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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数重点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，抛物线经过点，对称轴l如图所示，则下列结论：；，其中所有正确的结论是（ ）ABCD2、抛物线y2（x+1）
2、2不经过的象限是（）A第一、二象限B第二、三象限C第三、四象限D第一、四象限3、已知二次函数中的与的部分对应值如下表所示012131根据表中的信息，给出下列四个结论：抛物线的对称轴是直线；抛物线的顶点坐标是；当时，的值为；若点，点两个点都在抛物线上，则其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个4、将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）ABCD5、已知：二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，下列结论中：abc0；2ab0；abc0；当x1时，y随x的增大而增大；a1，其中正确的项是（ ）ABCD6、将二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，
3、再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是（ ）ABCD7、抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：；若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD8、二次函数的图象开口（ ）A向下B向上C向左D向右9、下列各式中，是的二次函数的是（ ）ABCD10、如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线结合图象分析下列结论：；一元二次方程的两根分别为，；若为方程的两个根，则且其中正确的结论有（ ）个A2B3C4D5第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、抛物线的顶点坐标是_，图象的开口方向是_2、如果抛物线
4、（其中a、b、c是常数，且a0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a_0（填“”或“”）3、抛物线的顶点坐标是_4、二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_5、二次函数，自变量x与函数y的对应值如表：x0123y500512则当时，y满足的范围是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c0的解集；（3）求y的取值范围2、已知抛物线yx2+mx+m与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，），点P为抛物线在直线A
5、C上方图象上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）求PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围3、对于二次函数，请回答下列问题：（1）求出此函数图像的顶点坐标；（2）当时，请直接写出的取值范围4、已知抛物线经过点M（1，1），N（2，5）（1）求，的值；（2）若P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且，求的值5、已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线yax2在第一象限
6、内交于点P，又AOP的面积为（1）求直线AB的表达式；（2）求a的值-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据图像可知二次函数对称轴，可得；有；当时，；当时，；当时，；进而得出结果【详解】解：由图像可知，；故错误当时，；故正确当时，；故正确当时，；故正确故选D【点睛】本题考察了二次函数解题的关键在于求出系数的取值范围，以及一些特殊取值时函数值的大小2、C【分析】根据顶点式写出顶点坐标，开口向上，进而即可求得的答案【详解】解： y2（x+1）2，开口向上，顶点坐标为该函数不经过第三、四象限如图，故选C【点睛】本题考查了图象的性质，根据解析式求得开口方向和顶点坐标是解题的关键3、C【分析】结合题意，
7、根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案【详解】根据题意，得： 抛物线的对称轴是直线，故正确；当时，抛物线取最大值 抛物线的顶点坐标是，即正确；当时，的值为，故错误；，抛物线的对称轴是直线时，y随x的增大而增大 ，即正确故选：C【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解4、D【分析】根据抛物线平移的性质计算即可【详解】抛物线的顶点坐标为（0，0）又向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度此时顶点坐标为（5，-3）移动后抛物线方程为故选：D【点睛
8、】本题考查了抛物线的移动，抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关抛物线的移动主要看顶点的移动，的顶点是（0，0），抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移5、B【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】解：由二次函数的图象开口向上可得a0，由抛物线与y轴交于x轴下方可得c0，由对称轴0x1，得出b0，故正确；对称轴0x1，-1，a0，-b0，故错误；把x=-1时代入y=ax2+bx+c=a-b+c，结合图象可以
