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1、精品资料欢迎下载4 多元复合函数的求导法则【目的要求】1、掌握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法则；2、理解全导数的概念；3、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数【重点难点】各类型复合函数求导公式及计算；各变量之间的复合关系【教学内容】在第二章中， 我们学习了一元函数的复合函数求导，现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，按照多元函数的不同复合情形， 分三种情形讨论. 一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形. 定理 4.1 如果函数( )ut及( )vt都在点t可导，且函数(, )zf u v在对应点(, )u v具有连续偏导数，则复合函数( ),( )zftt在点t
2、可导，且其导数为ddddddzzuzvtutvt。证设 t 取得增量t , 这时( )ut，( )vt的对应增量为vu , 函数( ),( )zftt相应地获得增量z. 由于函数),(vufz可微 , 所以有z可以表示为( )zzzuvouv其中22)()(vu. 将上式两端同除以t, 得图 4-25tvuZ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载()zzuzvotutvtt由于( ) ,( )utvt在点t可导 , 所以当0t时,0,0vu，从而0, 并且有dd,dduuvvtttt . 于是22000(
3、)()()limlimlim0tttooouvtttt, 所以0ddlimddtzzuzvtutvt。这就证明了复合函数 ( ),( )zftt在点t可导, 且公式成立 . 导数ddzt称为全导数同理， 我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形。例如，若),(wvufz，( )ut，( )vt，)(tww复合而的复合函数( ),( ),( )zfttw t满足定理条件，则有全导数公式ddddddddzzuz vzwtutvtwt。例 1设函数yxu，而txe，sinyt，求全导数ddut解dddddduuxuytxtyt1sinlncos(sincos )ytyttyxexxte
4、ttt例 2设arctan()zxy，txtye，求0tdzdt。解由22ddd1ddd11tyyzzxzxetxtytxyxy，以及当0t时，01xy，可得01tdzdt。二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载定理 4.2 若( ,)ux y及( , )vx y在点),(yx具有对x、y 的偏导数，而函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数，则复合函数( , ),( , )zfx yx y在点),(yx两个偏导数存在，且有zz uz vxuxvx；zzu
5、zvyuyvy。例 3 设函数vuz，而 uxy， vxy ，求zx和zy解1lnvvzzuz vvuyuuxuxvx1()()()ln()xyxyy xyxyxyxy1lnvvzzuzvvuxuuyuyvy1()()()ln()xyxyx xyxyxyxy为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量z向中间变量, u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数求zx（zy）时，我们只要把从z到x（或 y ）的每条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到xvvzxuuzxz， （yvvzyuuzyz）类似地，对
6、于中间变量多于两个的复合函数情形，有同样的结论。例如，设函数( ,)ux y，( ,)vx y，),(yxww都在点),(yx有对x、 y 的偏导数，而函数),(wvufz在对应点),(wvu偏导数连续，则复合函数( , ),( , ),( , )zfx yx y w x yyxuv图 4-26Z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载在点),(yx的两个偏导数存在，且有xwwzxvvzxuuzxz；ywwzyvvzyuuzyz三、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定理 4.3 设函数),(
7、yxu具有偏导数，而函数),(yxufz可微，则复合函数,),(yxyxfz在点),(yx偏导数存在，且有公式xfxuufxz；yfyuuzyz特别要强调的是，xz与xf有很多的区别：xz是把函数( , ), ,fx yx y 中的y看成常数，对x求偏导，xf是把),(yxuf中yu,看常数，对x求偏导前者是复合后对x的偏导数，后者是复合前对x的偏导数由此可见，多元复合函数微分法的关键在于区分清楚函数结构中哪些是中间变量，哪些是自变量。对于抽象函数的复合函数的求偏导数问题，如函数),sin(xyeyxfz，z是因变量，yx,是自变量。若设中间变量xyevyxu,sin，则在这个函数关系中，中间
8、变量vu, 与自变量yx,的函数关系f没有具体给出，这就是“抽象”的意义。这样的函数求偏导数时， 要按复合函数求偏导数公式计算，但是最后结果中， 因变量z对中间变量u和v的偏导数只能以“抽象”的形式出现。例 3设),sin(xyeyxfz, 其中f具有连续偏导数 , 求xu和yu. 解 设xyevyxu,sin, 则yxux图 4-27Zy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载vxyufyef yxvvzxuuzxzsincosxyuvzzuzvxyfxefyuyvy例 4设函数222),(zyxezyx
9、fu，而yxzsin2，求xu和yu解222222222 sinxyzxyzuffzxezexyxxz xyxyxeyxx2422sin22)sin21(2yxzeyeyzzfyfyuzyxzyxcos222222222yxyxeyyxy2422sin4)cossin(2若函数),(vufz，( ,)ux y，( , )vx y二阶偏导数连续，则复合函数( , ),( , )zfx yx y存在二阶偏导数记号2211uzf，vuzf212，uvzf221，2222vzf例 5 设复合函数),32(yxyxfz，其中),(vuf对vu, 具有二阶连续偏导数，求yxz2解设23uxy，xvy211
10、2fyfxvvzxuuzxz)12(212fyfyyxz)1(221fyyyf)(3(11)(3(222222221211yxffyfyyxff22122223111236fyfyxyfyxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载四、全微分形式不变形设函数),(vufz具有连续偏导数，则全微分dddzzzuvuv，若函数( ,)ux y，( , )vx y有连续偏导数，则复合函数( ( , ),( ,)zfx yx y的全微分为dddzzzxyxy()d()dzuzvzuzvxyuxvxuyvy(dd )
11、(dd )zuuzvvxyxyuxyvxyddzzuvuv可见无论z是自变量yx,的函数或中间变量vu,的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性例 6 利用全微分形式不变性求微分dd(sin )uzev， 其中xyu，yxv解因为dd(sin )sin dcos duuuzevev uev v又因为dd()dduxyy xx y，dd()ddvxyxy，所以dsin( dd )cos (dd )uuzevy xx yevxy(sincos )d(sincos )duuuuev yevxev xevy(sin()cos()d( sin()cos()dxyxyeyxyxyxexxyxyy若先求出(sin()cos()xyzeyxyxyx，(sin()cos()xyzexxyxyy代入公式ddzzdzxyxy得结果完全一样精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页