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1、学习好资料欢迎下载博未教育教案专题二三角形老师姓名学生姓名科目课程类别日期陈老师数学2016/5/8 教学目的：1. 掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念；2. 利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。知识点概述：1. 三角形的相似与全等；2. 解直角三角形。重难点难题概述：1. 掌握三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形等基础知识；2. 综合应用这些基础知识解决问题。知识回顾 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习好资料欢迎下载一、三角形的概念及其性质1三角形的
2、概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2三角形的分类(1) 按边分类：(2) 按角分类：3三角形的内角和外角(1) 三角形的内角和等于180. (2) 三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 4三角形三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 5三角形内角与对边对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边；在同一三角形中，等边对等角，等角对等边 . 6三角形具有稳定性 . 二、三角形的“四心”和中位线三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线. 精选学习资料 - -
3、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习好资料欢迎下载1内心：三角形角平分线的交点， 是三角形内切圆的圆心， 它到各边的距离相等 . 2外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等 . 3重心：三角形三条中线的交点， 它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍. 4垂心：三角形三条高线的交点 . 5三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 要点诠释：(1) 三角形的内心、重心都在三角形的内部. (2) 钝角三角形的垂心、外
4、心都在三角形的外部. (3) 直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点. (4) 锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部. 三、全等三角形1定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2性质：(1) 对应边相等(2) 对应角相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习好资料欢迎下载(3) 对应角的平分线、对应边的中线和高相等(4) 周长、面积相等 3判定：(1) 边角边 (SAS) (2) 角边角 (ASA) (3) 角角边 (AAS) (4) 边边边 (SSS) (5) 斜边直角边 (HL)( 适用
5、于直角三角形 ) 要点诠释：判定三角形全等至少必须有一组对应边相等. 四、等腰三角形 1定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2性质：(1) 具有三角形的一切性质 . (2) 两底角相等 ( 等边对等角 ) (3) 顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合( 三线合一 ) (4) 等边三角形的各角都相等，且都等于60. 3判定：(1) 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等( 等角对等边)；(2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；(3) 有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释：(1) 腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；(2) 等边三角形是特殊的
6、等腰三角形. 五、相似三角形1定义： 2. 性质： (1) 对应边的比等于相似比 . (2) 对应高的比等于相似比 . (3) 周长比等于相似比 . (4) 面积比等于相似比的平方 . 3. 判定：（1）两对应边的比相等，夹角相等. (2) 两个对应角相等 . (3) 三条对应边的比相等 . 六、直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习好资料欢迎下载 1定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2性质：(1) 直角三角形中两锐角互余；(2) 直角三角形中， 30锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)
7、在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30. (4) 勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5) 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 . (6) 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；(7)SRt ABC= ch=ab，其中 a、b 为两直角边， c 为斜边， h 为斜边上的高. 3判定：(1) 两内角互余的三角形是直角三角形；(2) 一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形 . (3) 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，
8、则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边 . 七、线段垂直平分线和角平分线 1线段垂直平分线：经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的性质：(1) 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2) 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 2角平分线的性质：(1) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；(2) 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；(3) 角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合. 经典考题解析：考点一、三角形的概念及其性质例 1 （
9、1） （2010 山东济宁）若一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是（）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习好资料欢迎下载答案： B. （2）三角形的三边分别为3，1-2a，8，则 a 的取值范围是 ( ) A-6a-3 B-5 a-2 C2a5 D a-5 或 a-2 解析：根据三角形三边关系得：8-31-2a8+3，解得 -5 a-2，答案： B. 例 2 （1） （2010 宁波市）如图，在 ABC中，AB AC ，A36，BD
10、、CE分别是ABC 、BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）A5 个B4 个 C3 个 D2 个答案： A （2）如图在 ABC中， ABC=90 ，A=50，BD AC ，则CBD的度数是_. 考点：直角三角形两锐角互余. 答案： CBD= C=40 .例 3已知ABC的三个内角 A、B、C满足关系式 B+C=3 A，则此三角形中( ) A.一定有一个内角为45B.一定有一个内角为60C.一定是直角三角形 D. 一定是钝角三角形考点：三角形内角和180. 答案： A. 考点二、三角形的“四心”和中位线例 4 （1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的( ) A.二条中线的交点B
