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1、名师精编优秀教案二次函数的概念教学设计一、教学目标和要求：（1）知识目标1.能表示简单变量之间的二次函数关系；2.掌握二次函数的概念，会辨别二次函数。3.使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。（2）能力目标1.复习旧知，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力2.经历列函数解析式、类比一次函数和反比例函数得出二次函数的过程，体会二次函数的意义、类比思想在数学学习中的地位与作用；3.经历学生自主探究、辨别二次函数表达式的过程，加深对二次函数的理解。（3）情感目标1.通过观察、操作、交流归纳等数
2、学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心2.通过实际问题的解决，体验数学活动与人类生活的密切联系，调动学生学习数学的兴趣和积极性；3.经历概念的得出过程，体会数学知识的发现、产生、发展的过程；4.经历辨别二次函数解析式的过程，感受数学知识的严谨性、确定性，以及进行质疑和独立思考的习惯。三、教学重点1.经历抽象二次函数概念的过程，体会二次函数的意义，掌握二次函数的概念。2.由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。教法学法设计：1、从创设情境入手，通过知识再现，孕伏教学 过程2、从学生活动出发，通过以旧引新，顺势教学 过程精选学习资料 - - - - -
3、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师精编优秀教案3、利用探索、研究手段，通过思维深入，领悟教学 过程教学 过程：一、复习提问1.一元二次方程的一般形式是什么？2。一次函数的定义是什么？【设计意图】复习这些问题是为了引入一元二次此函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解强调k 0 的条件，以备与二次函数中的a 进行比较。二、引入新课电脑演示：拱桥、喷泉等与一元二次函数图像有关的图片引起学生对一元二次函数的好奇和兴趣。三、新课问题 1.现有一根 12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它
4、的面积最大，他说的有道理吗？问题 2.很多同学都喜欢打篮球， 你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？师：这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习 “二次函数”（板书课题）（二）合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与 x 之间的关系：（1）面积 y (cm2)与圆的半径x ( cm )（2）王先生存人银行 2 万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期 ,设一年定期的年存款利率为文x 两年后王先生共得本息y 元; （3） 拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形， 周长
5、为 120cm , 室内通道的尺寸如图 ,设一条边长为x (cm), 种植面积为y (m2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师精编优秀教案（1）教师组织合作学习活动：1 求，尝试写出 y 与 x 之间的函数解析式。2 述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。（1）2xy（2）y = 2000(1+x)2 = 20000 x2+40000 x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112 （2）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提
6、出各自看法。师：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax2+bx+c (a,b,c是常数 , a0)的形式。下面我们给出二次函数的定义：我们把形如 y=ax2 +bx+c(其中 a,b,c 是常数， a0)的函数叫做二次函数 (quadratic funcion) ；称 a为二次项系数，b 为一次项系数， c 为常数项。（3）做一做师：在学习完二次函数的定义之后，我们给出几道练习题， 让同学们通过习题来巩固所学的知识点。1 列函数中，哪些是二次函数？(1)2xy(2) 21xy(3) 122xxy(2)（4）)1(xxy（5）) 1)(1() 1(2xxxy2 别说出下列二次函数的二次项系数、一
7、次项系数和常数项：（1）12xy（2）12732xxy（3）)1(2xxy（四）例题示范，了解规律例一若函数mmxmy2) 1(2为二次函数，则 m 的值为。分析：要使函数为二次函数，则二次项系数不为零，且最高项次数为2. 解：210m且22mm解得1m且2m或1m所以2m例二：如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去 4 个全等的直角三角形（图中阴影部分）。 设 AE=BF=CG=DH=x(cm) , 四边形 EFGH 的面积为 y(cm2),求：y 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围。1 1 1 3 x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
8、- - - - -第 3 页，共 14 页名师精编优秀教案分析：（1）学生独立分析思考，尝试写出y 关于 x 的函数解析式，教师巡回辅导，适时点拨；（2）对于这问题可以用多种方法解答，比如：求差法：四边形 EFGH 的面积 =正方形 ABCD 的面积 -直角三角形 AEH 的面积的4 倍。直接法：先证明四边形EFGH 是正方形，再由勾股定理求出EH2(3)对于自变量的取值范围，要求学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。解：4AEHABCDEFGHSSS正方形四边形=212422xx=2244xx随堂练习：1下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数，一次项系数，常数项；(1)
9、 y=3(x-1)2+1 (2) y=x+x1(3) s=3-2t2 (4) y=(x+3)2-x22已知函数72)3(mxmy是二次函数，求m 的值；3已知二次函数2axy，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值；4 已知一个圆柱的高为27， 底面半径为 x， 求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式若圆柱的底面半径 x 为 3，求此时的 y；5用 20 米的篱笆围一个矩形的花圃，设连墙的一边为x，矩形的面积为 y，求：A B E F C G D H 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师精编
