《2022年不等式的证明比较法导学案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年不等式的证明比较法导学案 .pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载 2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名学习目标：1. 理解并掌握证明不等式的基本方法-比较法; 2. 了解琴生不等式的及其背景知识情景：1绝对值三角不等式：定理 1 如果,a bR, 那么|abab. 当且仅当时, 等号成立. 定理 2 如果, ,a b cR, 那么| |a ca bb c. 当且仅当时, 等号成立. 2. 含绝对值不等式的解法：设a为正数 , 则10.( )f xa; 20.( )f xa; 30.设0ba, 则( )af xb. 3实数大小必较法则：0baba0baba0baba案例学习：例 1 设ba，求证：)(2322babba.例 2 若实数1x
2、，求证：.)1 ()1( 32242xxxx例 3 已知,Rba求证.abbababa例 4 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度1v行走，另一半时间以速度2v行走；乙有一半路程以速度1v行走，另一半路程以速度2v行走. 如果12vv，问甲、乙两人谁先到达指定地点.例 5 设.1,0, 12)(2qppqxxf求证；对任意实数ba,，恒有).()()(qbpafbqfapf名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 -
3、 - - - - - - - - 学习必备欢迎下载“欲穷千里目 , 更上一层楼 . ” 10. 在例 5 中,0,10,0.pqpqpq特别地 , 令11,22pq, 则得()22f再结合函数的图象, 这数和形20.琴生在 1905 年给出了一个定义：设函数)(xf定义域为 , a b，如果12, , x xa b，都有()22f（1）则称)(xf为 , ab上的下凸函数 . 若把 (1)式的不等号反向，则称)(xf为 , a b上的函数.30. 其推广形式是：若函数)(xf的是 , a b上的下凸函数，则12, , nx xxa b，都有()fnn（2）当且仅当nxxx21时等号成立. 一般
4、称（2）式为琴生不等式 .40. 琴生不等式推广形式：设1,2121nnqqqRqqq，)(xf是 , a b上的下凸函数，则12, , nx xxa b 都有：1 122()nnf q xq xq x，当且仅当nxxx21时.若)(xf是上凹函数，则上述不等式反向.把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式.选修4-5练习 2.1.1不等式的的证明(1)比较法姓名1、比较下面各题中两个代数式值的大小：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2
5、 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 1）2x与12xx；（2）12xx与2) 1(x. 2、已知.1a求证：（ 1）; 122aa（2）.1122aa3、若0cba，求证.)(3cbacbaabccba4、已知 a0，比较121222aaaa与1122aaaa的大小5、已知函数yxxa有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0，a上是减函数，在a，)上是增函数（1）如果函数yxxb2（x0）的值域为6，)，求b的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
6、- - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 2）研究函数y2x2xc（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（ 3）对函数yxxa和y2x2xa（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xFnxx)1(2nxx)1(2（n是正整数）在区间21，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）6、已知函数1( )ln(1)(1)nf xaxx，其中*xN，a为常数 （ ）当2n时，求函数( )fx的极值；（）当1a时，证明：对任意的正整数n，当2n时，有(
7、)1f xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载参考答案 : 例 3 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明： 1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0ba0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2）商值比较法：设,0ba,0, 1baba.1)(baabbabababa故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本
