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1、43空间直角坐标系43.1空间直角坐标系43.2空间两点间的距离公式学习目标1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式知识链接在平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点坐标为，两点间的距离为.预习导引1空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面(2)右手直角坐标系在空间直
2、角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标3空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|.4空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段A
3、B的中点坐标是.要点一求空间中点的坐标例1建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标解以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图由题意知，AO2，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0,0)，B(0,1,0)，C(0，1,0)，A1(，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，1,3)规律方法1.题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性2求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者
4、通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标跟踪演练1画一个正方体ABCDA1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系(1)求各顶点的坐标；(2)求棱C1C中点的坐标；(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标解建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.(1)各顶点坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)(2)棱CC1的中点为M.(3)面AA1B1B对角线交点为N.要点二求空间中对称点的坐标
5、例2在空间直角坐标系中，点P(2,1,4)(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标解(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1，4)(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4)(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以P3(6，3，12)规律方法任意一点P(x，y，z)，关
6、于原点对称的点是P1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(x，y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，z)；关于yOz平面对称的点是P6(x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，y，z)求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆跟踪演练2求点A(1,2，1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标解如图所示，过点A作AM坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AMCM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1,2,1)过点A作ANx轴于点N
7、并延长到点B，使ANNB，则点A与B关于x轴对称且点B(1，2,1)点A(1,2，1)关于坐标平面xOy对称的点为C(1,2,1)；点A(1,2，1)关于x轴对称的点为B(1，2,1)(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)要点三空间中两点之间的距离例3已知ABC的三个顶点A(1,5,2)，B(2,3,4)，C(3,1,5)(1)求ABC中最短边的边长；(2)求AC边上中线的长度解(1)由空间两点间距离公式得|AB|3，|BC|，|AC|，ABC中最短边是|BC|，其长度为.(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.AC边上中线的长度为 .规律方法解决空间中的距离问题就是把点的坐
8、标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键跟踪演练3已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，1)(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|MQ|.解(1)|PQ|.(2)设M(0,0，z)由|MP|MQ|，得(1)202(z1)24232(1z)2，z6.M(0,0，6).1点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()Ay轴上 BxOy平面上CxOz平面上 D第一象限内答案C解析点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上2在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于xOy平面对称C关于坐标原点对
9、称 D以上都不对答案A解析点P(3,4,5)与Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称3已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB|2，则实数x的值是()A3或4 B6或2C3或4 D6或2答案D解析由题意得2解得x2或x6.4已知A(3,2，4)，B(5，2,2)，则线段AB中点的坐标为_答案(4,0，1)解析设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，中点坐标为(4,0，1)5在空间直角坐标系中，点A(1,0,1)与点B(2,1，1)间的距离为_答案解析|AB|.1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，
10、增强空间想象力2学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系3在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想一、基础达标1空间两点A，B的坐标分别为(x，y，z)，(x，y，z)，则A，B两点的位置关系是()A关于x轴对称 B关于y轴对称C关于z轴对称 D关于原点对称答案B解析由A，B两点的坐标可知关于y轴对称2在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A9 B. C5 D2
11、答案B解析由已知求得C1(0,2,3)，|AC1|.3在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为()A(4,0,6) B(4,7，6)C(4,0，6) D(4,7,0)答案C解析点M关于y轴的对称点是M(4,7，6)，点M在坐标平面xOz上的射影是(4,0，6)4. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为()A.a B.aCa D.a答案B解析由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，E，则|EF|a.5已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)(aR)则|
12、AB|的最小值是()A3 B3C2 D2答案B解析|AB|2(2a1)2(7a)2(25)25a210a595(a1)254.a1时，|AB|2的最小值为54.|AB|min3.6已知A(1，2,1)，B(2,2,2)，点P在z轴上，且|PA|PB|，则点P的坐标为_答案(0,0,3)解析设P(0,0，c)，由题意得解之得c3，点P的坐标为(0,0,3). 7. 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，点M在A1C1上，|MC1|2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离解根据已知条件可得|A1C1|2，由|MC1|2|A1M|，可得|A1M|
13、，如图所示，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1的中点可得N(1,2,2)|MN| .二、能力提升8ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A. B2 C. D3答案C解析BC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0,1)，|AM|.9在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A. B. C. D.答案A解析设P(x，y，z)，由题意可知x2y2z2.10点B是点A(2，3,5)关于xOy平面的对称点，则|AB|_.答案10解析点B的坐标为
14、B(2，3，5)，|AB|10.11. 如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，|DE|，|EF|.三、探究与创新12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，DEAC，垂足为E，求B
15、1E的长解如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)，在坐标平面xOy内，直线AC的方程为1，即2xy40，又DEAC，直线DE的方程为x2y0.由得E(，0)|B1E| ，即B1E的长为.13已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a)，求：(1)MN的长；(2)a为何值时，MN的长最小解(1)面ABCD面ABEF，面ABCD面ABEFAB，ABBE
16、，BE平面ABEF，BE面ABCD.AB、BC、BE两两垂直过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NGAB.CMBNa，CHMHBGGNa，以B为坐标原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M、N.|MN| (0a)(2)|MN|，故当a时，|MN|min，这时M、N恰好为AC1BF的中点下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜
17、语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小
18、树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了
19、。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是
20、我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”
21、的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持
22、人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓
23、不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，
24、农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生
25、）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？