10、优秀教案(1)写出 y 关于 x 的函数关系式 . (2)当 x=3 时,矩形的面积为多少 ? （五）作业布置必做题：37P1 2 3选做题：38P2 4 （六）板书设计二次函数的概念一、二次函数的定义例题讲解与习题练习（七）教学反思重点总结二次函数概念的形成过程、本质特征和初步的应用， 以及本节课所应用到的思想与方法。 使学生对本节课的整体有所把握，了解新旧知识的区别与联系，及新知的形成过程，提炼出思想方法，使学生的思维得以升华。探索问题 1、用周长为 20m 的篱笆围成矩形场地， 场地面积 y(m 2 )与矩形一边长 x(m)之间的关系是什么？由学生认真思考并与同桌交流，然后回答下面的问题
11、1 设矩形靠墙的一边AB 的长，矩形的面积y2能用含 x 的代数式来表示y 吗？2试填表（见课本）3x 的值可以任意取？有限定范围吗？4我们发现 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式墙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编优秀教案探究问题 2 某商店将每件商品进价为8 元的商品按每10 元出售，一天可售出约100 件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1 元，其销售量可增加约10 件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？由学生认真思考并与同桌交
12、流，然后回答下面的问题1设每件商品降低x 元，该商品每天的利润为y， y 是 x 的函数吗？x 的值有限定吗？2怎样写出该关系式？教师提问： 以上两个例子所列出的函数有声么特点，学生观察并讨论。【设计意图】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察，思考，对比一次函数归纳出二次函数的定义三、讲解新课引入二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c (a 0，a, b, c 为常数 ) 的函数叫做二次函数。巩固对二次函数概念的理解：提问： 1上述概念中的a 为什么不能是0？2. 对于二次函数y= ax2+bx+c 中的 b 和 c 可否为 0？若 b 和 c 各自为0 或均为 0，上述函数的式子可
13、以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？思考：1. 由问题 1 和 2 你认为判断二次函数的关键是什么？判断一个函数是否是二次函数的关键是：看二次项的系数是否为0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编优秀教案思考：2.二次函数的一般式yax2+bx+c （a 0）与一元二次方程ax2+bx+c 0（a 0）有什么联系和区别？联系(1)等式一边都是 ax2+bx+c 且a 0(2)方程 ax2+bx+c 可以看成是函数 y=ax2+bx+c 中 y=0 时得到的 . 区别:前者是函数 .后者是方程 .等式另一边
14、前者是y,后者是 0 【设计意图】 这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解， 掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。例 1:下列函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1()(2)y=3x2（) (3)y=3x3+2x-2 ()(4)y=2x2-2x+1() (5)y=x-2+x()(6)y=x2-x(1+x) () 例 2:m 取何值时，函数 y= (m+1)x m2 2m-1+(m-3)x+m是二次函数？解：根据题意得m22m-1=2且m+1 0 m=3 【设计意图】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。跟进练习
15、：四、巩固练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编优秀教案1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。（1）当它的一条直角边的长为4.5cm 时，求这个直角三角形的面积；（2）设这个直角三角形的面积为Scm2, 其中一条直角边为xcm，求 S 关于x 的函数关系式。【设计意图】此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。2.已知正方体的棱长为xcm, 它的表面积为Scm2,体积为 Vcm3。（1）分别写出 S 与 x，V 与 x 之间的函数关系式子；
16、（2）这两个函数中，那个是x 的二次函数？【设计意图】 简单的实际问题， 学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。 通过简单题目的练习， 让学生体验到成功的欢愉， 激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。3.设圆柱的高为h(cm) 是常量，底面半径为rcm，底面周长为Ccm ，圆柱的体积为Vcm3（1）分别写出 C 关于 r；V 关于 r 的函数关系式；（2）两个函数中，都是二次函数吗？【设计意图】 此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。4. 篱笆墙长 30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2)与长x 之间
17、的函数关系式，并指出自变量的取值范围【设计意图】 此题较前面几题稍微复杂些，旨在让学生能够开动脑筋，积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师精编优秀教案五、小结思考：本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】 让学生来谈本节课的收获， 培养学生自我检查、 自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。 而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的 教学中补充。六、作业布置：必做题：1. 正方形的边长为4， 如果边长增加x， 则面积增加 y， 求 y 关于
18、x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？2. 在长 20cm ，宽 15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2)与正方形边长x(cm) 之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。选做题：1.已知函数是二次函数，求m 的值。2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和 y=-x2图象【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学 ，体现新课标人人学有价值的数学，不同的人得到不同的发展。另外补充第4 题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。七、板书设计二次函数一、复习提问，情境导入1、复习提问： 1、2、 3、精选学习资料 - - - - - -
