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1、构造法求数列通项公式专题讲座构造法求数列通项公式专题讲座高中数学教师欧阳文丰制作高中数学教师欧阳文丰制作引言引言 求数列的通项公式是数列的难点和重点内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。构造法的定义构造法的定义 所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分
2、别进行论述。 基本思路：基本思路：可用待定系数法,设 ,与已知式子相比较得 ,从而数列 成等比数列,易得 .1nnap a1qp1nqap1111nnqqaappp类型1形如 的递推式11,0,0nnapaq ppq类型1形如 的递推式 例例1、已知数列 满足，求数列 的通项公式。11,0,0nnapaq ppq*111,21nnaaanN111,21nnaaa1121nnaa112a 1111212nnnaa 21nna 解解:因为,得且. 所以.从而得.nnnaaaa求：已知练习, 32, 3111323nna答案：nnnanaaa求：已知练习)2( , 43, 92111)31(81nn
3、a答案：类型1形如 的递推式11,0,0nnapaq ppq 练习练习3、已知数列 的前 项和为 ，且 求数列 的通项公式。 nannS585nnSna na类型1形如 的递推式11,0,0nnapaq ppq类型2形如 的递推式 nb nf解法：只需构造数列构造数列，消去，消去带来的差异差异 nfpaann11nqqqaqpqannnn111 nbnnnqab qbqpbnn11一般地，要先在原递推公式两边同除同除以，得：引入辅助数列引入辅助数列（其中（其中），得：），得：再用待定系数法解决。再用待定系数法解决。 na651a11)21(31nnnaana11)21(31nnnaa12n1)
4、2(32211nnnnaannnab 21321nnbbnnb)32(23nnnnnba)31(2)21(32例例2、已知数列、已知数列中，中，求解：在解：在两边乘以得：令令，则,解之得：所以类型2形如 的递推式 nfpaann1 例3、类型2形如 的递推式 na2214nnnaSna已知数列前n项和求 通项公式.2214nnnaS111214nnnaS)2121()(1211nnnnnnaaSS11121nnnnaaannnaa21211由得：于是所以.nnnqpaa112n22211nnnnaa1214121111aaSanna2nnann2) 1(22212nnna上式两边同乘以得：由.
5、于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 练习练习1、数列 满足 ， 则 111232, 3nnnaaana322,2321111nnnnnnnaaaa232, 322111aaannnn又nna2232333) 1(232nnann112)36()233(22nnnnna解：解： 构成了一个以 首项 ，公差为3的等差数列， nnnnanaaa求：已知练习)2( ,55, 52111nnna5)45(答案：nnnnanaaa求：已知练习)2( ,221, 13111nnnnnnna11221212答案： 解法：这种类型一般利用待定系数法待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解
6、出 ,从而转化 为 是公比为p 的等比数列。banpaann1类型3形如 的递推式)() 1(1yxnapynxannyx,yxnanCBnAnpaann21)(2CBnAnapbnn同样令na)2( , 123, 411nnaaannnaBAnbaB，Anabnnnn则1,nnaa12) 1(31nBnAbBAnbnn) 133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取13nnbb61bnnnb32361132nann例例4:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得 说明：（1）若 为 的二次式，则可设 ; (2)本题也可由 , （ ）两式相减
7、得 转化为 求之.)(nfn)(2CBnAnapbnn1231naann1) 1(2321naann3n2)(3211nnnnaaaannnqbpbb12 nannS2*111,21nnaaSnnnN na练习练习1 数列前项和为,且，求数列，求数列的通项公式。的通项公式。练习练习2 在数列an中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列an通项。543221nnaann练习a1=1求数列an通项。类型四：类型四：已知 （利用取倒数法，构造等差数列）。为公差的等差数列。为首项，以是以分析：取倒数，pdaapdapapdaannnnn11111111 na21annnaaa311na例例5：
8、数列中，若，则，则31311,3111nnnnnnnaaaaaaanaa1,211121562,2562533) 1(211nannnann解： 又是首项为公差3的等差数列。 nannnaaaa312, 211nannnnnnnaaaaaaa121232311,312113,232),1(2111则令nnaa2531),31(213111aaann又31na252111)21(2531,)21(2531nnnnaa1)21(2531nna例例6数列中，求解：是首项为公比为的等比数列nnnnanaaaa求通项：已知练习, 2,13, 31111893nan答案：nnnnnaaaaaa求通项：已知
9、练习,02, 32111563nan答案：nnnnnssaasn, 2,122, 1321项和求前：已知练习121nsn答案：类型4补充形如 的递推式.10,0nnnaabacadbccad，axbxcxdnnnaba nb1nnba nb基本思路：基本思路：一般的,设是递推关系的特征方程的两个根.(1)当时,可令,则为等比数列;(2) 当时,可令,则为等差数列。.nnnaba na11324,4nnnaaaa na1324nnnaaa324xxx122,1xx 11225101,244nnnnnnaaaaaa 11112252nnnnaaaa12nnaa14a 11131262aa11122
10、25nnnaa11125252nnnnna例例7 在数列中, 求数列的通项公式。解解:由于的特征方程的两根为,所以,两式相除得,.则数列为等比数列.因为,所以,所以,所以.na,Nn.325131nnnaaa例例8已知数列满足：对于都有, 61a;na若求.32513xxx, 025102xx解：作特征方程变形得, 5, 61a.1a.,811) 1(11Nnnrprnabn, 0nb.7nn. 0bN,nn.N,7435581111nnnnbann令则对于2( )(0)2axbf xaaxd类型5形如 的递推式2( )(0)2axbf xaaxdxx12、f x( )anaf ann()12
11、,3,n 2111122()nnnnaxaxaxax11120axax12lnnnaxax2定理定理 设，且是的不动点，数列满足递推关系，则有；若，则是公比为的等比数列。nx14x 21324nnnxxxnx例例9 9（20102010北京东城区二模试题）北京东城区二模试题）已知数列满足，求数列的通项公式21324nnnxxx23( )24xf xx( )f xx121,3xx2213(1)112424nnnnnxxxxx 2213(3)332424nnnnnxxxxx2111133nnnnxxxx111413343xx133111log2log33nnnnxxxx解：依题，记，令，求出不动点；由定理知：，所以，又，所以11121231313131nnnnanax所以1311log13xx又31log3nnnxax，令，则数列na1212nna31log3nnnxax133nannxx是首项为，公比为的等比数列所以由，得 nannnnSaS22,若12nnna补充例题补充例题 设数列的前项和为成立，(1)求证： 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式