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1、课程名称：二次函数综合问题-动点问题教 学 内 容和地位：1. 二次函数是整个初中数学的难点，也是考试的热点和重点。在中考中，二次函数一般都会与几何问题有机整合，再加上动点运动，成为中考的压轴大题。这类题目往往难度较大，需要考生有较强的整合能力和分析、计算能力。分值11 分。教材分析重点：数形结合思想在二次函数性质中的应用，求点坐标，函数表达式，与动点结合问题。难点：函数思想与几何思想相互转化求解。课时规划3 课时教 学 目 标分析1 解决二次函数与图形共存问题, 2 根据二次函数图像与性质，解决动点等综合问题教学思路1、复习、检查上次课重点知识2、梳理本节课重要知识3、例题精讲4、重点、常见
2、题型（图形变换）5、易错点，常用解题方法和技巧6、课堂总结，课下安排必讲知识点一、复习重要内容二、梳理本节课重要知识：当题目中出现动点时，学会解题思路“化动为静”，将动点的几种特殊的运动状态定格，这样动点就不是动点了。动点问题它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑， 而是要在 “动”中求“静”，化“动”为“静” ，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。例 1：动点问题如图，点 A，B的坐标分别为（1, 4）和（ 4, 4）,抛物线nmxay2)(的顶点在线段 AB上运动，与 x 轴交于 C、D
3、两点（ C在 D 的左侧），点 C 的横坐标最小值为3，则点 D 的横坐标最大值为（）A 3 B1 C5 D8 例 2、动线问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页如图，已知A， B 两点坐标分别为（28，0）和（ 0，28） ，动点 P 从 A 开始在线段AO上以每秒3 个单位长度的速度向原点O 运动动直线EF从 x 轴开始以每秒1 个单位长度的速度向上平行移动（即EF x 轴） ，并且分别与y 轴、线段AB交于点 E，F，连接 FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t 秒（1）当 t=1 秒时，求梯形OP
4、FE的面积（2）t 为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？例 3、动点与动线相结合如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的两边分别在x 轴和 y 轴上，OA=cm，OC=8cm，现有两动点P、 Q 分别从 O、C 同时出发， P 在线段 OA 上沿 OA 方向以每秒cm的速度匀速运动， Q 在线段 CO上沿 CO方向以每秒1cm 的速度匀速运动、设运动时间为t 秒（1）用 t 的式子表示OPQ的面积 S ；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当 OPQ与 PAB和 QPB相似时， 抛物线经过 B、P两点，过线段 BP 上一动点M 作 y 轴的平行线交
5、抛物线于N，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ分成两部分的面积之比例 4、动形问题如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD和等腰 PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm，点 B、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页C、Q、R 在同一条直线l 上，当 C、Q 两点重合时，等腰PQR以 1cm/ 秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD与等腰 PQR重合部分的面积为Scm2解答下列问题：（1）当 t=3 秒时，求S的值；（2）当 t=5 秒时，求S的值；（3）当 5
6、 秒 t8 秒时，求 S与 t 的函数关系式，并求出S的最大值提示：四种运动状态三、例题精讲例 1、如图，抛物线与 y 轴交于点A，过点 A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作 x 轴，交直线 AB 于点 M，抛物线于点N，设点 P 移动的时间为t 秒， MN 的长为 s个单位，求 s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（ 2）的条件下（不考虑点P 与点 O，点 C 重合的情况），连接CM， BN，精选学习资料 -
7、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页当 t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由 . 分析：第（ 1）根据 A、B 两点坐标，用待定系数法易得。第（2）s即为线段MN 的长度，因 P 在 OC 上移动，所以点 N 必在 M 的上方，所以s 就是N 点的纵坐标减去M 点的纵坐标。第（3）要四边形 BCMN为平行四边形，因BC MN ，只要BC MN即可；平行四边形BCM N 是否为菱形，只要把所求 t 的值代入，看邻边是否相等。例 1：解（ 1）把 x=0 代入，得把
8、x=3 代入，得，A、B两点的坐标分别（0，1）、（ 3，）设直线 AB的解析式为，代入 A、B的坐标，得，解得所以，（2）把 x=t 分别代入到和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页分别得到点M 、N的纵坐标为和MN=- （）=即点 P在线段 OC上移动，0t 3.(3) 在四边形BCMN 中， BC MN当 BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形由，得即当时，四边形BCMN 为平行四边形当时， PC=2 ，PM=，PN=4 ，由勾股定理求得CM=BN= ,此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN
9、为菱形；当时，PC=1 ，PM=2 ，由勾股定理求得CM=,此时 BC CM ，平行四边形BCMN 不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN 为菱形例 2、 如图，已知抛物线ya(x1)2(a 0)经过点 A( 2， 0)， 抛物线的顶点为D，过 O 作射线 OMAD过顶点 D 平行于轴的直线交射线OM 于点 C，B 在轴正半轴上，连结 BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 t （s）问：当 t 为何值时， 四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OCOB，动点 P 和动点 Q