19、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师精编优秀教案2、情境引入：探究 1 探究 2 二、二次函数的定义：三、例 1 例 2 四、课堂练习： 1、2、3、4 五、小结：本节课你有哪些收获？六、作业布置：（一）复习提问1什么叫函数？我们之前学过了那些函数？（一次函数，正比例函数，反比例函数）2它们的形式是怎样的 ? (y=kx+b，k0；y=kx ,k0；y=xk, k 0) 3一次函数 (y=kx+b)的自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有 k0 的条件？k 值对函数性质有什么影响？【设计意图】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常
20、量等概念，加深对函数定义的理解强调k 0 的条件，以备与二次函数中的a 进行比较（二）引入新课函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数。看下面三个例子中两个变量之间存在怎样的关系。（电脑演示）例 1、(1)圆的半径是 r(cm)时，面积 s (cm2)与半径之间的关系是什么?解：s=r2 （r0）例 2、 用周长为 20m的篱笆围成矩形场地， 场地面积 y(m2)与矩形一边长 x(m)之间的关系是什么？解： y=x(20/2-x)=x(10-x)=-x 2+10 x (0 x10) 例 3、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和
21、利息自动按一年定期储蓄转存。 如果存款额是 100元，那么请问两年后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师精编优秀教案的本息和 y（元)与 x 之间的关系是什么 (不考虑利息税 )?解： y=100(1+x)2=100（x22x+1）= 100 x2+200 x+100(0 x0）3、为什么二次函数定义中要求a0 ？( 若 a=0，ax2bx+c 就不是关于 x 的二次多项式了 ) 4、在例 3 中，二次函数 y=100 x2200 x100中， a=100， b=200， c=1005、b 和 c 是否可以为零
22、？由例 1 可知， b 和 c 均可为零若 b=0，则 y=ax2c；若 c=0，则 y=ax2bx；若 b=c=0，则 y=ax2注明：以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c 是二次函数的一般形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师精编优秀教案【设计意图】 这里强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解， 掌握其特征，为接下来的判断二次函数做好铺垫。判断：下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c(1)y=3(x-1)2+1 (2) xxy12(3)s=3
23、-2t2(4)y=(x+3)2- x2(5) s=10r2(6) y=22+2x (8)y=x42x21（可指出 y 是关于 x2的二次函数 ) 【设计意图】 理论学习完二次函数的概念后， 让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中。（四）巩固练习1.已知一个直角三角形的两条直角边长的和是10cm。（1）当它的一条直角边的长为4.5cm时，求这个直角三角形的面积；（2）设这个直角三角形的面积为Scm2,其中一条直角边为xcm，求 S 关于 x 的函数关系式。【设计意图】 此题由具体数据逐步过渡到用字母表示关系式，让学生经历由具体到抽象的过程，从而降低学生学习的难度。2
24、.已知正方体的棱长为xcm,它的表面积为 Scm2,体积为 Vcm3。（1）分别写出 S与 x，V 与 x 之间的函数关系式子；（2）这两个函数中，那个是x 的二次函数？【设计意图】 简单的实际问题， 学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数。 通过简单题目的练习， 让学生体验到成功的欢愉， 激发他们学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。3.设圆柱的高为h(cm)是常量，底面半径为 rcm，底面周长为 Ccm，圆柱的体积为 Vcm3（1）分别写出 C 关于 r；V 关于 r 的函数关系式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
25、 12 页，共 14 页名师精编优秀教案（2）两个函数中，都是二次函数吗？【设计意图】此题要求学生熟记圆柱体积和底面周长公式，在这儿相当于做了一次复习，并与今天所学知识联系起来。4. 篱笆墙长 30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m2) 与长 x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围【设计意图】此题较前面几题稍微复杂些， 旨在让学生能够开动脑筋， 积极思考，让学生能够“跳一跳，够得到”。（五）拓展延伸1. 已知二次函数 y=ax2bxc，当 x=0 时，y=0；x=1 时，y=2；x= -1 时，y=1求 a、b、c，并写出函数解析式【设计意图】 在此稍微渗透简单的用待定系数法
26、求二次函数解析式的问题，为下节课的教学做个铺垫。2.确定下列函数中 k 的值(1)如果函数 y= xk2-3k+2 +kx+1 是二次函数 ,则 k 的值一定是 _ (2)如果函数 y=(k-3)xk2-3k+2+kx+1 是二次函数 ,则 k 的值一定是 _ 【设计意图】 此题着重复习二次函数的特征：自变量的最高次数为2 次，且二次项系数不为 0.（六） 小结思考：本节课你有哪些收获？还有什么不清楚的地方? 【设计意图】 让学生来谈本节课的收获， 培养学生自我检查、 自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。而且由此可了解到学生还有哪些不清楚的地方，以便在今后的教学中补充。（七） 作业布置
27、：必做题：1. 正方形的边长为 4，如果边长增加 x，则面积增加 y，求 y 关于 x 的函数关系式。这个函数是二次函数吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师精编优秀教案 2. 在长 20cm ，宽 15cm的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm的正方形，写出余下木板的面积y(cm2) 与正方形边长 x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围。选做题：1. 已知函数72)3(mxmy是二次函数，求m的值。 2.试在平面直角坐标系画出二次函数y=x2和 y=-x2图象【设计意图】作业中分为必做题与选做题，实施分层教学，体现新课标人人学有价值的数学， 不同的人得到不同的发展。 另外补充第 4 题，旨在激发学生继续学习二次函数图象的兴趣。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页