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1、学习必备欢迎下载中考数学复习如何解答最值问题最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、 两边之差小于第三边、垂线段最短等） 以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。下面绍如何利一次函数，二次函数的性质和对称性求最值。一次函数的最值问题一、典型例题：1、 （2010 陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收收蒜薹200 吨。经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售，并按这三种方式销售，计划每吨的售价及成本如下表：销售方式批发零售冷库储藏后销售售价（元吨）3000 4500 5
2、500 成本（元吨）700 1000 1200 若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出后获得利润为y（元）蒜薹x（吨），且零售是批发量的 1/3。（1）求 y 与 x 之间的函数关系；（2）由于受条件限制经冷库储藏的蒜薹最多80 吨， 求该生产基地计划全部售完蒜薹获得最大利润。解： （ 1）由题意，批发蒜薹3x 吨，储藏后销售（200-4x ）吨则 y=3x(3000-700)+x （4500-1000）+（200-4x） （5500-1200）=-6800 x+860000 ，（2）由题意得200-4x80 解之得x30 -6800 x+860000 -68000 y 的值随 x 的值增大而减小
3、当 x=30 时， y最大值=-6800+860000=656000 元2、 （广东清远2009）某饮料厂为了开发新产品，用A种果汁原料和B种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50 千克，设甲种饮料需配制x千克，两种饮料的成本总额为y元精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载（1）已知甲种饮料成本每千克4 元，乙种饮料成本每千克3 元，请你写出y与x之间的函数关系式（2）若用 19 千克A种果汁原料和17.2 千克B种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；每 千 克 饮料果汁含量果汁甲乙A
4、0.5 千克0.2 千克B 0.3 千克0.4 千克请你列出关于x且满足题意的不等式组，求出它的解集， 并由此分析如何配制这两种饮料，可使y值最小，最小值是多少？解： （1）依题意得：43(50)150yxxx（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)xxxx解不等式（ 1）得：30 x解不等式（ 2）得：28x不等式组的解集为2830 x150yx，y是随x的增大而增大，且2830 x当甲种饮料取28 千克，乙种饮料取22 千克时，成本总额y最小，28150178y最小（元）二次函数的最值问题一、典型例题：1、 （2010 武汉）某宾馆有50 个房间供游
5、客住宿，当每个房间的房价为每天180 元时，房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元。设每个房间的房价每天增加x 元 (x 为 10 的正整数倍 )。(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求 w 与 x 的函数关系式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载(3) 一天订住多少个房间时，宾馆
6、的利润最大？最大利润是多少元？解： (1) y=50101x (0 x 160，且 x 是 10 的整数倍 )。(2) W=(50101x)(180 x 20)= 101x234x 8000；(3) W= 101x234x 8000= 101(x 170)210890，当 x170 时， W 随 x 增大而增大，但0 x 160，当 x=160 时，W最大=10880，当 x=160 时，y=50101x=34。答：一天订住 34 个房间时，个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880 元3、 （2010 潍坊）学校计划用地面砖铺设教学楼前矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为10
7、0 米，宽为 80 米.图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形， 四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖. （1）要使铺白色地面砖的面积为5200 平方米， 那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30 元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元.当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺广场地面的总费用最少？最少费用是多少？解： （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意，得：2410028025200 xxx整理，得：2453500 xx 3 分解之，得：123510.xx，经检验，12351
8、0 xx，均适合题意 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载所以，要使铺白色地面砖的面积为5200 平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35 米或 10 米. 5 分（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则，2304100280220210022802yxxxxxxx即：2803600240000yxx配方得，28022.5199500yx 8 分当22.5x时，y的值最小，最小值为199500. 所以，当矩形广场四角的小正方形的边长为22.5 米时，所铺广场地面
9、的总费用最少，最少费用为199500 元. 练习1、 （广东茂名2008）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20 元件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（4 分）（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润 =销售总价 -成本总价）（4 分）（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（2 分）销售单价x（元 件）30
10、40 50 60 每天销售量y（件）500 400 300 200 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载2、 （2010 荆州）国家推行“ 节能减排，低碳经济” 政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求 若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50 万元，每套产品的售价不低于90 万元已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价1y（万元） 之间满足关系式xy21701，月产量 x（套） 与生产总成本2y（万元）存在如图所示的函数关系. （1）直接写出2y与 x 之间