9、得出y0，即a-b+c0，故错误；由图象得，当x1时，y随x的增大而增大，故正确；由图象知，函数图象过（-1，2），（1，0）两点，代入解析式得， 得， ，故正确正确的项是故选：B【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，然后根据图象判断其值6、D【分析】根据二次函数的平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行排除选项【详解】解：由二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度，得到的函数表达式是；故选D【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键7
10、、B【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对进行判断【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，故正确；抛物线的顶点为，且经过点，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），故错误；抛物线的对称轴为直线x=2，即：b=-4a，c=b-a=-5a，顶点，即：，m=-9a，即：，故正确；若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，此抛物线经过点，一定是方程的一个根，故错误故选B【点睛】本题考查了二次函
11、数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置8、A【分析】根据二次函数的二次项系数的符号即可判断开口方向【详解】解：二次函数，二次函数的图象开口向下故选A【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，掌握二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下是解题的关键9、C【分析】根据二次函数的定义依次判断【详解】解：A、不是二次函
12、数，不符合题意；B、，不是二次函数，不符合题意；C、，是二次函数，符合题意；D、，不是二次函数，不符合题意；故选：C【点睛】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点10、C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可【详解】解：抛物线开口向下，因此a0，对称轴为x=10，因此a、b异号，所以b0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c0，所以abc0，故正确；当x=2时，y=4a+2b+c0，故正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x=1因此另一个交点坐标为（-1，0），所以a-b+c=0，
13、又x=-=1，有2a+b=0，所以3a+c=0，而a0，c0，因此2a+c0，故不正确；由cx2+bx+a=0可得方程的解为和，抛物线与x轴交点（3，0），（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3，x2=-1；， 当时， 3a+c=0，c=-3a，cx2+bx+a=0的两根，x2=-1，故正确；抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点（3，0），（-1，0），且a0，因此当y=-2时，相应的x的值大于3，或者小于-1，即m-1，n3，故正确；综上所述，正确的结论有：共4个，故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键二、
14、填空题1、（1，5） 开口向上 【分析】由题意根据二次函数y=a（x-h）2+k的图象的开口方向由a决定，a0时开口向上；a0时开口向下以及对称轴为直线x=h和顶点坐标（h，k），进行分析即可【详解】解：a=20，抛物线开口向上，顶点坐标（h，k），顶点坐标（1，5）.故答案为：（1，5），开口向上.【点睛】本题考查二次函数的性质，注意掌握抛物线顶点式y=a（x-h）2+k（）与顶点坐标（h，k）2、【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，即可得到答案【详解】解：y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，函数图象的开口向上，a0，故答案为：【点睛】本题考查二次函
15、数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答3、（1，2）【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案【详解】是抛物线的顶点式，顶点坐标为（1，2）故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法解题的关键是熟知顶点式的特点4、【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，可得，列出不等式求解即可【详解】解：二次函数的图象与x轴有两个交点，所以，解得，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与x轴有两个交点，可得5、【分析】运用待定系数法求出二次函数解析式，判断图象开口方向，求出对应的函数值，从而可判断出y的取值范
16、围【详解】解：取（-3，0），（-2，-3），（0，-3）代入，得 解得， 函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为（-1，-4）当时， 当时，y满足的范围是故答案为：【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解数形结合是解题的关键三、解答题1、（1）5和1；（2）5x1；（3）y9【分析】（1）根据二次函数的图像与轴的交点，即可求解；（2）根据二次函数的图像，即可求解；（3）求得二次函数的解析式，根据二次函数的性质求得最大值，即可求解【详解】解：（1）如图所示：方程ax2+bx+c=0
