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1、学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-2015 中考数学与函数有关的压轴题（解答题七）31. （2014?邵阳，第 26 题 10 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=x2（m +n）x+mn （m n）与x 轴相交于 A、B两点（点 A位于点 B的右侧） ，与 y 轴相交于点 C（1）若 m =2，n=1，求 A、B两点的坐标；（2）若 A、B两点分别位于 y 轴的两侧， C点坐标是（ 0，1） ，求 ACB的大小；（3）若 m =2，ABC是等腰三角形，求n 的值考点：二次函数综合题分析：（1） 已知 m ， n 的值，即已知抛物线解析式， 求解 y=0时的解
2、即可此时 y=x2（m +n）x+mn = （xm ） （xn） ，所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大（2）求ACB ，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断， 所以利用条件易得 1=mn ，进而可以用 m来表示 A、B点的坐标， 又 C已知，则易得 AB 、BC 、AC边长讨论即可（3）ABC是等腰三角形， 即有三种情形， AB =AC ，AB =BC ，AC =BC 由（2）我们可以用 n 表示出其三边长， 则分别考虑列方程求解n 即可解答：解： （1）y=x2（m +n）x+mn =（xm ） （xn） ，x=m或 x=n 时，y 都为
3、0，mn，且点A位于点B的右侧，A（m ，0） ，B（n，0） m =2，n=1，A（2，0） ，B（1，0） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-（2）抛物线 y=x2（m +n）x+mn （m n）过 C（0，1） ，1=mn ，n=，B（n，0） ，B（，0） AO =m ，BO =，CO =1 AC =，BC=，AB =AO +BO =m ，（m ）2=（）2+（）2，AB2=AC2+BC2，ACB =90（3）A（m ，0） ，B（n，0） ，C
4、（0，mn ） ，且 m =2，A（2，0） ，B（n，0） ，C（0，2n） AO =2，BO =| n| ，CO =|2 n| ，AC =，BC =| n| ，AB =xAxB=2n当 AC =BC时，=| n| ，解得 n=2（A、B两点重合，舍去）或 n=2；当 AC =AB时，=2n，解得 n=0（B、C两点重合，舍去）或 n=；当 BC =AB时，| n|=2 n，当 n0 时，n=2n，解得 n=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-当 n0
5、 时，n=2n，解得 n=综上所述， n=2， ，时，ABC 是等腰三角形点评：本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识， 总体难度适中， 是一道非常值得学生加强联系的题目32 （2014浙江金华，第22 题 10 分）（1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题. （2） 小亮进一步研究四边形的特征后提出问题：“当时，矩形 AEGF 与矩形 DOHE 能否全等？能否相似？”针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由. 【答案】 （1）； （2）这两个矩形不能全等，这两
6、个矩形的相似比为. 【解析】AE EG6yx 0 x3, 256精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-，解得或. 点 F 的坐标为. （2）这两个矩形不能全等，理由如下：设点 F 的坐标为，则，6nmm23nm3n2m2n33, 2m, nAEm2, AF3n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-考点： 1. 阅读理解型问
7、题； 2. 待定系数法的应用； 3. 曲线上点的坐标与方程的关系；4. 正方形的和矩形性质； 5. 全等、相似多边形的判定和性质；6. 反证法的应用 . 33.（2014?四川自贡，第 24 题 14 分）如图，已知抛物线y=ax2x+c 与 x 轴相交于 A、B两点，并与直线 y=x2 交于 B、C两点，其中点 C是直线 y=x2 与 y 轴的交点，连接 AC（1）求抛物线的解析式；（2）证明：ABC为直角三角形；（3）ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点 D 、E、F、G在ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）由直线 y=x2
8、交 x 轴、y 轴于 B、C两点，则 B、C坐标可求进而代入抛物线 y=ax2x+c，即得 a、c 的值，从而有抛物线解析式（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90或勾股定理本题中未提及特殊角度，而已经A、B、C坐标，即可知 AB 、AC 、BC ，则显然可用勾股定理证明（3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，一点为C ，AB 、AC 、BC边上各有一点， AB边上有两点， AC 、BC边上各有一点 讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
9、 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-积函数利用二次函数最值性质可求得最大面积解答：（1）解：直线 y=x2 交 x 轴、y 轴于 B、C两点，B（4，0） ，C（0，2） ，y=ax2x+c 过 B、C两点，解得，y=x2x2（2）证明：如图 1，连接 AC ，y=x2x2 与 x 负半轴交于 A点，A（1，0） ，在 RtAOC 中，AO =1，OC =2，AC =，在 RtBOC 中，BO =4，OC =2，BC =2，AB =AO +BO =1+4=5，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
10、 6 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-AB2=AC2+BC2，ABC为直角三角形（3）解： ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG ，面积为，理由如下：一点为 C， AB 、 AC 、 BC边上各有一点， 如图 2， 此时 AGF ACB FE B设 GC =x，AG =x，GF =22x，S=GC ?GF =x? （2）=2x2+2x=2（x）2=2 （x）2+，即当 x=时，S最大，为AB边上有两点，AC 、 BC边上各有一点，如图 3， 此时 CDE CAB GAD ，设 GD =x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
11、总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-，AD =x，CD =CA AD =x，DE =5x，S=GD ?DE =x?（5x）=x2+5x= （x1）21=（x1）2+，即 x=1时，S最大，为综上所述， ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG ，面积为点评：本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题及相似三角形性质等知识点，难度适中，适合学生巩固知识34 （2014?浙江湖州，第 23 题分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=x2+bx+c（c0）的顶点为 D ，与 y 轴的交点为 C，过
12、点 C作 CA x 轴交抛物线于点 A，在 AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD（1）若点 A的坐标是（ 4，4）求 b，c 的值；试判断四边形 AOBD 的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形 AOBD 是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由分析： （1）将抛物线上的点的坐标代入抛物线即可求出b、c的值；求证 AD =BO和 AD BO即可判定四边形为平行四边形；（2）根据矩形的各角为90可以求得ABOOBC即=，再根据勾股定理可得OC=BC，AC=OC ，可求得横坐标为c，纵坐标为 C 精选学习资料 - - - -
13、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-解： （1）AC x 轴，A点坐标为（ 4，4） 点 C的坐标是（ 0，4）把 A、C代入 yx2+bx+c 得， 得，解得；四边形 AOBD 是平行四边形；理由如下：由得抛物线的解析式为yx24x+4，顶点 D的坐标为（ 2，8） ，过 D点作 DE AB于点 E，则 DE =OC =4，AE =2，AC =4，BC = AC =2，AE =BC AC x 轴， AED =BCO =90，AED BCO ，AD =BO DAE =BCO ，AD
14、BO ，四边形 AOBD 是平行四边形（2）存在，点 A的坐标可以是（ 2，2）或（ 2，2）要使四边形 AOBD 是矩形；则需 AOB =BCO =90，ABO =OBC ， ABO OBC ，=，又AB =AC +BC =3BC ，OB =BC ，在 RtOBC 中，根据勾股定理可得：OC =BC ，AC =OC ，C点是抛物线与 y 轴交点， OC =c，A点坐标为（c，c） ，顶点横坐标=c，b=c，将 A点代入可得 c=+c?c+c，横坐标为c，纵坐标为 c 即可，令 c=2，A点坐标可以为（ 2，2）或者（ 2，2） 点评：本题主要考查了二次函数对称轴顶点坐标的公式，以及函数与坐标
15、轴交点坐标的求解方法35. （2014?湘潭，第 26 题）已知二次函数 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2，且经过原点，直线 AC解析式为 y=kx+4，（1）求二次函数解析式；（2）若=，求 k；（3）若以 BC为直径的圆经过原点，求k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-（第 2 题图）考点：二次函数综合题分析：（1）由对称轴为 x=，且函数过（ 0，0） ，则可推出 b，c，进而得函数解析式（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计
16、算方便可作 B，C对 x 轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=由 B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标由上述倍数关系，则k 易得（3）以 BC为直径的圆经过原点，即BOC =90，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路， 发现 B，C横纵坐标恰好可表示出EB ，EO ，OF ，O C 而由BOC =90，易证 EBO FOC ，即 EB ?FC =EO ?FO 有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k 值解答：解： （1）二次函数y=x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，=2，0=0+0+c，b=4，c=0
17、，y=x2+4x（2）如图 1，连接 OB ，OC ，过点 A作 AE y 轴于 E，过点 B作 BF y 轴于F，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-=，=，=，EB FC ，=y=kx+4交 y=x2+4x 于 B，C，kx+4=x2+4x，即 x2+（k4）x+4=0，=（k4）24?4=k28k，x=，或 x=，xBxC，EB =xB=，FC =xC=，4?=，解得 k=9（交点不在 y 轴右边，不符题意，舍去）或k=1k=1（3）BOC =90
18、，EOB +FOC =90，EOB +EBO =90，EBO =FOC ，BEO =OFC =90，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习好资料欢迎下载-欢迎登陆 明师在线 浏览更多的学习资讯！-EBO FOC ，EB ?FC =EO ?FO xB=，xC=，且 B、C过 y=kx+4，yB=k?+4，yC=k?+4，EO =yB=k?+4， OF =yC=k?4，?=（k?+4）?（k?4） ，整理得 16 k=20，k=点评：本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页