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1、名师精编优秀教案选修4-5 学案 2.1.3不等式的的证明(3)姓名学习目标：1. 理解并掌握反证法、换元法与放缩法; 2. 会利用反证法、换元法与放缩法证明不等式?知识情景：1. 不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时 )20.综合法和分析法30.反证法、换元法、放缩法2.综合法：从已知条件、不等式的性质、基本不等式等出发, 通过逻辑推理 , 推导出所要证明的结论 . 这种证明方法叫做综合法. 又叫由导法. 用综合法证明不等式的逻辑关系：12nABBBB3.分析法： 从要证的结论出发 , 逐步寻求使它成立的充分条件, 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已
2、证的定理、性质等 ), 从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执索的思考和证明方法 .用分析法证明不等式的逻辑关系：?新知建构： 1.反证法：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立. 例 1已知a + b + c 0 ，ab + bc + ca 0 ，abc 0 ，求证：a, b, c 0 .2.换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性.常用的换
3、元有三角换元有：10已知222ayx，可设，；20已知122yx，可设， (10r) ；30已知12222byax，可设，.例 2设实数,x y满足22(1)1xy，当0 xyc时，c的取值范围是（）.A21,).B(,21.C21,).D(,21例 3 已知221xy，求证：2211ayaxa3. 放缩法： “放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小由题目分析、多次尝试得出,要注意放缩的适度 . 常用的方法是：添加或舍去一些项，如：aa12，nnn)1(，将分子或分母放大（或缩小）如：2111(1)(1)n nnn n应用“糖水不等式” ： “若0ab，0m，则aambbm”利用基本不等
4、式，如：2lg3 lg5()lg4；利用函数的单调性利用函数的有界性：如：sinx1xR；12 () nBBBBA结步步寻求不等式已论成立的充分条件知名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案绝对值不等式：ababab；利用常用结论：如：122211kkkkkkk*,1kNk，122211kkkkkkk*,1kNk应用 贝努利不等式：2(1)(1)11.1 2nnn nxnxxxnx例 4
5、 当 n 2 时，求证：(1)log (1)lognnnn例 5求证：.332113211211111n例 6 若 a, b, c, dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa选修4-5练习2.1.3不等式的证明 (3) 姓名名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案1、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(, )2(, )1(fff中至少有一个不小于21.2、设 0 a, b
6、, c 0，且 x + y 2，则xy1和yx1中至少有一个小于2。5、已知122xy2，求证：1222xxyy36、设2( )13f xxx，1xa，求证：( )( )21f xf aa；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案7、求证：311112xxx8、求证.111bbaababa9、设n为大于 1 的自然数，求证.2121312111nnnn10、若n是自然数，求证.21312
7、1112222n名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案11、求证：223111112212nnn(n2)12、求证：1112121223nnn*nN名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精
8、编优秀教案参考答案 : 例 1 例 2 例 3 3.放缩法： “放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出 ,要注意放缩的适度。 常用的方法是：添加或舍去一些项，如：aa12，nnn)1(，22131242aa将分子或分母放大（或缩小）真分数的性质： “若0ab，0m，则aambbm”利用基本不等式，如：4lg16lg15lg)25lg3lg(5lg3log2；2)1()1(nnnn利用函数的单调性利用函数的有界性：如：sin x1xR；2xx14xR；20 xxR利用常用结论：、122211kkkkkkk*,1kNk，122211kkkkkkk*,1kNk、kkk
9、kk111) 1(112；111)1(112kkkkk（程度大）、)1111(21)1)(1(111122kkkkkk； （程度小）绝对值不等式：ababab；应用二项式定理. 4.构造法： 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式. 贝努利不等式例如，对于任何0 x和任何正整数n，由牛顿二项式定理可得.321)2)(1(21)1(1)1 (22nnxxnnnxnnnxx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：nxxn1)1(. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于1 的有理数的时候也成立。这
10、就是著名的 贝努利不等式。在今后的学习中,可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1x，则在1或0时，xx1)1 (，在10时，.1)1(xx例 4证： n 2 0) 1(log,0)1(lognnnn2222) 1(log2) 1(log) 1(log) 1(log) 1(lognnnnnnnnnn12log22nnn 2 时, 1) 1(log)1(lognnnn例 5证明：由,212221132111kk（k是大于 2 的自然数）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - -
11、- - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案得n32113211211111.3213211211121212121111132nnn例 6证：记 m =caddbdccacbbdbaaa, b, c, d R+ 1cbaddbadccacbabdcbaam2cdddccbabbaam1 m 41, (1 b)c 41, (1 c)a 41, 则三式相乘：ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a 641又 0 a, b, c 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。10 证明：.,4,3 ,2,111)1(112nkkkkkkn
12、nn) 1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n注意 ：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1 (qpqpqpffffff（ 2）（1） 、 （ 2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意 ：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议 ：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是
13、指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？2、 证：设 (1 a)b 41, (1 b)c 41, (1 c)a 41, 则三式相乘：ab (1 a)b?(1 b)c?(1 c)a 641又 0 a, b, c 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。10 证明：.,4 ,3,2,111)1(112nkkkkkknnn)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11nn=.212n注意 ：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -