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1、2022年 中 考 数 学 专 题 复 习：最 值 问 题 综 合 训 练 一、单 选 题 1.如 图，RtZABC中，A B V B C,4 5=8,BC=6,P 是 AABC内 部 的 一 个 动 点,满 足 Z 4 B=N P 8 C,则 线 段 C P长 的 最 小 值 为（）5B.2 C.2如-6 D.2V 13-42.如 图，菱 形 A8CD的 边 AB=8,ZB=6O,B P=3,。是 C O边 上 一 动 点，将 梯 形 AP。沿 直 线 尸。折 叠，A 的 对 应 点 为 4.当 C 4的 长 度 最 小 时，C Q的 长 为（）7 C.8 D.6.53.如 图 1,在 菱
2、形 ABCD中，A B=6,NBAO=120。，点 E 是 8 c 边 上 的 一 动 点，点 P是 对 角 线 2。上 一 动 点，设 P 的 长 度 为 x,P E与 P C的 长 度 和 为 以 图 2 是 y 关 于 x的 函 数 图 象，其 中，（a,b）是 图 象 上 的 最 低 点，则“+%的 值 为（）A.7 6 B.61+3 C.873 D.373+64.如 图，等 边 A ABC的 边 长 为 6,A O是 BC边 上 的 中 线，M是 上 的 动 点，E 是 边 AC上 一 点，若 A E=2,则 E M+C M的 最 小 值 为（）A.x/26 B.3 柩 C.2币 D
3、.4近 5.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 y=3-2 x+c 的 图 象 与 x轴 交 于 A、C两 点，与 y轴 交 于 点 8（0,-3）,若 P 是 x 轴 上 一 动 点，点。（0,1）在 y 轴 上，连 接 P D,则 应 P Q+P C的 最 小 值 是（）6.如 图，在 心 ABC中，NACB=90。，CB=1,A C=9,以 C 为 圆 心、3 为 半 径 作 0C,P 为。C上 一 动 点，连 接 AP、B P,则（A P+B P的 最 小 值 为（）7.如 图，在 放 A A BC中，N C=9 0。，AC=6,8 C=8,点 尸 在 边 A
4、C上，并 且 C F=2,点 E 为 边 3 c 上 的 动 点，将 A C E F沿 直 线 所 翻 折，点 C落 在 点 P 处，则 点 P 到 边 4 8 距 离 的 最 小 值 是（）8.如 图，O M 的 半 径 为 2,圆 心 M 的 坐 标 为（3,4）,点 尸 是 O M 上 的 任 意 一 点，P A V P B,且 左、P B与 x 轴 分 别 交 于 A、B两 点，若 点 A、点 8 关 于 原 点 O对 称，则 AB的 最 小 值 为（）A.3 B.4 C.5 D.6二、填 空 题 9.如 图，在 AACE中，CA=CE,Z C 4=3 0,半 径 为 5的。经 过 点
5、 C,CE是 圆。的 切 线，且 圆 的 直 径 AB在 线 段 A E上，设 点。是 线 段 A C上 任 意 一 点（不 含 端 点）,则 OD+C D 的 最 小 值 为.10.如 图，在 A A C E中，CA=CE,/C 4 E=3 0。，半 径 为 5 的。经 过 点 C,C E是 圆 O 的 切 线，且 圆 的 直 径 AB在 线 段 4 E上，设 点。是 线 段 4 C 上 任 意 一 点（不 含 端 点）,11.如 图，已 知 正 方 形 ABC。的 边 长 为 2,点 P 在 射 线 BC上，则 工 的 最 小 值 为 12.如 图，长 方 形 ABC 中，AB=2 G，B
