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1、学习必备欢迎下载2012 中考数学压轴题函数面积问题( 一) 例 1 如图 1，直线 l 经过点 A(1，0)，且与双曲线myx(x0)交于点 B(2，1)过点(,1)P p p(p1)作 x 轴的平行线分别交曲线myx(x0)和myx(x0)于 M、 N 两点（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y2 上，求证： PMBPNA；（3）是否存在实数p，使得 SAMN4SAMP？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“11 南通 28”，拖动点 P 在射线 AB 上运动，可以体验到，当直线 MN 经过（0，2）点时
2、，图形中的三角形都是等腰直角三角形；AMN 和AMP是两个同高的三角形，MN4MP 存在两种情况思路点拨1第（ 2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把 SAMN4SAMP转化为 MN4MP，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载满分解答（1） 因为点 B(2，1)在双曲线myx上，所以 m2设直线 l 的解析式为ykxb，代入点 A(1， 0)和点 B(2， 1)， 得0,21.kbkb解得1,1.kb所以直线 l 的解析式为1yx（2） 由
3、点( ,1)P p p(p1)的坐标可知， 点 P 在直线1yx上 x 轴的上方如图 2，当 y2 时，点 P 的坐标为 (3，2) 此时点 M 的坐标为 (1，2)，点 N 的坐标为 (1，2)由 P(3，2)、M(1 ，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知PMB 为等腰直角三角形由 P(3，2)、N(1，2)、A(1 ，0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形所以 PMBPNA图 2 图 3 图 4 （3）AMN 和AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和 MP 在同一条直线上当 SAMN4SAMP时，MN4MP如图 3，当 M 在 NP 上时，xMxN4(xPxM) 因此222(
4、)4 (1)xxxx 解得1132x或1132x（此时点 P 在 x轴下方，舍去）此时1132p如图 4，当 M 在 NP 的延长线上时， xMxN4( xMxP)因此222()4(1)xxxx 解得152x或152x（此时点 P 在 x 轴下方，舍去） 此时152p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载考点伸展在本题情景下，AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，AMN90，此时点 M 的坐标为（ 1，2），点 P的坐标为（ 3，2）情形二，如图6，MAN90，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半不
5、存在 ANM90的情况图 5 图 6 例 2 如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形 OABC的顶点 O 为坐标原点， 顶点 A、C分别在 x 轴、y 轴的正半轴上， CBOA，OC 4，BC3，OA5，点 D 在边 OC上，CD3，过点 D 作 DB 的垂线 DE，交 x 轴于点 E（1）求点 E 的坐标；（2）二次函数y x2bxc 的图像经过点B 和点 E求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点 M 在它的对称轴上且位于x 轴上方，满足 SCEM2SABM，求点 M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6
6、页学习必备欢迎下载图 1动感体验请打开几何画板文件名“11 松江 24”，拖动点 M 在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2思路点拨1这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算2点 M 在抛物线的对称轴上且位于x 轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M 在线段 FB 和 FB 的延长线上 因为用点 M 的纵坐标表示ABM 的底边长， 因点 M 的位置不同而不同满分解答（1）因为 BCOA，所以 BCCD因为 CDCB 3，所以 BCD是等腰直角三角形因此 BCD45又因为BCCD，所以 ODE45 所以 ODE是等腰直角三角形， OEOD1
7、所以点 E 的坐标是（ 1，0）（2）因为抛物线yx2bxc 经过点 B（3，4）和点 E（1，0），所以934,10.bcbc解得6,5.bc所以二次函数的解析式为y x26x5， 抛物线的对称轴为直线x3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载如图 2，如图 3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点 F，点 M 的坐标为（ 3，t）CEMMEFCOEOFMCSSSS梯形111(4)321 442222ttt（）如图2，当点 M 位于线段 BF 上时，ttSABM42)4(21解方程)4(242tt，得58t此
8、时点 M 的坐标为（ 3，58）（）如图3，当点 M 位于线段 FB 延长线上时，42)4(21ttSABM解方程)4(242tt，得8t此时点 M 的坐标为（ 3，8）图 2 图 3 考点伸展对于图 2，还有几个典型结论：此时， C、M、A 三点在同一条直线上；CEM 的周长最小可以求得直线AC的解析式为445yx，当 x3 时，85y因此点 M（3，58）在直线 AC上因为点 A、E 关于抛物线的对称轴对称，所以MEMCMAMC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载当 A、M、C三点共线时， MEMC最小， CEM 的周长最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页