8、、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商） 、变形、判断符号。例 4分析：设从出发地点至指定地点的路程是S， 甲、 乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt。要回答题目中的问题，只要比较21,tt的大小就可以了。解： 设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt，根据题意有Sntmt2211，222tnSmS，可得nmSt21，mnnmSt2)(2，从而mnnmSnmStt2)(221mnnmnmmnS)(2)(42mnnmnmS)(2)(2，其中nmS,都是正数，且nm。于是021tt，即21tt。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论
9、：如果nm，甲、乙两人谁先到达指定地点？例 5证明考虑（ 1）式两边的差。).()()(qbpafbqfapf 1)(2)12() 12(222qbpabqap. 14)1(2)1 (222qppqabbqqapp（2）,0, 1 pqqppqabpqbpqa422)2(22.0)(22bapq即（ 1）成立。6（本题满分18 分，本题共有3 个小题，第1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 9 分）已知函数yxxa有如下性质：如果常数a0，那么该函数在(0，a上是减函数，在a，)上是增函数（1）如果函数yxxb2（x 0）的值域为6，)，求b的值；（2）研究函数y2
10、x2xc（常数c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数yxxa和y2x2xa（常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(xFnxx)1(2nxx)1(2（n是正整数）在区间21，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 解 （1）函数 y=x+xb2(x0)的最小值是2b2，则 2b2=6, b=log29. (2) 设 0 x1x2,y2y1=)1)(2221212221212222xxcxxxcxxcx. 当4cx1y1, 函数 y=22xcx在4c,+ )上是增函数；当 0 x1x24c时 y20),其中
11、 n 是正整数 . 当 n 是奇数时 ,函数 y=nnxax在(0,na2上是减函数 ,在na2,+ ) 上是增函数 , 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载在(, na2上是增函数 , 在na2,0)上是减函数；当 n 是偶数时 ,函数 y=nnxax在(0,na2上是减函数 ,在na2,+ ) 上是增函数 , 在(, na2上是减函数 , 在na2,0)上是增函数；F(x)=nx
12、x)1(2+nxx)1(2=)1()1()1()1(323232321220nnnnrnrnrnnnnnnnxxCxxCxxCxxC因此 F(x) 在 21,1上是减函数 ,在1,2上是增函数所以，当x=21或 x=2 时， F(x)取得最大值 (29)n+(49)n当 x=1 时 F(x)取得最小值2n+1；6. 已知函数1( )ln(1),(1)nf xaxx其中 n N*, a 为常数 . （）当n=2 时，求函数f(x)的极值；（）当a=1 时，证明：对任意的正整数n, 当 x2 时，有 f(x)x-1. （）解：由已知得函数f(x)的定义域为 x|x1，当 n=2 时，21( )ln
13、(1),(1)f xaxx所以2/32(1)().(1)axfxx（1）当 a0 时，由 f(x)=0 得121xa1，221xa 1，此时f（ x）=123()()(1)a xxxxx. 当 x（ 1，x1）时， f（ x） 0,f(x)单调递减；当 x（ x1+）时， f（ x） 0, f(x)单调递增 . （2）当 a0 时， f（ x） 0 恒成立，所以f(x)无极值 . 综上所述， n=2 时，当 a 0 时， f(x)在21xa处取得极小值，极小值为22(1)(1 ln).2afaa当 a 0 时， f(x)无极值 . （）证法一：因为a=1,所以1( )ln(1).(1)nf x
14、xx当 n 为偶数时，令1( )1ln(1),(1)ng xxxx则 g（ x）=1+1112(1)11(1)nnnxnxxxx0（x2）. 所以当 x2,+时， g(x)单调递增，又g(2)=0, 因此1( )1ln(1)(1)ng xxxx g(2)=0 恒成立，所以 f(x)x-1 成立 . 当 n 为奇数时，要证( )f xx-1,由于1(1)nx0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令h(x)=x-1-ln( x-1), 则h（ x）=1-1211xxx0（x2）, 所以当 x 2， +时，( )1ln(1)h xxx单调递增，又h(2)=10，所以当 x2 时，恒有h(x) 0,
15、即 ln（x-1） x-1 命题成立 . 综上所述，结论成立. 证法二：当a=1 时，1( )ln(1).(1)nf xxx当 x 2 时，对任意的正整数n，恒有1(1)nx1，故只需证明1+ln( x-1) x-1. 令( )1(1 ln(1)2ln(1),2,h xxxxxx则12( )1,11xh xxx当 x 2 时，( )h x0，故 h(x)在2,上单调递增，因此当 x2 时， h(x)h(2)=0，即 1+ln(x-1) x-1 成立 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故当 x 2时，有1ln(1)(1)nxxx-1. 即 f（x） x-1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -