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1、经济数学 -微积分教案山 东 女 子 学 院1 第五节 隐函数求导法则教学目的：会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。教学重点：隐函数的偏导数教学难点：隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；教学时数： 2 教学内容：一、一个方程的情形1、 隐函数存在定理1 设 函 数( ,)F x y在 点00(,)P xy的 某 一 邻 域内具 有 连 续偏 导数0000(,)0,(,)0yF xyFxy则方程( , )0F x y在点00(,)xy的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx它满足条件00yfx并有yxFFdxdy证明将yfx代入( , )0,F x y得恒等
2、式( ,)0,F x fx等式两边对x求导得0dxdyyFxF由于yF连续且00(,)0yFxy所以存在00(,)xy的一个邻域在这个邻域同0yF于是得yxFFdxdy例 1： 验证方程2210 xy在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0 x时1y的隐函数,yfx并求这函数的一阶与二阶导数在0 x的值解：设22( ,)1F x yxy则2xFx、2yFy、F(0,1)0F (0,1)20.y因此由定理 1 可知方程2210 xy在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当0 x时1y的隐函数( )yfx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 经济数学 -微积分教案山 东 女 子 学 院2 yxFFdxdyyx00 xdxdy332222221)(yyxyyyxxyyyxydxyd1022xdxyd隐函数存在定理还可以推广到多元函数一个二元方程( , )0F x y可以确定一个一元隐函数一个三元方程( , , )0F x y z可以确定一个二元隐函数2、隐函数存在定理2 设 函 数( , )F x y z在 点000(,)P xyz的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导
4、数且000(,)0F xyz000(,)0zFxyz则方程( , , )0F x y z在点000(,)xyz的某一邻域内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数( , )zf x y它 满 足 条 件000(,)zf xy并有zxFFxzzyFFyz证明 ；将( ,)zf x y代入( , )0F x y z得( , ,( , )0,F x y f x y将上式两端分别对x和y求导得0 xzzFFx0yzzFFy因为zF连续且000(,)0,zFxy z所以存在点000(,)xyz的一个邻域使0zF于是得xzFzxFyzFzyF例 2： 设2224
5、0 xyzz求22xz解：设222( , , )4F x y zxyzz则2xFx24,yFz2242xzFzxxxFzz3222222)2()2()2()2()2()2()2(zxxzzxxxzxzxxxz名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 经济数学 -微积分教案山 东 女 子 学 院3 例 3：设z( , )z x y是方程zxyze所确定的函数，则2_zx y。解：两边求全微分得zdxdydze dz，所以1z
6、dxdydze，从而11zzzxye，所以22(1)zzzezyx ye3(1)zzee例 4：设(,)0cxaz cybz，其中( , )u v可微，则_zzabxy。解：由于12()()0d cxazd cybz，所以1212cdxcdydzab从而121212,cczzxabyab，故zzabcxy。二、方程组的情形在一定条件下由个方程组( , , , )0F x y u v( , , , )0G x y u v可以确定一对二元函数( ,)uu x y( , )vv x y例如方程0 xuyv和1yuxv可以确定两个二元函数22yxyu22yxxv事实上0 xuyvuyxv1uyxxyu
7、22yxyu2222yxxyxyyxv如何根据原方程组求u v 的偏导数？隐函数存在定理3 设( , , , )F x y u v、( , , , )G x y u v在点0000(,)P xyuv的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数又0000(,)0F xyu v0000(,)0G xyuv且偏导数所组成的函数行列式vGuGvFuFvuGFJ),(),(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 经济数学 -微积分教案山
8、 东 女 子 学 院4 在 点0000(,)P xy uv不 等 于 零则 方 程 组( , , )0F x y u v( , , , )0G x y u v在 点0000(,)P xy uv的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 组 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数( ,)uu x y( ,)vv x y它们满足条件000(,)uu xy000(,),vv xy并有vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu),(),(1吧vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu),(),(1vuvuyuyuG
9、GFFGGFFyuGFJyv),(),(1例 5：设01xuyvyuxv，求,uuvvxyxy解：由01xuyvyuxv可得00udxxduydvvdyyduudyxdvvdx所以xduydvudxvdyyduxdvudyvdx解得：22()()uxvy dxvxuy dyduxy，22()()uyvx dxuxvy dydvxy所以2222,uxuyvvyuxvxxyxxy，2222,uxvyuvxuyvyxyyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -