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1、小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中第四讲 数学归纳法证明不等式专题检测试卷( 四) ( 时间： 90 分钟满分： 120 分) 一、选择题 ( 本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分) 1如果命题P(n) 对nk成立，那么它对nk 2成立，又若P(n) 对n1 成立，则P(n) 对所有 ( ) A正整数n成立B正偶数n成立C正奇数n成立D大于 1 的自然数n成立答案C 2若等式 12 2232n212(5n2 7n4) ，则 ( ) An为任何正整数时都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4 时成立，n5 时不成立D仅当n4 时不成立答案B 解析分别用n1,2,3,4,5验证即可3用
2、数学归纳法证明不等式11231331n321n(n2，nN) 时，第一步应验证不等式( ) A1123212B1123133213C1123213D1123133214小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中答案A 解析第一步验证n2 时不等式成立，即1123212. 4已知数列 an中，a1 1，a22，an12anan1(nN)，用数学归纳法证明a4n能被 4 整除，假设a4k能被 4 整除，然后应该证明( ) Aa4k1能被 4整除Ba4k2能被 4整除Ca4k3能被 4整除Da4k4能被 4整除答案D 解析假设当nk(k1，kN) 时，即a4k能被 4 整除，然后应证明当nk1 时，即
3、a4(k1)a4k 4能被 4 整除5设f(n) 112131412n1，则f(k1) f(k) 等于 ( ) A.12k 11B.12k12k112k11C.12k12k1 1D.12k12k1答案D 解析当nk(k1，kN) 时，f(k) 1121312k1，当nk1 时，f(k1)1121312k112k12k1，所以f(k1) f(k) 12k12k1. 6用数学归纳法证明“42n 13n1(nN) 能被 13 整除”的第二步中，当nk1 时为了使用归纳假设，对42k1 3k2变形正确的是 ( ) 小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中A16(42k13k 1) 133k1B442k
4、93kC(42k1 3k1) 1542k 123k 1D3(42k13k1) 1342k 1答案A 解析假设当nk(k1，kN) 时， 42n1 3n1能被 13 整除，则当nk1 时，42k13k 21642k133k116(42k13k1) 133k1. 7已知 123332433n3n13n(nab) c对一切nN都成立，那么a，b，c的值为 ( ) Aa12，bc14Babc14Ca0，bc14Da，b，c不存在答案A 解析令n等于 1,2,3 ，得13abc，123 9 2abc，12333227 3abc，解得a12，bc14. 8已知n为正偶数，用数学归纳法证明：11213141
5、n21n21n412n时，若已假设nk(k2 且为偶数 ) 时，等式成立，则还需要用归纳假设再证( ) Ank1 时等式成立Bnk2 时等式成立小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中Cn2k2 时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案B 解析偶数k的后继偶数为k2，故应再证nk2 时等式成立二、填空题 ( 本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分) 9用数学归纳法证明coscos3 cos(2n 1) sin2n2sin (sin 0，nN) ，在验证当n1 时，等式右边的式子是_答案cos解析当n 1时，右边sin2 2sin 2sin cos2sin cos. 10仔细观察下列不等式：
6、1113，1111135，1111131157，1111131151179，则第n个不等式为 _答案111113115112n12n1(nN) 11观察下列不等式： 112，112131,1 12131732，112131152,1 121313152，由此猜测第n个不等式为 _答案1121312n1n2(nN) 小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中解析1211,3 221,7 231,15 241，31251，归纳第n个式子为1121312n1n2(nN) 12设nN，f(n) 5n23n11，通过计算n1,2,3,4时f(n) 的值，可以猜想f(n) 能被数值 _整除答案8 三、解答题
7、 ( 本大题共6 小题，每小题10 分，共 60 分) 13用数学归纳法证明：当nN时，11313512n12n1n2n1. 证明(1) 当n1 时，左边11313，右边121 113，左边右边，所以等式成立(2) 假设当nk(k1，k N) 时，等式成立，即11313512k12k1k2k1. 则当nk1 时，11313512k1 2k 112k1 2k3k2k 112k1 2k 32k23k12k12k32k1k12k1 2k 3k 12k3k12k1 1. 即当nk1 时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切n N等式都成立14用数学归纳法证明：f(n) 352n 123n1(nN)能被