6、 C=2,点 E 是。C边 上 的 动 点，现 将 A BEC沿 直 线 BE折 叠，使 点 C落 在 点 尸 处，则 点。到 点 尸 的 最 短 距 离 为 13.如 图，正 ABC的 边 长 为 2,过 点 B 的 直 线/_ L A B,且 ABC与 关 于 直 线/对 称，。为 线 段 B C上 一 动 点，贝 ij AD+CD的 最 小 值 是.14.如 图，己 知 AA B C,外 心 为。，BC=18,Zfi4c=60。，分 别 以 A 8,A C为 腰 向 形 外 作 等 腰 直 角 三 角 形 A BD与 AA C E,连 接 防，C D 交 于 点 P,则 O P的 最 小
7、 值 是 15.如 图，正 方 形 A8C Q的 边 长 为 4,点 E 为 边 A。上 一 个 动 点，点 F 在 边 CQ上，且 线 段 E F=4,点 G为 线 段 E F的 中 点，连 接 8G、C G,则 B G+C G的 最 小 值 为 16.如 图，ABC为。的 内 接 等 边 三 角 形，BC=12,点 D 为 B C 上 一 动 点,3 E L O。于 E,当 点。由 点 B 沿 8 c 运 动 到 点 C 时，线 段 A E的 最 大 值 是.B1 7.如 图，一 次 函 数 y=自-6 过 点 A(-2,-2),与)，轴 交 于 点&(1)求 一 次 函 数 表 达 式
8、及 点 B坐 标；在 x 轴 上 找 一 点 C,连 接 BC,A C.当 2 C+A C最 小 时，请 直 接 写 出 点 C 的 坐 标 为；请 直 接 写 出 直 线 B C的 函 数 表 达 式 为；在 坐 标 轴 上 找 点 D,连 接 BQ,C,使 SzABC=SzBC,请 直 接 写 出 点。的 坐 标 为 1 8.如 果 有 一 条 直 线 经 过 三 角 形 的 某 个 顶 点，将 三 角 形 分 成 两 个 三 角 形，其 中 一 个 三 角 形 与 原 三 角 形 相 似，则 称 该 直 线 为 三 角 形 的“自 相 似 分 割 线 如 图 1,在 AABC中，AB=A
9、C=1,/BAC=108。，D E垂 直 平 分 A 8,且 交 8 c 于 点。，连 接 4 0.证 明 直 线 A D 是”品 的 自 相 似 分 割 线;(2)如 图 2,点 P 为 直 线 O E 上 一 点，当 点 尸 运 动 到 什 么 位 置 时，必+PC的 值 最 小？求 此 时 以+PC的 长 度.(3)如 图 3,射 线 C尸 平 分 N 4 C 8,点。为 射 线 C尸 上 一 点，当 AQ+且 二 Ie。取 最 小 值 4时，求 N Q A C 的 正 弦 值.19.如 图 1,已 知 正 方 形 ABC。，A B=4,以 顶 点 B 为 直 角 顶 点 的 等 腰 R
10、 s 8EF绕 点 8旋 转，B E=B F=M,连 接 AE,CF.(1)求 证：A ABEWACBF.(2)如 图 2,连 接。E,当。E=B E 时，求 SC尸 的 值.(5J3C尸 表 示 8C厂 的 面 积)(3汝 0图 3,当 R S 8E尸 旋 转 到 正 方 形 A 8 C 3 外 部，且 线 段 A E 与 线 段 C/存 在 交 点 G时，若 M 是 C。的 中 点，P 是 线 段 O G 上 的 一 个 动 点，当 满 足 应 M P+P G 的 值 最 小 时，求 M P 的 值.20.如 图，。是 A B C 的 外 接 圆，A B 为 直 径，弦 A Q 平 分/B
11、 A C,过 点。作 射 线 A C 的 垂 线，垂 足 为 M,点 E 为 线 段 A 8 上 的 动 点.(1)求 证：是。的 切 线;(2)若/B=3 0。，A B=8,在 点 E运 动 过 程 中，EC+EM是 否 存 在 最 小 值？若 存 在，请 求 出 最 小 值；若 不 存 在，说 明 理 由；(3)若 点 E 恰 好 运 动 到 N 4 C B的 角 平 分 线 上，连 接 C E并 延 长，交。于 点 F,交 A D于 点 尸，连 接 AF,CP=3,E F=4,求 A F的 长.参 考 答 案:1.D2.B3.A4.C5.A6.B7.B8.D9,更 21 0.211.21