11、的函数关系式；（2）求月产量x 的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载三利用对称性求最值典型例题：1、 （2010 天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O 在坐标原点，顶点A、B分别在 x 轴、y轴的正半轴上，3OA，4OB， D 为边 OB 的中点 . （）若E为边OA上的一个动点，当CDE的周长最小时，求点E的坐标；（）若E、F为边OA上的两个动点，且2EF，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标
12、. 解： （）如图，作点D 关于 x 轴的对称点D，连接CD与 x轴交于点E，连接DE. 若在边OA上任取点E（与点 E 不重合），连接CE、DE、D E. 第（ 25）题y B O D C A x E Dy B O D C A x 温馨提示： 如图，可以作点D 关于 x 轴的对称点D， 连接CD与 x轴交于点E，CDEOEEy B D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学习必备欢迎下载由DECED ECECDD ECEDECE，可知 CDE的周长最小 . 在矩形 OACB 中，3OA，4OB，D为 OB 的中
13、点，3BC，2D ODO，6D B. OEBC， Rt D OE Rt D BC ，有OED OBCD B. 2316D O BCOED B. 点E的坐标为（ 1，0）. 6 分（）如图，作点D关于x轴的对称点D，在 CB 边上截取2CG，连接 D G 与x轴交于点E，在EA上截取2EF. GCEF，GCEF， 四边形 GEFC 为平行四边形，有GECF . 又DC、EF的长为定值， 此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小 . OEBC， Rt D OE Rt D BG , 有OED OBGD B. ()21163D O BGD OBCCGOED BD B. 17233OFOEEF. 点
14、E的坐标为（13， 0） ，点F的坐标为（73，0）. 10 分2、 （2010 山东东营）如图，已知二次函数24yaxxc的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点 B（0，-5） （1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP 的周长最小请求出点P的坐标y B O D C A x E DG F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载解： （1）根据题意，得.0405,) 1(4)1(022caca2 分解得.5, 1ca3分二次函数的表达式为542xxy4 分（2）令
15、 y=0，得二次函数542xxy的图象与x 轴的另一个交点坐标C（5, 0）. 由于 P 是对称轴2x上一点，连结 AB，由于2622OBOAAB，要使 ABP 的周长最小，只要PBPA最小. 由于点 A 与点 C 关于对称轴2x对称，连结BC 交对称轴于点P，则PBPA= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PBPA的最小值为 BC. 因而 BC 与对称轴2x的交点 P 就是所求的点 . 设直线 BC 的解析式为bkxy，根据题意，可得.50, 5bkb解得.5, 1bk所以直线 BC 的解析式为5xy. 9分因此直线 BC 与对称轴2x的交点坐标是方程组5,2xyx的解，解得.
16、3, 2yx所求的点 P 的坐标为（ 2，-3）四、压轴题中求最值此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最后求出最值。典型例题：1（2010 福建宁德）如图，在梯形ABCD 中， AD BC， B90 ，BC6，AD 3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载DCB30 .点 E、F 同时从 B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动.已知 F 点移动速度是E 点移动速度的2 倍，以 EF 为一边在 CB 的上方作等边EFG设 E 点移动距离为x（x0）. EFG 的边长是 _ （用含有x 的
17、代数式表示） ， 当 x2 时，点 G 的位置在 _；若 EFG与梯形 ABCD 重叠部分面积是y，求当 0 x2 时，y 与 x 之间的函数关系式；当 2x6 时， y 与 x 之间的函数关系式；探求中得到的函数y 在 x 取含何值时，存在最大值，并求出最大值. 解： x，D 点 当 0 x2 时， EFG 在梯形 ABCD 内部，所以y43x2；分两种情况：.当 2x3 时，如图1，点 E、点 F 在线段 BC 上，EFG与梯形 ABCD 重叠部分为四边形EFNM ， FNC FCN30 ,FNFC62x.GN3x6. 由于在 Rt NMG 中， G60 ，所以，此时y43x283（3x6
18、）22392398372xx. .当 3x6 时，如图2，点 E 在线段 BC 上，点 F 在射线 CH 上，EFG 与梯形 ABCD 重叠部分为 ECP，EC6x, y83（6x）2239233832xx. 当 0 x2 时， y43x2在 x0 时， y 随 x 增大而增大，x2 时， y最大3；当 2x3 时， y2392398372xx在 x718时， y最大739；当 3x6时， y239233832xx在 x6 时， y 随 x 增大而减小，B E F C A D G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页
19、学习必备欢迎下载x3 时， y最大839. 综上所述：当x718时， y最大739. 如图，直线643xy分别与 x 轴、 y 轴交于 A、B 两点；直线xy45与 AB 交于点 C，与过点 A 且平行于y 轴的直线交于点D.点 E 从点 A 出发，以每秒1 个单位的速度沿x 轴向左运动 .过点 E 作 x 轴的垂线， 分别交直线AB、OD 于 P、Q 两点，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN. 设正方形PQMN 与ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位） ，点 E 的运动时间为t（秒） . （1）求点 C 的坐标 .（1 分）（2）当 0t0 时，直接写出点（4，29）在正方形P
20、QMN 内部时 t 的取值范围 .（3 分）【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c 图象的顶点坐标为（abacab44,22）.】解： （1）由题意，得.45, 643xyxy解得.415, 3yxB E F C A D G N M 图 1 B E C F A D G P H 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载C（ 3,415）. （2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t. 点 Q 的纵坐标为45(8-t)，点 P的纵坐标为43t，PQ=45(8-t)-43t=10-2t. 当 MN 在 AD 上时， 10-2t=t， t=310. 当 0t310时， S=t(10-2t) ，即 S=-2t2+10t. 当310 t5 时， S=(10-2t)2，即 S=4t2-40t+100. （3）当 0t310时， S=-2（t-25）2+225， t=25时， S 最大值 =225. 当310 t5 时， S=4(t-5)2， t9100， S 的最大值为225. （4）4t6. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页