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1、名师总结优秀知识点三角函数的图象与性质一、知识网络三、知识要点（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数： ysinx ，ytanx ；偶函数： ycosx. （2）型三角函数的奇偶性（） g（x）（ xR）g（x）为偶函数由此得；同理，为奇函数 . （）为偶函数；为奇函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点 . 3、周期性（1）基本公式（）基本三
2、角函数的周期ysinx ，y cosx 的周期为；y tanx ，ycotx 的周期为 . （）型三角函数的周期的周期为；的周期为 . （2）认知（）型函数的周期的周期为；的周期为 . （）的周期的周期为；的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（）的区别. （）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.（）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验猜想证明. （3）特殊情形研究（） ytanx cotx 的最小正周期为；（）的最小正周期为；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -
3、 - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点（） ysin4xcos4x 的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：选周期： 在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整， 并且最好关于原点对称的一个周期；写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；获通解： 在中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循
4、着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y型三角函数的单调区间此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为换元、分解：令 u， 将所给函数分解为内、外两层： yf（u）， u；套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f （u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u 的不等式；还原、结论：将u代入中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论. （二）三角函数的图象1、对称轴与对称中心（1）基本三角函数图象的对称性（）正弦曲线ysinx的对称轴为；正弦曲线ysinx的对称中心为（，0
5、） . （）余弦曲线ycosx 的对称轴为；余弦曲线y cosx 的对称中心（）正切曲线ytanx 的对称中心为；正切曲线ytanx 无对称轴. 认知：两弦函数的共性：x为两弦函数f（x）对称轴为最大值或最小值；（，0）为两弦函数f（ x）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点对称中心0. 正切函数的个性：（，0）为正切函数f （x）的对称中心0 或不存在 . （2）型三角函数的对
6、称性（服从上述认知）（）对于g（x）或 g（x）的图象x为 g（x）对称轴为最值（最大值或最小值）；（，0）为两弦函数g （ x）对称中心0. （）对于 g （ x）的图象（，0）为两弦函数g（x）的对称中心0 或不存在 . 2、基本变换（1）对称变换（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移3、y的图象（1）五点作图法（2）对于A，T，的认知与寻求：A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离； 2A：图像上最高点与最低点在y 轴上投影 间的距离 . ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离；：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离 . ： 由
7、 T得出 . ：解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与 x 轴交点坐标代入函数式求，则须注意检验，以防所得值为增根；解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）. 四、经典例题例 1、求下列函数的值域：（1）（ 2）（3）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点（4）（ 5）（6）分析： 对于形如 （1）（2）（3）的函数求值域， 基本策
8、略是 （） 化归为的值域；（）转化为sinx （或 cosx）的二次函数；对于（4）（5）（ 6）之类含有绝对值的函数求值域， 基本策略则是 （） 在适当的条件下考察y2； （） 转化为分段函数来处理；（）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解：（1），即所求函数的值域为 . （2）由注意到这里xR，所求函数的值域为 1，1. （ 3 ） 这 里令sinx cosx t则 有且由于是有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 -
