无限趋近于 0 时，qC无限趋近于常数A，经济学上称 A为边际成本.它表明当产量为0q 时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值） . 二、小结瞬时速度是平均速度ts当t趋近于 0 时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy当x趋近于 0 时的极限；边际成本是平均成本qC当q趋近于 0 时的极限 . 三、练习与作业：1.某物体的运动方程为25)(tts（位移单位： m，时间单位： s）求它在 t2s时的速度 . 2.判断曲线22xy在点 P（1,2）处是否有切线，如果有
7、，求出切线的方程. 3.已知成本 C与产量 q 的函数关系式为522qC，求当产量 q80 时的边际成本. 4.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位： m）与时间 t（单位：s）之间的函数关系为2th，求 t4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页5.判断曲线221xy在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 6.已知成本 C与产量 q 的函数关系为742qC， 求当产量 q30 时的边际成本. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
8、 - - - - - -第 4 页，共 8 页导数的概念教学目标与要求：理解导数的概念并会运用概念求导数。教学重点 ：导数的概念以及求导数教学难点 ：导数的概念教学过程 ：一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看， 却是相同的， 都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数)(xfy在0 xx处附近有定义，当自变量在0 xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00 xfxxfy， 如果0 x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这
9、个极限值叫做函数)(xfy在0 xx处 的导数 ，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0 x的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于 0 可正、可负、但不为0，而y可能为 0。3.xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00 xfx）及点)(,(00 xxfxx）的割线斜率。4.导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0 x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0 x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点 （)(,00 xf
10、x） 处的切线的斜率。 因此，如果)(xfy在点0 x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）处的切线方程为)()(00/0 xxxfxfy。5.导数是一个局部概念，它只与函数)(xfy在0 x及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xxx0，则0 xxx，当x趋近于0 时，x趋近于0 x，因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxox。7.若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xf
11、y在点0 x处不可导。8.若)(xf在0 x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）有切线存在。反之不然，若曲线)(xfy在点（)(,00 xfx）有切线，函数)(xfy在0 x不一定可导，并且，若函数)(xfy在0 x不可导，曲线在点（)(,00 xfx）也可能有切线。一般地 ，axbax)(lim0，其中ba,为常数。特别地 ，aax0lim。如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的 导函数 ，简称 导数 ，也可记作/y，即
12、)(/xf/yxxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0 x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba),(bax上导数)(/xf在0 x处的函数值，即0/xxy)(0/xf。所以函数)(xfy在0 x处的导数也记作)(0/xf。注： 1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0 x处的导数就是导函数)(/xf在点0 x的函数值。3.求导函数时，只需将求导
13、数式中的0 x换成x就可，即)(/xfxxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）.取极限，得导数/yxyx0lim。例 1.求122xy在x 3 处的导数。例 2.已知函数xxy2（1）求/y。（2）求函数xxy2在x2 处的导数。小结 ：理解导数的概念并会运用概念求导数。练习与作业：1.求下列函数的导数：（1）43xy；（2）xy21(3)xxy1232(3)35xy2.求函数12xy在 1,0，1 处导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页3.求下列函数在指定点处的导数：（1）2,02xxy；（2）0,3102xxy；（3）1,)2(02xxy（ 4）1,02xxxy. 4.求下列函数的导数：（1）; 14xy（2）210 xy；（3）;323xxy（4）722xy。5.求函数xxy22在 2,0，2 处的导数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页