10、 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当 t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长分析：（ 2）关键是合理转化为相应线段之间的关系；（3）把不规则最值图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。例 2：解：（ 1）把 A( 2，0)代入ya(x1)2，得 0a(21)2a该抛物线的解析式为y(x1)2即yx2
11、x（2）设点 D 的坐标为(xD，yD)，由于 D 为抛物线的顶点xD1，yD121点 D 的坐标为(1，)如图，过点D 作 DNx 轴于N，则DN，AN3， AD6 DAO60OMAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页当 ADOP 时，四边形DAOP 为平行四边形OP6 t6（s）当 DPOM 时，四边形DAOP 为直角梯形过点 O 作 OEAD 轴于 E在 RtAOE 中， AO2， EAO60 ， AE1（注：也可通过RtAOERtAND 求出 AE1）四边形DEOP 为矩形， OP DE615t5（s）当
12、PDOA 时，四边形DAOP 为等腰梯形，此时OPAD2AE624t4（s）综上所述，当t6s、5s、 4s 时，四边形DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3） DAO 60 ，OMAD， COB60 又 OCOB， COB 是等边三角形，OBOCAD6BQ2t， OQ62t（0t3）过点 P 作 PFx 轴于 F，则 PFtS四边形BCPQSCOBSPOQ6( 62t)t( t)2当 t（s）时， S四边形BCPQ的最小值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页此时 OQ62t 623，OP， OF， Q
13、F3，PFPQ四、本节课重点、常见题型本节课重点内容是二次函数图像与几何图形：三角形，四边形的动点结合，是函数性质，图像的判定等综合问题。1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是 y =+1，点 C 的坐标为 ( 4，0)，平行四边形OABC的顶点 A，B 在抛物线上，AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在 x 轴上 . (1) 写出点 M 的坐标；(2) 当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时. 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1：2 时，求 t 的值 . 分析：分析：（ 2）
14、有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另两边也平行的情况排除掉；（3）因两边大小不定，要进行分类讨论，解(1) OABC 是平行四边形， AB OC， 且 AB = OC = 4，A，B 在抛物线上，y 轴是抛物线的对称轴， A，B 的横坐标分别是2 和 2，代入 y =+1 得，A(2, 2 ) ，B( 2，2)，M (0，2)，(2) 过点 Q 作 QHx 轴，设垂足为H， 则 HQ = y ， HP = x t ，由 HQP OMC，得：, 即：t = x 2y , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，
15、共 10 页 Q(x,y) 在 y = +1 上， t = + x 2. 当点 P 与点 C 重合时，梯形不存在，此时，t = 4，解得 x = 1, 当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = 2 x 的取值范围是x 1, 且 x 2 的所有实数 . 分两种情况讨论：1）当 CM PQ 时，则点 P 在线段 OC 上， CMPQ，CM = 2PQ ，点 M 纵坐标为点Q 纵坐标的2倍，即 2 = 2(+1)，解得 x = 0 ，t = + 0 2 = 2 . 2）当 CM PQ 时，则点 P 在 OC 的延长线上，CMPQ，CM = PQ，点 Q 纵坐标为点M 纵坐标的
16、2倍，即+1=22，解得：x = . 当 x = 时，得 t = 2 = 8 , 当 x =时，得 t = 8. 2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图12-所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
17、-第 9 页，共 10 页他能获取的最大利润是多少？六、课堂小结、课下安排1、 （2008 年潍坊市）若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）A.最大值B.最大值C.最小值D.有最小值2.（ 09 洛江）我区某工艺厂为迎接建国60 周年，设计了一款成本为20 元 件的工艺品投放市场进行试销经过调查，其中工艺品的销售单价x（元 件）与每天销售量y（件）之间满足如图3-4-14 所示关系（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30 元和 40 元时相应的日销售量；（2）试求出y与x之间的函数关系式；若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工
18、艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价成本总价） 。3 如图，等腰梯形ABCD中， AB=4，CD=9 ， C=60，动点P从点 C出发沿 CD方向向点 D 运动， 动点 Q 同时以相同速度从点D 出发沿 DA 方向向终点A 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求 AD 的长；（2）设 CP=x ，问当 x 为何值时 PDQ的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M 使得四边形PDQM 是菱形？若存在，请找出点 M，并求出BM 的长；不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页