9、- - - - - - - - 名师总结优秀知识点因此，所求函数的值域为 . （4）注意到这里y0，且即所求函数的值域为 . （5）注意到所给函数为偶函数，又当此时同理，当亦有 . 所求函数的值域为 . （6）令则易见 f（x）为偶函数， 且是 f （x）的一个正周期. 只需求出 f （x）在一个周期上的取值范围. 当 x0 ， 时，又注意到，x为 f （ x）图象的一条对称轴只需求出f （x）在 0 ， 上的最大值 . 而在 0 ， 上，递增 . 亦递增由得f （x）在 0 ， 上单调递增 . 即于是由、得所求函数的值域为 . 点评： 解（ 1）（ 2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是
10、求解关于sinx cosx与 sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点质化繁为简，化暗为明. 这一点在解（ 6）时表现得淋漓尽致. 例 2、求下列函数的周期：（1）；（2）；（3）；（4）；（ 5）分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为k 的形式，而后运用已知公式. 对于
11、含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理. 解：（ 1）所求最小正周期 . （ 2）所求周期 . （3） . 注意到的最小正周期为， 故所求函数的周期为 . （4）注意到 3sinx 及 -sinx的周期为2，又 sinx 0（或 sinx0 ）的解区间重复出现的最小正周期为2 . 所求函数的周期为2 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点（5
12、）注意到 sin2x的最小正周期，又 sinx 0（或 sinx0 ）个单位，所得的图象关于y 轴对称，则m的最小正值为。（5）对于函数，给出四个论断：它的图象关于直线x对称；它的图象关于点（ ,0 ）对称；它的周期为；它在区间，0上单调递增. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点以其中的两个论断作为条件, 余下的两个论断作为结论, 写出你认为正确的命题, 它是。分析：（ 1）这
13、里的递增区间的正号递减区间递增且应填（2）由 f （ x）递增得易见，由 f （x）递减得当 k0 时，注意到而不会属于其它减区间，故知这里 a 的最大值为 . （3）（）令所给函数图象的对称中心为（， 0）；（）解法一（直接寻求）在中令则有名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点又在中令k0 得，令 k 1得所求距离为解法二（借助转化）：注意到所求距离等于函数的最小周期的一半，又
14、由得这一函数的最小正周期为T，故所求距离为 . （4）这里将这一函数图象向左平移m （m0 ）个单位，所得图象的函数解析式为令则由题设知f （x） 为偶函数 f（x） f （x）所求 m的最小值为 . （5）为使解题的眉目清晰，首先需要认定哪个论断必须作为条件，哪个论断只能作为结论，哪个论断既可作为条件，又可作为结论；一般地，独自决定图象形状的论断必须作为条件，既不能决定形状，也不能确定位置的论断只能作为结论. 在这里，必须作为条件，而只能作为结论.于是这里只需考察、与、这两种情形. （）考察、是否成立. 由得，故；又由得注意到 . 在、之下，易知此时、成立 . （）考察、是否成立. 由得，故
15、；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点又由得注意到 . 在、之下，易知此时、成立. 于是综合（）（）得正确的命题为、与、 . 点评： 对于（ 4）利用了如下认知：； . 对于（ 5），认定哪个论断必须作为条件，哪个论断必须作为结论是认知问题和简化解题过程的关键，请大家注意领悟和把握这一环节. 例 5、 已知的最小正周期为2，当时，f（ x）取得最大值2. （1）求 f （ x）
16、的表达式；（2）在闭区间上是否存在f （x）图象的对称轴？如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由. 分析： 出于利用已知条件以及便于考察f（x）的图象的对称轴这两方面的考虑，先将f（x）化为k 的形式，这是此类问题的解题的基础. 解：（1）去令，即则有由题意得又由知， 注意到这里A0且 B0，取辅助角，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点则由得（2）在中令解得 xk解不等式
17、注意到，故由得k5. 于是可知， 在闭区间上有且仅有一条对称轴，这一对称轴的方程为 . 点评： 对于最值，对称轴和对称中心等问题，f （x）一经化为k 的形式，解题便胜券在握. 例 6、 已知点的图象上 .若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（ 0，）上是增函数，且g（2） 0. 求当 gf（x）0 且 x0 ， 时，实数 a 的取值范围 . 分析： 由点 A、B都在函数的图象上得：，ba，c 1a. 此时，由 gf （x）0 且 x0 ， 解出 a 的范围，一方面需要利用g（x）的单调性脱去“ f ”，另一方面又要注意借助换元进行转化：化生为熟，化繁为简. 因此，下一步的首要工作是考察并利
18、用g（ x）的单调性 . 解： 由分析得定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（ 0，）上是增函数，且g（2） 0， g（x）在（， 0）上是增函数，且g（ 2）0由知，当x-2 或 0 x2时， g（x）0又设 . 则 h （t ）at （ 1a）， . gf （ x）0 且 x0 ， gh(t)0，且 . 由得，当时， h（t ）2 或 0h(t)2 注意到 h （t ） at （1a）由 h （t ） 2得 h （1） 2(a0) 或 h( )0), 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
19、 - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点由 0h(t)2得，解得 . 于是综上可知，所求a 的取值范围为 . 点评：在这里， 由到的转化， 是由“抽象”向“具体”的转化，此为解题关键环节.在下面的求解中，对0h(t)2亦可通过分类讨论来完成. 对于 h（t ） at （ 1a），0h(t)0且 h（t ）0 ，当 a0 时，h(t) 在上递增，由得， h(1)0 ，显然成立；当 a0（1）a10 ；当 a0 时，h （t ）显然满足1h(t)0 ，得1a0（2）h(t)0 时， h(t)在上递增，由得，h( )2；当
20、a0 时，h(t) 在上递减由得， h(1)2,显然满足条件；当 a0 时，h（t ） 1，显然满足条件. 因此由得于是综合（ 1）（ 2）知，由0h(t)2推出五、高考真题（一）选择题1、（湖北卷）若（）A. B. C. D. 分析：注意到我们对的熟悉，故考虑从认知的范围入手，去了解的范围 . 由，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点应选 C. 2、函数的部分图象如图，则（）
21、A. B. C. D. 分析：由图象得 . ，又 f(1)=1 ，注意到，应选 C. （二）、填空题1、（湖北卷）函数的最小正周期与最大值的和为。分析： 对于含有绝对值的三角函数的周期或值域，基本策略是化为分段函数，分段寻求周期或范围，而后综合结论. （1）注意到sin2x 的最小正周期，而 sinx 0 的解区间重复出现的最小正周期，而的最小公倍数为，故所求函数的最小正周期为 . （2）由分段函数知，y 的最大值为，于是由（ 1）（ 2）知应填. 2、（辽宁卷）是正实数，设 . 若对每个实数 a，的元素不超过两个，且有 a 使含 2 个元素， 则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -
22、 - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点的取值范围是。分析：注意到有 a 使含有两个元素，相邻两值之差注意到的元素不超过两个，相间的两个值之差由、得 . 点评：对于（ 1），在考察了各个分支中三角函数的最小正周期后，还要考察各分支中“不等式的解区间”重复出现的周期，二者结合才能得出正确结论. 对于（ 2），这里的决定于 f （x）在一个周期图象的左端点横坐标，由此便于认识相邻两个值之差的意义 . （三）解答题1、若函数的最大值
23、为2，试确定常数a 的值 . 分析：鉴于过去的经验，首先致力于将f （x）化为k 的形式，而后便会一路坦途 . 解：由已知得 . 点评：本题看似简单，但考察多种三角公式，亦能体现考生的基本能力. 2、 设函数 y f （x） 图象的一条对称轴是直线 . （1）求；（ 2）求函数yf （ x）的单调增区间；（3）证明直线5x2yc0 与名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点函数 y
24、 f（x）的图象不相切. 分析：对于（ 3），由于 f（x）为三角函数，故需要利用导数的几何意义来解决直线与图象的相切或不相切问题.其中，要证直线与（x）的图象不相切，只需证直线的斜率不属于yf （x）图象上点的切线斜率的取值集合. 解：（1） 为函数图象的对称轴，即又 . （2）由（ 1）知，当时， yf （x）递增，所求函数f （x）的增区间为 . （3）yf （x）图象上点的切线的斜率范围为 2，2. 而直线 5x2y c0，直线 5x 2yc 0 与函数的图象不相切 . 点评：有导数及其几何意义奠基，便可引出诸多不同直线与不同函数图象的相切或不相切问题 . 此题（ 3）的解题思路，值得
25、大家仔细领会与品悟. 3、已知函数是 R上的偶函数， 其图象关于点M（）对称，且在区间上是单调函数，求的值. 分析：在此类三角函数问题中，已知函数的周期可直接确定的值；已知函数图象关于某直线 （或某点） 对称，则只能导出关于的可能取值， 此时要进一步确定的值，还需要其它条件的辅助；而已知函数在某区间上单调的条件，一般只在利用函数图象对称性寻出的可能取值之后，用它来进行认定或筛选. 解：由 f （x）为偶函数得f （ x） f （x）（ xR）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
26、- - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点即又故有由 f （x）图象关于点M（）对称得令 x0 得而由此解得当 k0 时，此时当 k1 时，当 k2 时，故此时因此，综合以上讨论得或 . 所求，而或 . 点评：对于正弦函数yk 或余弦函数yk，在单调区间“完整”的一个周期T，恰是增减区间的长度各为；而在任何一个周期T 上，增区间（或减区间）的长度均不超过 . 因此，若区间的长度大于，则函数在区间上不会是单调函数. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -
27、- - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点4、设函数 f （x） xsinx （ xR）. （1）证明：，其中 k 为正整数 . （2）设（3）设 f（x）在（0，）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：分析：注意到正弦函数为f （x）的成员函数之一，试题中又指出f （x）的极值点，故需应用导数研究极值的方法与结论. 可见，解（ 2）（ 3），均需要从f （ x）切入 . 证明：（1）f （x） xsinx （xR）（2）令显然 cosx 0 不是的解，故由得x tanx ，即有，于是（3）设是的
28、一个正整数根，即，则由直线yx 与曲线y tanx 的位置关系知：对每一个，存在，使，注意到g（x） x tanx 在上是增函数，且g（x）在又 cosx 在内符号不变，（ x tanx ）cosx sinx xcosx 在与在内异号，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 名师总结优秀知识点所有满足的都是 f （x）的极值点 . 由题设为方程 x tanx 的全部正根 . 且，再注意到而1由得于是由、得，点评：在这里应注意对 （2）、 （3）中极值点的区别. 对于（2），只需满足即可；对于（ 3）中的不仅要满足，还需认定在点 x左右两边异号. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -