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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 4 多元复合函数的求导法就【目的要求】1、把握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法就；2、懂得全导数的概念；3、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数【重点难点】各类型复合函数求导公式及运算；各变量之间的复合关系【教学内容】在其次章中, 我们学习了一元函数的复合函数求导,现将一元复合函数的求导法就推广到多元复合函数的情形,根据多元函数的不同复合情形, 分三种情形争论 . 一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形. t定理 4.1 假如函数u t 及v t 都在点 t 可导,u且函数zf u v 在对应点 u v 具有
2、连续偏导数,就复合Z函数zf , 在点 t 可导,且其导数为v图 4-25d zzd uzd v；d tud tvd t证设 t 取得增量t , 这时u t ,v t 的对应增量为u ,v, 函数zf , t 相应地获得增量z . 由于函数zfu,v可微 , 所以有z 可以表示为名师归纳总结 其中u 2v 2. zzuzvo 第 1 页,共 6 页uvt , 得将上式两端同除以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - z精品资料uz欢迎下载ozv由于u ,vtutvttt时 ,u0,v0,从而 t 在点 t 可导 , 所以当00 , 并且有于是lim t0ot
3、lim t0ud u,lim t0vd v . u2v20, td ttd totott所以lim t 0zzd uzd v；例如,tud tvd t这就证明白复合函数zf , 在点 t 可导, 且公式成立 . 导数d zd t称为全导数同理,我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形；如zfu,v,w,u t ,v t ,wwt复合而的复合函数zf , ,w t 满意定理条件,就有全导数公式名师归纳总结 d zzd uz vzd w；第 2 页,共 6 页d tud tvd twd t例 1设函数uxy,而xt e ,ysint ,求全导数d ud t解d uudxud yyxy
4、1 etxylnxcostt esintsinttcos t dtxdtyd t例 2设zarctanxy ,xt,yt e,求dz dtt0；t e,解由d zd tz xd xd tz yd y1y211x2d txyxy以及当t0时,x0,y1,可得dz dtt01；二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 4.2 如u , x y 及精品资料欢迎下载,y具有对 x 、 y 的偏导数, 而函v , x y 在点x数zfu,v在对应点u ,v具有连续偏导数,就复合函数zf , , , yx在点x,y两个偏导数存
5、在,且有zz uz v；xuxvxzzuzv；yuyvy例 3 设函数zuv,而 uxy , vxy ,求z和zxy解zzuz vvu v1yuvlnuxuxvxy xyxyx y1xy xylnxyzzuzvvuv1xuvlnuyuyvyx xyxyxy1xy x ylnxy 为了帮忙记忆,我们按各变量间的复合关系画出复u合关系图如下：Zv第一从自变量 z 向中间变量,u v 画两个分枝,然后图 4-26再分别从u v 向自变量x y 画分枝,并在每个分枝旁边写上对其的偏导数求z（z）时,我们只要把从z到 x （或 y ）的每条路径xy上的各偏导数相乘后,再将这些积相加即可得到zzuzv,（
6、zzuzv）xuxvxyuyvy类似地,对于中间变量多于两个的复合函数情形,有同样的结论；例如,设名师归纳总结 函数uf , x y ,v , x y ,wwx ,y都在点x ,y有对 x 、 y 的偏导数,而第 3 页,共 6 页函数zu,v ,w在对应点u,v,w偏导数连续,就复合函数zf , , , , x y w x y , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在点x,y精品资料欢迎下载的两个偏导数存在,且有数zzzuzvzw；yxxuxvxwxzzuzvzwyuyvywy三、复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形定理 4.3 设函数
7、ux,y具有偏导数,而函ufu,x,y 可微,就复合函数zfx,y,x,y在Z点xx,y偏导数存在,且有公式zfuf；yxuxx图 4-27zzufyuyy特殊要强调的是,z 与 f 有许多的区分：x xy 看成常数,对 x 求偏导,f 是把 f u , x , y 中 u,xz 是把函数 f , , , x y 中的xy 看常数,对 x 求偏导前者是复合后对 x 的偏导数,后者是复合前对 x的偏导数由此可见,多元复合函数微分法的关键在于区分清晰函数结构中哪些是中间变量,哪些是自变量；对于抽象函数的复合函数的求偏导数问题,如函数 z f x sin y , e xy ,z 是因变量,x, y
8、是自变量；如设中间变量 u x sin y , v e xy,就在这个函数关系中,中间变量 u, 与自变量 x, y 的函数关系 f 没有详细给出,这就是“ 抽象” 的意义；这样的函数求偏导数时, 要按复合函数求偏导数公式运算,但是最终结果中, 因变量 z 对中间变量 u 和 v 的偏导数只能以“ 抽象” 的形式显现；名师归纳总结 例 3 设zfxsiny,exy, 其中 f 具有连续偏导数 , 求u 和 xu . y第 4 页,共 6 页解 设uxsiny,vxy e, 就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - zzuz精品资料fy u欢迎下载v xsin
9、xy yef vxuxv名师归纳总结 zzuzvxcosyfuxy xefv第 5 页,共 6 页yuyvy例 4设函数ufx,y ,z ex 2y2z2,而zx2siny,求u 和 xu y解uffz2x xe2y 2z 22x 2zey 2z22 sinyxxz x2x 12x2sin2y x e2y2x4sin2yuffz2yex 2y2z22ze x2y 2z2x2cosyyyzy2 yx4sinycosy ex 2y2x4sin2y如函数zfu,v ,u , x y ,v , x y 二阶偏导数连续,就复合函数zf , , , 存在二阶偏导数记号f112z,f122z,f212z,f
10、222zu2uvvuv2例 5 设复合函数zf2x3y,x,其中fu,v对u, 具有二阶连续偏导y数,求2zxy解设u2x3y ,vxyzzuzv2f11f2xuxvxy2zy2f11f22f1y1f2xyyyy2 f113f12x1f21f23f22xy2y2yy26f11xf223yy22xf121f2y3y2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载四、全微分形式不变形设函数zfu,v 具有连续偏导数,就全微分zf , , , x yd zzd uzd v,如函数u , x y ,vuv , x y 有连续偏导数,就复合函数的全微分为d
11、zzdxzdyzvdyxyzuzvdxzuuxvxuyvyzudxud zvd xv yd uxyvxu,vzd uzd v的函数,它的全微分形式是一uv可见无论 z 是自变量x,y的函数或中间变量样的,这个性质叫全微分形式不变性名师归纳总结 例 6 利用全微分形式不变性求微分d zdeusin v ,其中uxy,vxy第 6 页,共 6 页解由于 dzdu esin u esin d v uu ecos d v vydyxy又由于dudxy y xx y , d vdxyd xdy ,所以dzu esinv d y xx y d u ecos dxd u esinv yu ecos dxu esinv xeucos dyxy eysinxycosxydxexy sinxy cosx如先求出zxy eysinxycosxy,zxy exsinxycosxy代入公式dzzdxzdy得结果完全一样xy- - - - - - -