17、的两个根为：5和1；（2）如图所示：不等式ax2+bx+c0的解集为：；（3）抛物线与坐标轴分别交于点A（5，0），B（1，0），C（0，5），设抛物线解析式为：，抛物线过点C（0，5），解得：，抛物线解析式为：，当时，y的取值范围为：【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解2、（1）；（2）当时，取得的最大值，最大值为；（3）或【分析】（1）将点C（0，）代入抛物线解析式直接求解即可；（2）先求出A点坐标，以及直线AC的解析式，再过P点作PQx轴，交AC于Q点，通过设P、Q两点的坐标，建立出关于的二次
18、函数表达式，然后结合二次函数的性质求出其最值，并求出此时对应的P点坐标即可；（3）先根据题意画出基本图像G，然后结合平移的性质确定B点的运动轨迹，以及其直线解析式，根据题目要求和平移的性质可以确定点B平移至恰好在PC上时，以及图象G与直线AC的交点R，经过平移至C点时，满足要求，应注意，当A点平移后经过C点时，此时也可满足图象M与PC仅有一个交点，即为C点，此情况应单独求解【详解】解：（1）将点C（0，）代入抛物线解析式得：，解得：，抛物线解析式为：；（2）抛物线与x轴交于A、B两点，令，解得：，A、B坐标分别为：，设直线AC的解析式为：，将和代入得：，解得：，直线AC的解析式为：，如图所示，
19、过P点作PQx轴，交AC于Q点，P点在位于直线AC上方的抛物线上，设，则，其中，抛物线开口向下，当时，取得的最大值，最大值为，此时，将代入抛物线解析式得：，当时，取得的最大值，最大值为；（3）如图所示，抛物线yx2+mx+m在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G由（1）可知，原抛物线顶点坐标为，沿x轴向下翻折后，图象G的顶点坐标为，图象G的解析式为：；图象G沿着直线AC平移，作直线BSAC，交PC于S点，则随着平移过程，点B在直线BS上运动，分如下情况讨论：当图象G沿直线AC平移至B点恰好经过S点时，如图中M1所示，此时，平移后的图象M恰好与线段PC有一个交点，即为S点，
20、由（2）知，以及直线AC的解析式为，设直线BS的解析式为：，将代入得：，直线BS的解析式为：；设直线PC的解析式为：，将，代入得：，解得：，直线PC的解析式为：；联立，解得：，即：S点的坐标为，此时点平移至，等同于向左平移个单位，向上平移个单位，即：当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一个交点时，可由原图像G向左平移个单位，向上平移个单位，原图像G的顶点坐标为：，平移后图象M1的顶点的横坐标；当图象G沿直线AC平移至恰好经过C点时，如图中M2所示，设图象G与直线AC的交点为R，联立，解得：或，点R的坐标为：，由平移至，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，当平移后的图象M与线段PC恰好仅有一
21、个交点时，可由原图像G向右平移2个单位，向下平移1各单位，原图像G的顶点坐标为：，平移后图象M2的顶点的横坐标；当图象G在M1和M2之间平移时，均能满足与线段PC有且仅有一个交点，此时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：；当图象G沿直线AC平移至A点恰好经过C点时，如图中M3所示，此时，由平移至，等同于向右平移5个单位，向下平移个单位，即：原图像G向右平移5个单位，向下平移个单位，得到图象M3，原图像G的顶点坐标为：，平移后图象M3的顶点的横坐标；综上所述，当新的图象M与线段PC只有一个交点时，图象M的顶点横坐标n的取值范围为：或【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括图象的翻折变换和平移变换等
22、，掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键3、（1）（-1，-4）；（2）【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式求解即可；（2）先求出抛物线对称轴为直线，推出当x-1时，y随x增大而增大，当x-1时，y随x增大而增大，当x-1时，y随x增大而减小，抛物线的最小值为-4，当时，当时，当2x2时，【点睛】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，二次函数的函数值取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识4、（1）（2）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）判断出点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，利用二次函数的对称性，即可求解（1）解：由抛物线经过
23、M（1，1），N（2，5）两点，得 ，解这个方程组，得；（2）解： P（4，），Q（，）是抛物线上不同的两点，且 ， 点P（4，），Q（，）是抛物线上的对称点，抛物线的对称轴为，【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确的理解题意是解题的关键5、（1）；（2）【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）先根据面积求得点的纵坐标，再代入直线的解析式可得其横坐标，然后将点的坐标代入二次函数即可得【详解】解：（1）设直线的解析式为，将点代入得，解得，故直线的表达式为；（2）如图，过点作轴于点，设点的坐标为，则，的面积为，解得，将点代入得：，解得，则，将点代入得：，解得，故的值为【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键