11、. 二条高线的交点C.三条角平分线的交点 D. 三边中垂线的交点考点：线段垂直平分线的定理. 答案： D. （） （2010 四川眉山）如图，将第一个图（图）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图） ；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，则得到的第五个图中，共有_个正三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习好资料欢迎下载考点：三角形中位线找规律答案： 17. 例 5一个三角形的内心在它的一条高线上，则这个三
12、角形一定是( ) A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形考点：三角形角平分线定理. 答案： B. 考点三、全等三角形例 6对于下列各组条件，不能判定的一组是 ( ) A.A=A，B=B，AB=A B B. A=A，AB=A B，AC=A CC.A=A，AB=A B，BC=B C D.AB=AB，AC=A C，BC=B C答案： C. 例 7 （2010 湖南长沙）在正方形ABCD 中，AC为对角线， E为 AC上一点，连接EB 、ED （1）求证： BEC DEC ；（2）延长 BE交 AD于 F，当 BED=120 时，求 EFD的度数第 7 题图考点：三角形全等的判定
13、及性质. 思路： （1）利用 ASA判定;(2) 利用 BEC DEC 考点四、全等三角形与相似三角形例 8. 如图，梯形 ABCD中，ABCD，且 AB2CD，E，F分别是 AB，BC?的中点， EF 与 BD 相交于点 M（1）求证： EDMFBM；（2）若 DB9，求 BM（1）证明： E 是 AB 中点， AB2BE，AB2CD，CDEB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习好资料欢迎下载又 ABCD，四边形 CBED是平行四边形，CBDE，DEMBFMEDMFBM， EDMFBM（2）解： EDMFBM
14、，DMDEBMBF，?F 是 BC中点， DE2FB，DM2BM，BM13DB3 例 9. 已知 ABC中，ACB 90o，CHAB，HEBC，HFAC 。求证： （1）HEF EHC； （2） HEFHBC 。分析： 从已知条件中可以获得四边形CEHF是矩形，要证明三角形全等要收集到三个条件，有公共边EH，根据矩形的性质可知 EFCH，HFEC 。要证明三角形相似，从条件中得FHECHB90o，由全等三角形可知，HEFHCB，这样就可以证明两个三角形相似。证明： HEBC，HFAC，CEHCFH 90o。又 ACB 90o，四边形 CEHF是矩形。EFCH，HFEC，FHE90o。又HEEH
15、，HFE EHC 。 HEFHCB 。FHECHB90o，HEFHBC。考点五、等腰三角形与直角三角形例 10（1） （2010湖北黄石） 如图，等腰三角形 ABC中，已知 AB AC ， A30，AB的垂直平分线交 AC于 D ，则 CBD 的度数为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习好资料欢迎下载（2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A.顶角的 2 倍B. 顶角的一半C. 顶角D. 底角的一半答案： B. 例 11如果线段 a、b、c 能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1
16、：2：4 B. 1 ：3：5 C. 3 ：4：7 D. 5 ：12：13 考点：考查勾股定理的逆定理. 答案： D. 例 12. 已知：在直角 ABC中， C=90 ，BD平分 ABC且交 AC于 D. (1) 若BAC=30 ，求证 : AD=BD；(2) 若 AP平分 BAC 且交 BD于 P，求 BPA的度数 . 思路：(1) 利用直角三角形两锐角互余， 求得 ABD= A=30，得出 AD=BD. (2) 利用三角形内角和及角平分线定义或利用三角形外角性质. 真题演练：1（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中， 网格线的交点称为格点 已知、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等
17、腰三角形，则点的个数是（ ）A6 B7 C 8 D9 2 (沈阳市 )(3 分)若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习好资料欢迎下载的度数为 ( ) A. B. C.或 D.或3.( 太原市 )(3 分) 在中，D ，E 分别是边 AB ，AC的中点，已知 BC=10 ，则DE的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4.( 太原市 )(3 分) 如果三角形的两边分别为3 和 5，那么这个三角形的周长可能是( ) A.15 B.16 C.8 D.7 5.( 湛
18、江市 )(3 分)已知等边三角形ABC 的边长为， 按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是( ) A. B.C.D.6.( 成都市 )(3 分) 如图, 在ABC与DEF中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使 ABC DEF ，不能添加的一组条件是( ) A.B=E，BC=EF B.BC=EF，AC=DF C.A=D，B=E D.A=D，BC=EF 7.( 广东省 )(4分) 已知等边三角形ABC的边长为，则ABC的周长是_. 8. （2010 江苏无锡）如图 , ABC中,DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E,A=30, ACB=80 , 则BCE=_ . 精
19、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习好资料欢迎下载9. （2010 湖南郴州）如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则_ 度10. （2010 贵州毕节）三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是 _. 11 ( 江苏省宿迁市 )(4 分) 等腰三角形的两边长分别是和， 则其周长为 _. 12( 江苏徐州巿 )(3 分)边长为 a 的正三角形的面积等于 _. 13( 沈阳市)(3 分) 已知中，的平分线交于点，则的度数为 _. 14 (海南省 )(3 分)已知在 ABC 和A1B1C1 中，
20、AB=A1B1 ，A=A1，要使 ABCA1B1C1 ，还需添加一个条件，这个条件可以是_. 15( 湖北省黄冈市 )(3 分) 如图，和都是边长为 2 的等边三角形，点在同一条直线上，连接，则的长为 _. 16( 湖南省邵阳市 )(3分) 如图，已知中，平分,点为的中点, 请你写出一个正确的结论：_. 17( 佳木斯市 )(3 分) 如图，请你添加一个条件： _ ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习好资料欢迎下载使( 只添一个即可 ). 18. （2010 四川凉山）已知三角形两边长是方程的两个根 , 则三
21、角形的第三边的取值范围是 _。19( 山东省日照市 )(4 分) 如图， C为线段 AE上一动点 ( 不与点 A，E 重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC 和正三角形 CDE ，AD与 BE交于点 O ，AD与 BC交于点P，BE与 CD交于点 Q ，连结 PQ.以下五个结论： AD=BE ； PQAE ； AP=BQ ； DE=DP ； AOB=60 . 恒成立的有 _(把你认为正确的序号都填上). 20( 新疆)(8 分) 如图，在 ABC中， C=2 B，AD是ABC的角平分线， 1=B.求证： AB=AC+CD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
22、 - - - - -第 12 页，共 14 页学习好资料欢迎下载21(陕西省 )(6 分) 已知：如图， B、C、E三点在同一条直线上， AC DE ，AC=CE ，ACD= B.求证： ABC CDE 22( 上海市 )(12 分，每小题满分各6 分) 如图，在 ABC中，点 D在边 AC上，DB=BC ，点 E是 CD的中点，点 F 是 AB的中点 . (1) 求证： EF= AB ；(2) 过点 A作 AG EF ，交 BE的延长线于点 G ，求证： ABE AGE. 23( 湖南省湘西自治州 )( 本题 6 分) 已知：如图，在 ABCD 中，BE=DF. 求证：. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习好资料欢迎下载24. （2010 四川内江）如图，ACD 和BCE都是等腰直角三角形， ACD BCE90，AE交 DC于 F，BD分别交 CE ，AE于点 G 、H.试猜测线段 AE和 BD的位置和数量关系，并说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页