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1、41圆的方程41.1圆的标准方程学习目标1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.能准确判断点与圆的位置关系知识链接1平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆2确定一个圆的基本要素是圆心和半径3平面上两点间的距离公式d.预习导引1圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径(2)圆的标准方程2点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|r，则点M在圆上；若
2、|CM|r，则点M在圆外；若|CM|r2；点M(m，n)在圆C内(ma)2(nb)2r2.要点一点与圆的位置关系例1已知点A(1,2)不在圆C：(xa)2(ya)22a2的内部，求实数a的取值范围解由题意，得点A在圆C上或圆C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范围是(0，)规律方法判断点P(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：当(x0a)2(y0b)2r2时，点在圆外跟踪演练1点P(m2,5)与圆x2y224的
3、位置关系是()A在圆外 B在圆内C在圆上 D不确定答案A解析把点P(m2,5)代入圆的方程x2y224得m42524，故点P在圆外要点二求圆的标准方程例2求过点A(1，1)，B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的标准方程解方法一设点C为圆心，点C在直线xy20上，可设点C的坐标为(a,2a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a1.圆心坐标为C(1,1)，半径长r|CA|2.故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.方法二由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB1，弦AB的垂直平分线的斜率为k1，AB的垂直平分线的方程为y01(x0)，即yx.则圆心是直线yx与xy20的交
4、点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为2，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.规律方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程跟踪演练2以两点A(3，1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A(x1)2(y2)210 B(x1)2(y2)2100C(x1)2(y2)25 D(x1)2(y2)225答案D解析点A(3，1)和B(5,5)的中点坐标为(1,2)，以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1,2)，半径r5.所求圆的方程为(x1)2(y2)225.要点三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,
5、0)，B(5,0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值解(1)由已知，得C(3,0)r2，所求方程为(x3)2y24.(2)圆心C到直线xy1的距离d2.P到直线的最大距离为22，最小距离为22.规律方法解答例3应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解跟踪演练3已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值解设P(x，y)，则d|PA|2
6、|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值为216234.最大值为236274.1圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是()A(2,3)，1 B(2，3)，3C(2,3)， D(2，3)，答案D解析由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，3)，半径为.2以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()Ax2y22 Bx2y24C(x2)2(y2)28 Dx2y2答案B解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2y24.3若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A第一象限 B第二象限C第三象限
7、D第四象限答案D解析(a，b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a0，即a0，b0，再由各象限内点的坐标的性质得解4已知两圆C1：(x5)2(y3)29和C2：(x2)2(y1)25，则两圆圆心间的距离为_答案5解析C1圆心为(5,3)，C2圆心为(2，1)，则d5.5若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_答案x2(y1)21解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何
8、性质解题可以化繁为简，提高解题效率2讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷一、基础达标1圆心为(1，2)，半径为3的圆的方程是()A(x1)2(y2)29B(x1)2(y2)23C(x1)2(y2)23D(x1)2(y2)29答案D解析由题意可知，圆的方程为(x1)2(y2)29，故选D.2已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30答案D解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以
9、直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.3与圆(x3)2(y2)24关于直线x1对称的圆的方程为()A(x5)2(y2)24B(x3)2(y2)24C(x5)2(y2)24D(x3)2y24答案A解析已知圆的圆心(3，2)关于直线x1的对称点为(5，2)，所求圆的方程为(x5)2(y2)24.4若点(4a1,3a2)不在圆(x1)2(y2)225的外部，则a的取值范围是()Aa B1a1Ca D1a1答案D解析由已知，得(4a)2(3a)225.a21，|a|1，即1a1.5圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为_答案x2(y2)21解析设圆心(0，b)，设
10、圆的方程为(x0)2(yb)21，把(1,2)代入得12(2b)21，b2.圆的方程为x2(y2)21.6已知点P(x，y)在圆x2y21上，则的最大值为_答案1解析的几何意义是圆上的点P(x，y)到点(1,1)的距离，因此最大值为1.7已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程解(1)PQ的方程为xy10，PQ中点M，kPQ1，所以圆心所在的直线方程为yx.(2)由条件设圆的方程为：(xa)2(yb)21.由圆过P，Q点得：解得或所以圆C方程为：x2y21或(x1)2(y1)21.二、能力提升8已知一圆的圆心为点A(2
11、，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A(x2)2(y3)213 B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252 D(x2)2(y3)252答案B解析如图，结合圆的性质可知，圆的半径r.故所求圆的方程为(x2)2(y3)213.9若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值为()A2 B1 C. D.答案B解析由几何意义可知最小值为141.10已知实数x，y满足y，则t的取值范围是_答案t或t解析y表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(1，3)连线的斜率如图：A(1，3)，B(3,0)，C(3,0)，则kAB，kAC，t或t.11平面直角坐标
12、系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？解能设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(xa)2(yb)2r2.将A，B，C三点的坐标分别代入有解得圆的方程为(x1)2(y3)25.将D(1,2)代入上式圆的方程，得(11)2(23)2415，即D点坐标适合此圆的方程故A，B，C，D四点在同一个圆上三、探究与创新12求圆(x)2(y1)2关于直线xy10对称的圆的方程解圆(x)2(y1)2的圆心为M(，1)设所求圆的圆心为(m，n)，它与(，1)关于直线xy10对称，所求圆的圆心坐标为(2，)，半径r.对称圆的方程是(x2
13、)2(y)2.13已知点A(2，2)，B(2,6)，C(4，2)，点P在圆x2y24上运动，求|PA|2|PB|2|PC|2的最值解设P(x，y)，则x2y24.|PA|2|PB|2|PC|2(x2)2(y2)2(x2)2(y6)2(x4)2(y2)23(x2y2)4y68804y.2y2，72|PA|2|PB|2|PC|288.即|PA|2|PB|2|PC|2的最大值为88，最小值为72.下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿
14、意吗？”大家回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚
15、，煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了
16、我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有
17、关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？齐：主动关好。小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？主持人：可以。小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。小记者：请这位同学谈谈好吗？答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个
18、人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！主持人：你们还有发言的吗？答：有。生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）同学们的笑声不断。主持人：水伯伯，您这是干什么呢？水伯伯：因为
19、我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！4.主持人：大家欢迎老师讲话！同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。 6.活动效果： 此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。活动过程：1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家
20、回答：“愿意！”主持人口述谜语：“双手抓不起，一刀劈不开，煮饭和洗衣，都要请它来。”主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”甲：如果没有水，我们人类就无法生存。小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。主持人：下面请听快板水的用处真叫大竹板一敲来说话，水的用处真叫大；洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，煮饭洗菜又
21、沏茶，生活处处离不开它。栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；采煤发电要靠它，京城美化更要它。主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？（1）（生）：我要节约用水，保护水源。（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个
22、缺水城市，我们再不能浪费水了。（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？主持人：可以，大家欢迎！请看小品这又不是我家的大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”旁白：“那又是谁家的呢？”主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？