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1、导数经典例题剖析考点一：求导公式。例 1.( )fx是31( )213f xxx的导函数，则( 1)f的值是。考点二：导数的几何意义。例2.已 知 函 数( )yf x的 图 象 在 点(1(1)Mf，处 的 切 线 方 程 是122yx， 则(1)(1)ff。例 3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl :，且直线l与曲线C 相切于点00, yx00 x，求直线l的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例 5.已知1323xxaxxf在 R 上是减函数，求a的取值范围。例 6. 设函数32( )23
2、38f xxaxbxc在1x及2x时取得极值。1求 a、b 的值；2假设对于任意的0 3x，都有2( )f xc成立，求c 的取值范围。点评：此题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤： 求导数xf ；求0 xf的根；将0 xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由xf 在各区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页例 7. 已知a为实数，axxxf42。 求导数xf ； 2 假设01 f， 求xf在区间2,2上的最大值和最小值。解析： 1axaxxxf4423，4232
3、axxxf。204231af，21a。143432xxxxxf令0 xf， 即0143xx， 解得1x或34x， 则xf和xf 在区间2,2上随x的变化情况如下表：x21,2134, 1342,342xf 0 0 xf0 增函数极大值减函数极小值增函数0 291f，275034f。所以，xf在区间2 ,2上的最大值为275034f，最小值为291f。答案： 14232axxxf； 2 最大值为275034f， 最小值为291f。点评： 此题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值， 要先求出函数xf在区间ba,上的极值， 然后与af和bf进行比较， 从而得出函数的最大最小值。
4、考点七：导数的综合性问题。例 8. 设函数3( )f xaxbxc (0)a为奇函数，其图象在点(1, (1)f处的切线与直线670 xy垂直，导函数( )fx的最小值为12。 1求a，b，c的值；2求函数( )f x的单调递增区间，并求函数( )f x在1,3上的最大值和最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页解析：1( )f x为奇函数，()( )fxfx，即33axbxcaxbxc0c，2( )3fxaxb的最小值为12，12b，又直线670 xy的斜率为16，因此，(1)36fab，2a，12b，0c23
5、( )212f xxx。2( )6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2)2(2,2)2( 2,)( )fx00( )f x增函数极大减函数极小增函数所 以 函 数( )f x的 单 调 增 区 间 是(,2)和(2,)， ( 1)10f，(2)82f，(3)18f， ( )fx在 1,3上 的 最 大 值 是(3)18f， 最 小 值 是(2)82f。答案：12a，12b，0c； 2最大值是(3)18f，最小值是(2)8 2f。点评：此题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。导数强化训练（一）选择题1. 已知曲线24xy的一条切线的
6、斜率为12，则切点的横坐标为A A1 B2 C 3 D4 2. 曲线1323xxy在点 1， 1处的切线方程为B A43xyB23xyC34xyD54xy3. 函数) 1()1(2xxy在1x处的导数等于 D A1 B2 C3 D4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4. 已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在的解析式可能为A A)1(3)1()(2xxxfB)1(2)(xxfC2)1(2)(xxfD1)(xxf5. 函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a= D A2 B3 C 4
7、 D5 6. 函数32( )31f xxx是减函数的区间为( D ) (2,)(,2)(,0)(0,2)7. 假设函数cbxxxf2的图象的顶点在第四象限，则函数xf 的图象是A 8. 函数231( )23f xxx在区间0 , 6上的最大值是AA323B163C12D99. 函数xxy33的极大值为m，极小值为n，则nm为A A0 B1 C 2 D4 10. 三次函数xaxxf3在,x内是增函数，则A A0aB0aC1aD31a11. 在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是D A3 B2 C1 D 0 x y o A x y o D x y o C x
8、y o B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页12. 函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如下图，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点A A1 个B2 个C3 个D 4 个（二）填空题13. 曲 线3xy在 点1 , 1处 的 切 线 与x轴 、 直 线2x所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为_。14. 已 知 曲 线31433yx， 则 过 点(2,4)P“ 改 为 在 点(2, 4)P” 的 切 线 方 程 是_ 15. 已知()( )nfx是对函数( )f
9、x连续进行n 次求导， 假设65( )f xxx，对于任意xR，都有( )( )nfx=0，则 n 的最少值为。16. 某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x吨，运费为4 万元次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x吨（三）解答题17. 已知函数cbxaxxxf23，当1x时，取得极大值7；当3x时，取得极小值求这个极小值及cba,的值abxy)(xfy?O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页18. 已知函数.93)(23axxxxf1求)(xf的单调减区间；2假设)(xf在
10、区间 2，2. 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 19. 设0t，点 Pt，0是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。1用t表示cba,；2假设函数)()(xgxfy在 1， 3上单调递减，求t的取值范围。20. 设函数32()fxxbxcx xR，已知( )( )( )g xf xfx是奇函数。1求b、c的值。2求( )g x的单调区间与极值。21. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22. 已知函数3211( )32
11、f xxaxbx在区间 11)，(13，内各有一个极值点1求24ab的最大值；（1）当248ab时，设函数( )yf x在点(1(1)Af，处的切线为l，假设l在点A处穿过函数( )yfx的图象即动点在点A附近沿曲线( )yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧，求函数( )f x的表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页强化训练答案：1.A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.D 7.A 8.A 9.A 10.A 11.D 12.A （四）填空题13. 3814. 044xy15. 7 16. 20 （五）解
12、答题17. 解：baxxxf232。据题意， 1，3 是方程0232baxx的两个根，由韦达定理得3313231ba9,3 bacxxxxf932371f，2c极小值25239333323f极小值为 25，9,3 ba，2c。18. 解： 1.963)(2xxxf令0)(xf，解得, 31xx或所以函数)(xf的单调递减区间为)., 3(),1,(2因为,218128)2(aaf,2218128)2(aaf所以).2()2(ff因为在 1，3上0)(xf，所以)(xf在1，2 上单调递增，又由于)(xf在 2， 1 上单调递减，因此)2(f和)1(f分别是)(xf在区间2,2上的最大值和最小值
13、. 于是有2022a，解得.2a故.293)(23xxxxf因此,72931)1(f即函数)(xf在区间2,2上的最小值为 7.19. 解： 1因为函数)(xf，)(xg的图象都过点t，0，所以0)(tf，即03att. 因为,0t所以2ta. .,0,0)(2abccbttg所以即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页又因为)(xf，)(xg在点t，0处有相同的切线，所以).()(tgtf而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以将2ta代入上式得. tb因此.3tabc故2ta，tb，.3tc2)(3
14、(23,)()(223223txtxttxxyttxxtxxgxfy. 当0)(3(txtxy时，函数)()(xgxfy单调递减 . 由0y，假设txtt3, 0 则；假设.3,0txtt则由题意，函数)()(xgxfy在 1，3上单调递减，则).3,()3 , 1(),3()3 , 1(tttt或所以.39. 333tttt或即或又当39t时，函数)()(xgxfy在 1，3上单调递减 . 所以t的取值范围为).,39,(20. 解： 132fxxbxcx，232fxxbxc。从而322( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2 )xbxcb xc是一个奇函数
15、，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；2由知3( )6g xxx，从而2( )36g xx，由此可知，(,2)和(2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调递减区间；( )g x在2x时， 取得极大值， 极大值为4 2，( )g x在2x时， 取得极小值，极小值为4 2。21. 解：设长方体的宽为xm，则长为x2(m)，高为230(m)35.441218 xxxh. 故长方体的体积为2306935.423322xmxxxxxV从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV令0 xV，解得0 x舍去或1x，因此1x. 当10 x时，0 xV；当23
16、1x时，0 xV，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页故在1x处xV取得极大值，并且这个极大值就是xV的最大值。从而最大体积3321619mxVV，此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为 1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为33m。22. 解： 1因为函数3211( )32f xxaxbx在区间 11)，(13，内分别有一个极值点，所以2( )fxxaxb0在 11)，(13，内分别有一个实根，设两实根为12xx，12xx，则2214xxab，且2104xx 于是
17、2044ab ，20416ab ， 且当11x，23x， 即2a，3b时等号成立 故24ab的最大值是162解法一：由(1)1fab知( )fx在点(1(1)f，处的切线l的方程是(1)(1)(1)yffx，即21(1)32yab xa，因为切线l在点(1( )Af x，处空过( )yfx的图象，所以21( )( )(1)32g xf xab xa在1x两边附近的函数值异号，则1x不是( )g x的极值点而( )g x321121(1)3232xaxbxab xa，且22( )(1)1(1)(1)g xxaxbabxaxaxxa假设11a，则1x和1xa都是( )g x的极值点所以11a，即2
18、a，又由248ab，得1b，故321( )3f xxxx解法二：同解法一得21( )( )(1)32g xf xab xa2133(1)(1)(2)322axxxa因为切线l在点(1(1)Af，处穿过( )yf x的图象，所以( )g x在1x两边附近的函数值异号，于是存在12mm，121mm当11mx时，( )0g x，当21xm时，( )0g x；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页或当11mx时，( )0g x，当21xm时，( )0g x设233( )1222aah xxx，则当11mx时，( )0h x，当21xm时，( )0h x；或当11mx时，( )0h x，当21xm时，( )0h x由(1)0h知1x是( )h x的一个极值点，则3(1)2 1 102ah，所以2a，又由248ab，得1b，故321( )3f xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页