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1、江苏省 13 市 2015 年中考数学试题分类解析汇编（20 专题）专题 19：综合型问题1. （2015 年江苏连云港3 分） 如图， O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点 A 的坐标为3 4，顶点 C 在 x 轴的负半轴上，函数 0kyxx的图象经过顶点B，则 k 的值为【】A. 12B. 27C. 32D. 36【答案】C【考点】 菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】 根据点 A 的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值：如答图，过点A作ADCO于点D，A 的坐标为34，3,4ODAD. 在Rt AOD中，根据勾股定理，得5OA
2、. 菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为34，顶点 C 在 x 轴的负半轴上，点B 的坐标为8 4，. 函数0k xb的解集为【】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页A. 2xC. 5x【答案】 C. 【考点】 直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用. 【分析】 如答图，将函数ykxb的图像向右平移3 个单位得到函数3yk xb的图象，由图象可知，当0yk xb. 关于x的不等式30k xb的解集为5x. 故选 C. 3. （2015 年江苏南通3 分） 如图， AB 为 O 的直径， C 为 O 上一点，
3、弦AD 平分 BAC，交 BC 于点 E，AB=6，AD=5，则 AE 的长为【】A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.2 【答案】 B. 【考点】 圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质.【分析】 如答图，连接BD、CD，AB 为 O 的直径， ADB =90 . 22226511BDABAD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页弦 AD 平分 BAC， CD=BD=11. CBD= DAB. 在 ABD 和 BED 中， BAD =EBD， ADB=BDE， ABD BED. DEDBDBAD，
4、即11115511DEDE. 1152.85AEABDE故选 B. 4. （2015 年江苏镇江3 分） 如图，坐标原点O 为矩形 ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（ 1，t） ，ABx轴， 矩形A B C D与矩形 ABCD 是位似图形， 点 O 为位似中心， 点 A ， B分别是点A， B 的对应点，A BkAB 已知关于 x，y 的二元一次方程2134mnxynxy（m，n 是实数）无解，在以m，n 为坐标（记为（m，n） ）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D的边上，则k t的值等于【】A. 34B. 1C. 43D. 32【答案】 D【考点】 位似变换；二元一次
5、方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系【分析】 坐标原点O 为矩形 ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（ 1，t） ，点 C 的坐标为1t- ，-. 矩形A B C D与矩形 ABCD 是位似图形，A BkAB，点 A 的坐标为kkt，点 C的坐标为kkt，-. 关于 x， y 的二元一次方程2134mnxynxy（m，n 是实数）无解，由323mnxn得 mn=3，且32n，即3nm（m 2）. 以 m，n 为坐标（记为（m， n） ）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D的边上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
6、 - - - - - - -第 3 页，共 31 页反比例函数3nm的图象只经过点A 或 C . 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3nm的图象同时经过点A 或 C，只有在32,2A，32,2C时反比例函数3nm的图象只经过点C . 3322ktkt-. 故选 D1. （2015 年江苏苏州3 分） 如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E，取 BE 的中点 F，连接 DF，DF =4设 AB=x，AD=y，则224xy的值为【答案】 16. 【考点】 代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理.【分析】 四边形 ABCD 为
7、矩形， AB=x，AD=y， DC=x，BC=y. 在Rt BDE中，点 F 是斜边 BE 的中点， DF=4， BF= DF=4. 在Rt DCF中，222DCCFDF，即22244xy. 22416xy.2. （2015 年江苏泰州3 分） 点1, 1 ya、2, 1 ya在反比例函数0kxky的图像上， 若21yy，则a的范围是【答案】1 01 0aa或1 0aa. 解1 0111aa，无解；解1 0aa得111aaa. a的范围是11a.3. （2015 年江苏扬州3 分） 如图，已知 ABC 的三边长为abc、 、，且abc，若平行于三角形一边的直线l将 ABC 的周长分成相等的两部
8、分，设图中的小三角形、的面积分别为123sss、， 则123sss、的大小关系是 （用 “”号连接） . 【答案】132sss. 【考点】 阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质 . 【分析】 设ABC 的周长为 m ，面积为S，如答图，设,ADxAEy，则,BDcxCEby. 平行于三角形一边的直线l将ABC 的周长分成相等的两部分，ADAEBDCEBC，即xycxbya. 1122xyabcm. DCBC，ADEABC. 21sADSAB且122mADAEADAExymABACABACcbbcbc. 12smSbc. 同理可得，22s
9、mSab，32smSac. abc，3120 222sssmmmabacbcbcacbcSSS. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 31 页132sss.4. （2015 年江苏常州2 分 ）如图，在 O 的内接四边形ABCD 中，AB=3，AD=5， BAD=60 ，点 C 为弧 BD的中点，则AC 的长是 【答案】8 33. 【考点】 全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用【分析】 如答图，过点C 分别作 CEAB 于点 E，CFAD 于
10、点 F，则 E=CFD=CFA=90 ，点 C 为弧 BD 的中点，?BCCD. BAC=DAC，BC=CD. CEAB，CFAD， CE=CF. A、B、C、D 四点共圆，D=CBE. 在 CBE 和 CDF 中，CBEDECFDCECF， CBE CDF （AAS）.BE=DF . 在 AEC 和 AFC 中，EAFCEACFACACAC AEC AFC（AAS）.AE=AF. 设 BE=DF=x，AB=3，AD=5， AE=AF=x+3， 5=x+3+x，解得： x=1，即 AE=4. BAD=60 ， EAC= 30 . 0448 3coscos60332AEACEAC. 5. （20
11、15 年江苏南通3 分） 关于 x 的一元二次方程2310axx的两个不相等的实数根都在1 和 0 之间（不包括 1 和 0） ，则 a 的取值范围是 【答案】994341 04aaaaa且0a.设231yaxx实数根都在1 和 0 之间，当 a0 时，如答图1，由图可知，当0 x时， 0y；但0011y，矛盾，此种情况不存在. 当 a0 时，如答图2，由图可知，当1x时， 0y，即31 02aa. 综上所述， a 的取值范围是924a. 6. （2015 年江苏宿迁3 分） 如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（ 0，4） ，直线334yx与 x 轴、 y轴分别交于点A，B，点 M 是直
12、线 AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 【答案】285. 【考点】 单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】 根据垂线段最短得出PMAB 时线段PM 最短，分别求出PB、 OB、OA、AB 的长度，利用PBM ABO，即可求出答案如答图，过点P 作 PM AB，则： PMB=90 ，当 PMAB 时， PM 最短，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 31 页直线334yx与 x轴、 y 轴分别交于点A，B，点 A 的坐标为（ 4，0） ，点 B 的坐标为（ 0，
13、 3）. 在 Rt AOB 中， AO=4，BO=3，根据勾股定理，得AB=5. BMP= AOB=90 ， ABO=PBM， PBM ABO. PBPMABAO，即：4354PM，解得285PM.7. （ 2015年江苏宿迁3 分） 当 x=m或 x=n （m n） 时， 代数式223xx的值相等，则 x=m+n 时， 代数式223xx的值为 【答案】 3【考点】 二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用.【分析】 设223yxx，当 x=m 或 x=n（m n）时，代数式223xx的值相等，抛物线223yxx的对称轴22 12mnx. 2mn. 当2xmn时，222322233xx.
14、8. （2015 年江苏镇江2 分） 如图， AB 是 O 的直径， OA=1，AC 是 O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点 D，若21BD，则 ACD= 【答案】 112.5【考点】 切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】 如答图，连接OCDC 是 O 的切线， OCDC. 21BD， OA=OB=OC=1 ，2OD. 2222211CDODOC. OC=CD. DOC=45 . OA=OC ， OAC= OCA. OCA=12 DOC=22.5 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31
15、页 ACD= OCA+ OCD=22.5 +90 =112.5 9. （2015 年江苏镇江2 分） 写一个你喜欢的实数m 的值 ，使得事件 “ 对于二次函数21132yxmx，当 x 3 时， y 随 x 的增大而减小” 成为随机事件【答案】 3（答案不唯一） 【考点】 开放型；随机事件；二次函数的性质【分析】 二次函数21132yxmx的对称轴为11122mym，当 x 3 时， y 随 x 的增大而减小，13m，解得0kykx的图像经过点D且与边 BA 交于点 E，连接 DE . （1）连接 OE，若 EOA 的面积为2，则 k= ；（2）连接 CA、 DE 与 CA 是否平行？请说明理
16、由；（3）是否存在点D，使得点 B 关于 DE 的对称点在OC 上？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】 解： （1）4. （2）平行，理由如下：如答图 1，连接 AC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页设, 5 ,3,D aEb，, 5 ,3,D aEb在0kykx上，5533kkaakkbb. BC=OA=3，AB=OC=5， BD=35k，BE=53k. 3335,5553kBCBDkABBE. BCBDABBE，即BCABBDBE.DE AC（3）存在 . 假设存在点D 满足条件设,
17、 5 ,3,53kkDE，则 CD=5k，BD=35k，AE=3k，BE=53k如答图 2，过点 E 作 EFOC，垂足为F，易证 BCD EFB，B EB FB DCD，即53355kB Fkk.3kB F. 255333kkkCBOCB FOFOCB FAE. 在 Rt BCD 中， CB= 253k，CD=5k， BD=BD=35k，由勾股定理得，CB2 CD2 = BD2 ，222253355kkk，整理得2101233600kk. 解得，122415,52kk（不合题意，舍去）.24, 525D. 满足条件的点D 存在， D 的坐标为24, 525精选学习资料 - - - - - -
18、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页【考点】 反比例函数综合题；单动和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）设3,3kE，则 OA=3， AE=3kEOA 的面积为2，132423kk. （2）设, 5 ,3,D aEb，由, 5 ,3,D aEb在kyx上，得到, 5 ,3,53kkDE，从而求得BCBDABBE，即BCABBDBE，进而证得DEAC（3）设, 5 ,3,53kkDE，作辅助线“过点E 作 EFOC，垂足为F” ，由 BCDEFB得到B EB FB DC
19、D而求得3kB F，从而在RtBCD 中，应用勾股定理列方程求解即可.8. （2015 年江苏盐城10 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数34yx与一次函数7yx的图像交于点A. （1）求点 A 的坐标；（2）设 x轴上一点P（ a ，0） ，过点 P 作 x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交34yx和7yx的图像于点 B、C，连接 OC，若 BC=75OA，求 OBC 的面积 . 【答案】 解： （1）根据题意，得347yxyx，解得43xy，点 A 的坐标为（ 4，3）. （2）如答图，过A 点作 AD x 轴于点 D，精选学习资料 - - - - - - - -
20、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页点 A 的坐标为（ 4，3） ，根据勾股定理，得OA=5. BC x轴， P（ a ，0） ，BC 交34yx和7yx的图像于点B、C，3,74B aaC aa、. BC 位于点 A 的右侧，374BCaa. 又 BC=75OA=7，3774aa，解得，8a. 11872822OBCSBC OP.【考点】 一次函数综合题；直线上点的坐标与方程关系；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系；联立34yx和7yx即可求得点A 的坐标 . （2）一方面，作辅助线“过A 点作 AD x轴于点
21、D”构造直角三角形，应用勾股定理求出OA=5，从而由 BC=75OA 求出的 BC 长；另一方面，由B、C 的纵坐标之差列关于a 的方程3774aa，解之即得 BC 边上的高OP 的长，进而根据三角形面积公式求得OBC 的面积 .9. （2015 年江苏扬州10 分） 平面直角坐标系中，点,P xy的横坐标x的绝对值表示为x，纵坐标y的绝对值表示为y，我们把点),(yxP的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点,P xy的勾股值，记为：P，即Pxy .（其中的 “+”是四则运算中的加法）（1）求点1, 3A,32,32B的勾股值A、B；（2）点M在反比例函数3yx的图像上，且4M，求点M的坐标；（3
22、）求满足条件3N的所有点N围成的图形的面积. 【答案】 解： （1）1, 3A,32,32B，134A，323232234B. （2）点M在反比例函数3yx的图像上，可设3,Mmm. 4M，34mm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页若0m，则34mm，解得121.3mm.1, 3M或3, 1M. 若0m，则34mm，解得121.3mm.1,3M -或3,1M -. 综上所述，点M的坐标为1, 3或3, 1或1,3 -或3,1 -. （3）设,N xy，3N，3xy. 若0,0 xy，则3xy，即3yx. 若0
23、,0 xy，则3xy，即3yx. 若0,0 xy，则3xy，即3yx. 若0,0 xy，则3xy，即3yx. 满足条件3N的所有点N围成的图形是正方形，如答图. 满足条件3N的所有点N围成的图形的面积为18. 【考点】 新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用 . 【分析】（1）直接根据定义求解即可. （2）设3,Mmm，根据4M得到34mm，分0m和0m求解即可 . （3）设,N xy，根据3N得到3xy，由, xy负分类即可求解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 3
24、1 页10. （2015 年江苏常州10 分） 如图，反比例函数kyx的图象与一次函数14yx的图象交于点A、B，点 B的横坐标是4点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的上方（1）若点 P 的坐标是（ 1，4） ，直接写出k 的值和 PAB 的面积；（2）设直线PA、PB 与 x轴分别交于点M、N，求证： PMN 是等腰三角形；（3）设点 Q 是反比例函数图象上位于P、B 之间的动点（与点P、B 不重合），连接 AQ、BQ，比较 PAQ 与PBQ 的大小，并说明理由【答案】 解： （1）415PABkSV，（2）证明：如答图2，过点 P 作 PHx 轴于点 H，设直线 P
25、B 的解析式为yaxb，把点 P（1，4） 、B（4，1）代入yaxb，得441abab，解得：15ab，直线 PB 的解析式为5yx当 y=0 时，50 x， x=5，点 N（5，0） 同理可得M（ 3，0） ，134514MHNH，. MH=NH. PH 垂直平分MN. PM=PN. PMN 是等腰三角形. （3） P AQ=PBQ理由如下：如答图 3，过点 Q 作 QTx 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D，QB 的延长线交x 轴于 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页可设点4Q cc，直线 AQ 的解
26、析式为ypxq，则414pqcpqc，解得：141pcqc，直线 AQ 的解析式为141yxcc当 y=0 时，1410 xcc，解得：4xc，D（4c， 0） 同理可得E（4c，0） ，4444DTccETcc，.DT=ET. QT 垂直平分DE， QD=QE. QDE=QED MDA =QDE ， MDA =QEDPM=PN， PMN=PNM PAQ=PMNMDA， PBQ=NBE=PNM QED， PAQ=PBQ【考点】 反比例函数和一次函数综合题；单动点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定和性质【分析】（1）如答图
27、1，过点 A 作 ARy 轴于 R，过点 P 作 PSy 轴于 S ，连接 PO，设 A P 与 y 轴交于点C，把 x=4 代入14yx，得到点B 的坐标为（ 4，1） ，把点 B（4， 1）代入kyx，得 k=4解方程组144yxyx，得到点 A 的坐标为（4， 1） ，则点 A 与点 B 关于原点对称，OA=OB. AOPBOPSSVV. 2PABAOPSSVV设直线 AP 的解析式为ymxn，把点 A（ 4， 1） 、P（1，4）代入ymxn，求得直线 AP 的解析式为3yx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 3
28、1 页则点 C 的坐标（ 0，3） ，OC=3，111115343 122222AOPAOCPOCSSSOCAROC PSVVV. 215PABAOPSSVV. （2）作辅助线 “过点 P 作 PHx 轴于点 H” ，用待定系数法求出直线PB 的解析式，从而得到点N 的坐标，同理可得到点M 的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即 PMN 是等腰三角形；（3） 作辅助线“过点 Q 作 QTx 轴于 T， 设 AQ 交 x 轴于 D， QB 的延长线交x 轴于 E” ， 设点 Q 为4cc，运用待定系数法求出直线AQ 的解析式，即可得到点D 的坐标为（4c，0） ，同理
29、可得E（4c，0） ，从而得到 DT =ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有 QDE=QED 然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到P AQ=PBQ11. （2015 年江苏南通13 分） 已知抛物线2221yxmx mm（m 是常数）的顶点为P，直线1lyx：. （1）求证：点P 在直线 l 上；（2）当 m=3 时，抛物线与x轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点 C，与直线l 的另一个交点为Q，M 是 x 轴下方抛物线上的一点，ACM =PAQ（如图），求点 M 的坐标；（3）若以抛物线和直线l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m
30、的值【答案】 解： （1）证明：222211y xmx mmx mm，点 P 的坐标为（ m，m1） ，当 x=m 时， y=x1=m1，点 P 在直线 l 上. （2）当 m=3 时，抛物线解析式为265yxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页当 y=0 时，2650 xx，解得 x1=1，x2= 5，则 A（ 5，0）. 当 x=0 时，2655yxx，则 C（0，5） . 联立方程组2165yxyxx，解得34xy或23xy，P（ 3， 4） ，Q（ 2， 3）. 如答图，过点M 作 MEy 轴于 E，过
31、点 P 作 PFx 轴于 F，过点 Q 作 QGx 轴于 G，OA=OC=5， OAC 为等腰直角三角形. ACO=45 . MCE=45 ACM. QG=3，OG=2， AG=OAOG=3=QG. AQG 为等腰直角三角形. QAG=45 . 90904545APFPAFPAQPAQ. ACM=PAQ， APF=MCE. RtCME RtPAF. MECEAFPF. 设265Mxxx，则225656MExCExxxx，. 2624xxx，整理得240 xx，解得 x1=0（舍去）， x2=4，点 M 的坐标为（ 4， 3）. （3）m 的值为 0，132，132，132，132【考点】 二次
32、函数综合题；曲线上点的坐标 与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；分类思想和方程思想的应用.【分析】（1）利用配方法求得点P 的坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P 在直线 l 上. （2）当 m=3 时，抛物线解析式为265yxx，根据抛物线与x 轴的交点问题求出A（ 5，0） ，易得 C（0，5） ，通过解方程组2165yxyxx得 P（ 3， 4） ，Q（ 2， 3） ，如图，作ME y 轴于 E，PFx 轴于 F，QGx 轴于 G，证明 RtCME Rt PAF，利用相似得MECEAFPF，设265M x xx，则2624xxx，解之即
33、可求得点M 的坐标 . （3）解方程组22121yxyxmxmm得1xmym或1xmym，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页P（m，m1） ，Q（m+1，m）. 222112PQmmmm，22221221OQmmmm，22221221OPmmmm. 当 PQ=OQ 时，22212mm，解得12131322mm，；当 PQ=OP 时，22212mm，解得12131322mm，；当 OP=OQ 时，22221221mmmm，解得 m=0. 综上所述， m 的值为 0，132，132，132，13212. （ 2015
34、 年江苏宿迁10 分） 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为2a，2b，点 A，D，G 在 y 轴上，坐标原点O 为 AD 的中点，抛物线2ymx过 C，F 两点，连接FD 并延长交抛物线于点 M（1）若 a=1，求 m 和 b 的值；（2）求ba的值；（3）判断以FM 为直径的圆与AB 所在直线的位置关系，并说明理由【答案】 解： （1） a=1，正方形ABCD 的边长为 2，坐标原点O 为 AD 的中点， C（2， 1） 抛物线2ymx过 C 点， 1=4m，解得14m. 抛物线解析式为214yx，将 F（2b，2b+1）代入214yx，得212124b
35、b，解得12b（负值舍去）14m，12b. （2）正方形ABCD 的边长为2a，坐标原点O 为 AD 的中点， C（2a，a） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页抛物线2ymx过 C 点，24ama，解得14ma. 抛物线解析式为214yxa. 将 F（2b，2b+1）代入214yxa，得212124bba，解得12ba（负值舍去） 12ba. （3）以 FM 为直径的圆与AB 所在直线相切理由如下：D（0， a） ，可设直线FD 的解析式为ykxa. 由（ 2）12ba得2232Faaaa，代入ykxa得 k=
36、1. 直线 FD 的解析式为yxa联立214yxayxa，解得22 232 2xaayaa或22 232 2xaayaa. M 点坐标为2232aaaa，以 FM 为直径的圆的圆心O的坐标为（ 2a，3a）. 如答图，过点O作O HAB于点H，O到直线 AB（ya）的距离34O Haaa（）. 以 FM 为直径的圆的半径222 22 24rO Faaa. O Hr. 以 FM 为直径的圆与AB 所在直线相切【考点】 二次函数综合题；待定系数法的应 用；曲线上点的坐标与方程的关系；正方形的性质；直线与圆满的位置关系的判定；勾股定理；数形结合思想和方程思想的应用【分析】（1）由 a=1，根据正方形
37、的性质及已知条件得出C（2，1） 将 C 点坐标代入2ymx，求出14m，则抛物线解析式为214yx，再将 F（ 2b，2b+1）代入214yx，即可求出b 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页（2） 由正方形 ABCD 的边长为 2a， 坐标原点 O 为 AD 的中点，得出 C （2a， a） 将 C 点坐标代入2ymx，求出14ma，则抛物线解析式为214yxa，再将 F（ 2b，2b+a）代入214yxa，整理，把a 看作常数，利用求根公式得出12ba（负值舍去） ，从而得到12ba. （3）先利用
38、待定系数法求出直线FD 的解析式为yxa，再求出M2232aaaa，又2232Faaaa，利用中点坐标公式得到以FM 为直径的圆的圆心O 的坐标为（ 2a，3a） ，再求出O到直线 AB （ya）的距离O H的值，以FM 为直径的圆的半径r 的值，由O H=r，根据直线与圆的位置关系可得以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切13. （ 2015 年江苏镇江6 分）如图， 点3Mm，是一次函数1yx与反比例函数0kykx的图象的一个交点（1）求反比例函数表达式；（2）点 P 是 x 轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a2 ） ，过点 P 作垂直于x 轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点
39、A，B，过 OP 的中点 Q 作 x 轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，ABC与 ABC 关于直线 AB 对称当 a=4 时，求 ABC的面积；当 a 的值为 时， AMC 与 AMC的面积相等【答案】 解： （1）把3Mm，代入1yx，则2m，32M，把32M，代入kyx，得 k=6，反比例函数解析式是：6yx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页（2）如答图1，连接 CC 交 AB 于点 D，则 AB 垂直平分 CC当 a=4 时， A（4，5） ，B（4，1.5） ，则 AB=3.5点 Q 为 OP 的中
40、点， Q（2，0）. C（2， 3） ，则 D（4，3）.CD=2. 113.523.522ABCSAB CDV.3【考点】 反比例函数和一次函数综合题；单动点和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；全等三角形的判定和性质；数形结合思想和方程思想的应用.【分析】 （ 1）由一次函数解析式可得点M 的坐标为（ 3，2） ，然后把点M 的坐标代入反比例函数解析式，求得 k 的值，可得反比例函数表达式. （2）作辅助线“连接CC 交 AB 于点 D” ，由轴对称的性质，可知AB 垂直平分OC，当 a=4 时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D 的坐标，于是可得AB 和 CD 的
41、长度，即可求得ABC 的面积 . 如答图2，分别过点C、C作1yx的垂线垂足分别为点 E、F， AMC 与 AMC的面积相等，CE= C F. 又 AC= AC， AEC 与 AFC（ HL）.CAEC AF. E、A、F 共线， C、A、 C 共线 . OP=a，点 A 在1yx上，,1A aa. ,12aCa. 点 C 在6yx上，612aa，整理，得2120aa，解得3a或4a（舍去） . 3a.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页14. （2015 年江苏镇江10 分） 如图，二次函数20yaxbxc a的
42、图象经过点（0，3） ，且当 x=1 时， y有最小值 2（1）求 a， b，c 的值；（2）设二次函数222ykxaxbxc（k 为实数），它的图象的顶点为D当 k=1 时，求二次函数222ykxaxbxc的图象与x轴的交点坐标；请在二次函数2yaxbxc与222ykxaxbxc的图象上各找出一个点M，N，不论 k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，直接写出点M， N 的坐标（点M 在点 N 的上方）；过点 M 的一次函数34yxt的图象与二次函数2yaxbxc的图象交于另一点P，当 k 为何值时，点D 在 NMP 的平分线上？当 k 取 2，1，0，1，2 时，通过计算， 得到对应的抛物
43、线222ykxaxbxc的顶点分别为 （1， 6， ） ， （0， 5） ， （1， 2） ， （2，3） ， （3，10） ，请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页【答案】 解： （1）二次函数20yaxbxc a当 x=1 时， y 有最小值2，可设212ya x. 将（ 0，3）代入，得a=1，221223yxxx. a=1，b=2，c=3. （2）当 k=1 时，241yxx，令2410yxx，解得23x，图象与x轴的交点坐标（23，0） ，
44、 （23，0）. M（ 1，6） ，N（ 1， 6）. 如答图，设直线34yxt与 x 轴交于点A，MD 与 x 轴交于点B，MN 与 x 轴交于点 E，过点 B 作 BCAM 于点 C，34yxt经过 M （ 1， 6） ， 3614t，解得214t. 32144yx，则 A（7，0）. MNx 轴， E 点的横坐标为1. AE=8. ME=6， MA=10MD 平分 NMP，MNx 轴， BC=BE. 设 BC=x，则 AB=8 x， ABC AME，BCABMEAM. 8610 xx，解得 x=3. B（2，0）. MD 的函数表达式为24yx22222142ykxaxbxcxkkk，精
45、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页21,42D kkk. 把21,42D kkk，代入24yx，得242214kkk，解得313k. 11k，313k舍去 . 313k. 是当顶点的横坐标大于1 时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于1 时，纵坐标随横坐标的增大而减小【考点】 阅读理解型问题；二次函数综合题 ；二次函数的性质；轴对称的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和数形结合思想的应用【分析】（1）利用顶点式的解析式求解即可. （2）当 k=1
46、 时，241yxx，令2410yxx，解得 x 的值，即可得出图象与x 轴的交点坐标 . 当 x=1 时，223yxx与22223ykxxx的图象上点M， N，不论 k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，可得M（ 1，6） ，N（ 1， 6）. 由34yxt，经过 M（ 1， 6） ，可得 t 的值，由MNx 轴，可得 E 点的横坐标为1，可得出 AE， ME， MA 的值设 MD 交 AE 于点 B， 作 BCAM 于点 C， 设 BC=x， 则 AB=8x， 由 ABC AMN列式，可求出x的值，即可得出MD 的函数表达式为y= 2x+4再把点D 代入，即可求出k 的值样 . 观察可得出当顶点的横坐标大于1 时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于1 时，纵坐标随横坐标的增大而减小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页