8、 17 整除证明(1) 当n1 时，f(1) 353243911723，故f(1) 能被 17 整除小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中(2) 假设当nk(k1，k N) 时，命题成立即f(k) 352k123k1能被 17 整除，则当nk1 时，f(k1)352k323k452352k 15223k 15223k123k425f(k) 1723k 1. 由归纳假设可知，f(k) 能被 17 整除，又 1723k 1显然可被17 整除，故f(k1) 能被 17 整除综合 (1)(2)可知，对任意正整数n，f(n) 能被 17 整除15设an 112131n(nN) ，是否存在关于n的整式q
9、(n) ，使得等式a1a2a3an1q(n) (an1) 对于大于1 的一切正整数n都成立？证明你的结论解假设q(n)存在，探索q(n) 当n2 时，由a1q(2)(a21) ，即 1q(2)1121 ，得q(2) 2. 当n3 时，由a1a2q(3)(a31) ，即 1 112q(3)11213 1 ，得q(3) 3. 当n4 时，由a1a2a3q(4)(a41)，即 1 112 11213q(4)11213141 ，得q(4) 4. 由此猜想q(n)n(n2，nN) 下面用数学归纳法证明当n2 且nN时，等式a1a2a3an1n(an1) 成立小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中当n2
10、 时，左边a11，右边 2(a21)2121，结论成立假设当nk(k2，kN) 时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1) ，则当nk1 时，a1a2a3ak1akk(ak1) ak(k1)akk(k1)ak (k1) 1 (k1)ak1k1 1(k1)(ak11) ，所以当nk1 时结论也成立由可知，对于大于1 的一切正整数n，都存在q(n) n使得等式a1a2a3an1q(n)(an1) 成立16如果数列 an 满足条件：a1 4，an113an2an(n1,2 ，) ，证明：对任何正整数n，都有an 1an且an0. 证明(1) 由于a1 4，a213a12a111224136a1.
11、且a10，因此，当n1 时不等式成立(2) 假设当nk(k1)时，ak 1ak且ak0，即ak113ak2ak0，ak2ak113ak12ak113ak2ak5ak1ak2ak12ak0. 小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中所以当nk1 时不等式也成立，由(1)(2)知，不等式对任何正整数n都成立因此，对任何正整数n，都有an1an且an0. 17在数列 an ，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an 1，bn1成等比数列(nN) (1) 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测 an，bn 的通项公式，并证明你的结论；(2) 证明：1a1b11a2b2
12、1anbn512. (1) 解由条件得2bnanan1，a2n1bnbn1. 由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425. 猜测ann(n 1)，bn(n1)2. 下面用数学归纳法证明：当n1 时，由以上知结论成立假设当nk(k1，kN) 时，结论成立，即akk(k1) ，bk(k1)2，那么当nk1 时，ak12bkak 2(k1)2k(k1) (k1)(k2) ，bk1a2k1bk(k2)2. 所以当nk1 时，结论也成立由可知，ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2) 证明1a1b1162(n1)n. 小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中故1a1b1
13、1a2b21anbn16121231341n n11612121313141n1n 11612121n11614512. 故原不等式成立18已知a，bR，nN. 求证：anbn2ab2n. 证明(1) 当n1 时，ab2ab2，显然成立(2) 假设当nk(k1，k N) 时，不等式成立，即akbk2ab2k. 要证nk1 时，不等式成立，即证ak 1bk12ab2k1. 在akbk2ab2k的两边同时乘以ab2，得ab akbk4ab2k 1. 要证ak 1bk12ab2k1，只需证ak 1bk 12ab akbk4，小学 +初中 +高中小学 +初中 +高中因为ak 1bk12ab akbk4? 2(ak1bk1) (ab)(akbk) ? 2(ak1bk1) (ak1abkakbbk1) 0?ak1abkakbbk 10? (ab)(akbk) 0.又ab与(akbk)同正负 (或同时为0)，所以不等式 (ab)(akbk) 0显然成立所以当nk1 时，不等式成立综合 (1)(2)可知，对任何nN，不等式恒成立