12、2.213.414.9-3百 15.516.2万+2 6 或 2 6+2 17.(1)解：:一 次 函 数 y=A x-6 过 点 A(-2,-2)解 得 仁 2/.y=-2x-6(0,-6)(2)3 点 关 于 x 轴 的 对 称 点 是 8(0,6),连 接 3 2 交 x 轴 于 点 C,此 时 A C+3 C最 小,设 直 线 BA的 解 析 式 为 y=ax+bf则 h=6一 2=-2a+b解 得 a=4Z?=6，y=4x+63当)=0 时，x=-,3:点、C(,0)23故 答 案 为：(-5,0)设 直 线 B C 的 解 析 式 为 广 m+%则 n=-6 3，0二 2m=-4解
13、 得 於=-6Ay=-4x-6故 答 案 为：y=-4x-63 TA(-2,-2),B(0,-6)8(0,6),C(-,0)i i 3 SAM/i Z x-SA/izwS A R的 H(2-X 12X 2-2-X 12X2-=3当。在 x轴 时，SA町=；X 制 x 如=3,即 x 6=32：.CD=.点 C 为(-/0)或(一!，0)2 2当。在 y轴 上 时，S.=三 乂 BD 乂 利=3,1 Q即 初 X 2=32 2：.BD=4工 点、D为(0,-2)或(0,-10)故 答 案 为:(50)或(一 万,为 或(0,-2)或(0,-10)18.(1).ABC 中，AB=AC=1,ZBAC
14、=108：./B=N C*(1800-ZBAC)=36垂 直 平 分 AB：.AD=BD：.Z B=ZBAD=36：.Z C=Z B A D又；N B=N B：.A D B A/A B C直 线 A O是 A B C的 自 相 似 分 割 线.(2)如 图，连 接 PB,A D,图 2)石 垂 直 平 分 A5,:.PA=PB.P A+P C=P B+P C N B C当 点 P与 D 重 合 时，PA+P C=P B+P C=4 C,此 时 P A+P C最 小,/ZADC=ZB+Z B A D=72,ZDAC=ABAC-ZBAD=72.ZADC=ADAC,C D=CA=设 班=不，则 3C
15、=x+l：DBA,ABC.BD ABABBCx 1/.一=-1 x+x2+x 1 0解 得.W-x 0.r-1+V 52BC=x+l=-2PA+PC=-2 当 点 P运 动 到 O点 时，阴+PC的 值 最 小，此 时 PA+PC=土 2 如 图，过 点 A作 于 点”，过 点 Q作。于 点 G,连 接 A G,设 C尸 与 4。交 于 点 M，：AB=AC,:.CH=-B C=2 4由（2）知，DC=AC=CF 平 分 ZA CB：.CM LADDM=AM=-A D=-2 4:.sinNMCD=皿=旧 一 CQ CD 4GQ=-C QAQ+-C Q=AQ+GQ AG4 AGAH 一.Q点 落
16、 在 AG上 时，点 G与 点/重 合,即 此 时 4Q+与 I。的 值 最 小，最 小 值 为 ZQAC=ZHACA B=AC,AH-LBC:.CH=-B C=J-2 4sin ZQAC=sin ZHAC=里 AC 4，/Q A C的 正 弦 值 为 叵 出 419.(1)证 明：,四 边 形 4 8 c o是 正 方 形，：.AB=BCf ZABC=90,VZBF=90=ZABC,NABE=/CBF,又。：BE=BF,AB=BC,在/18：和 4 CB尸 中，AB=CB NABE=NCBF,BE=BF：.ABE CBF(SAS)；(2)解：如 图 2,过 点 E作 于，AABEACBF,:
17、S AABE=SACBF,*：AD=ABf AE=AEf DE=BE,：.AD E/ABE(SSS),：.ZDAE=ZBAE=45f：EHA-AB,：.NEAB=NAEH=45,：.AH=EHf9：BE?=BH2+EH29 10=E/72+(4-E H)2,：.EH=或 3,当 EH=1时 SAABE=SABCF=；ABxEH=y x4x 1=2,当 EH=3时：.SAABE=SABCF=ABXE H=X4X3=6,S A8C厂 的 值 是 2 或 6；(3)由(1)同 理 可 得 A 3丝 C5P,；NEAB=NBCF,/N 6A E+N C 4E+/A C 8=90。，N BCF+N CA
18、E+/ACB=9。,：.ZAGC=90f/Z A G C=Z A D C=90,点 A,点 G,点 C,点。四 点 共 圆,ZACD=ZAGD=45f.PK_LAG,N P G K=N G P K=45。,B：.P K=G K=PGf2：.MP+PG=MP+PK,2 当 点 M,点 P,点 K三 点 共 线 时，且 点 E,点 G重 合 时，MP+也 P G值 最 小，即 02MP+PG最 小,如 图 4,过 点 B作 B Q LC尸 于,:B E=B F=M,NEB尸=90,BQ LEF,:.E F=2 逐,B Q=E Q=F Q=-B,C Q=ylBC2-B Q2=y/6-5=/n,：.C
19、 E=CQ-E Q=T H-石，.MK_L4E,CE1.AE,:.M K/C E,.DM MP.=,DC CE又 M 是 C D的 中 点，:DC=2DM,:.M P=g c E=8 f.2 220.(1)解：如 图，连 接 O。，交 B C于 点 N,AB为 直 径 ZACB=90ZBCM=90.弦 A 平 分/&4C,CD=BD；.ON A.BC.DM 1 AC,.四 边 形 CNDM为 矩 形 s.ODVMD.,.0。为 圆 的 半 径 MO是。0 的 切 线(2)解：在 点 运 动 过 程 中，EC+EM存 在 最 小 值，理 由 如 下：过 点 C作 C户 _ L 4 3,并 延 长
20、 交。于 点 F,连 接 交 AB于 点 E,连 接 E C,则 此 时 EC+EM的 值 最 小 ZB=30,ZACB=90；.ZC4B=60.弦 A。平 分 N8AC,.-.ZCAD=ZDAB=30.CD与 8。的 度 数 为 60,.,AB是 直 径.-.AC=CD=BD-,-ABLCD,AB是 直 径 AC=AF.:.AF+AC+CD=S00E4。为 半 圆.H）为 圆 的 直 径 由（1）知：MO是。0 的 切 线:.FDLMD.由 题 意 得：AB垂 直 平 分 FC:.EC=EF.1.EC+EM=EF+EM=FM Z.CFD=ZDAB,ZDAB=30.ZCF=30./AB=8,:
21、.FD=S.由（1）知：四 边 形 CNOM为 矩 形:.MD=NC.ON BC:.CN=-BC.2在 R 2 c B 中 si n/-CAnB-.B.C.,ABBC=AB-sin 60=8 x 4=4 6.2:.MD=CN=-B C=2y/3.2在 R tFD M中 MF=lDF2+MD2=褥+（2 后=2 M EC+EM的 最 小 值 为 F=2 M.解：如 图 F C 平 分 NACB,/A C S=90,，ZACF=NBC尸=45ZBAF=ZBCF=45 AQ 平 分 N8AC,/.ACAD=ABAD NPAF=NBAD+NBAF,ZAPF=ZACF+ACAD,ZPAF=ZAPF,.AF=FP.:.F C=F P+C P=A F+3.NFAB=ZACF=45,N 尸=NF,AFAE AFCA.FA FE*F C-E4FA2=F E FC=4(AF+3).?.AF2-4 A F-1 2=0.解 得 A/=6或 AF=2(不 合 题 意，舍 去).AF=6.ACB