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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数，当时，总有，有如下几个结论：当时，；当时，c的最大值为0；当时，y可以取到的最大值为7上述结论中，
2、所有正确结论的序号是（ ）ABCD2、若点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y = a (x+1)2 + c（a 0）上，且m的值不可能是（ ）A5B3C- 3D- 53、已知二次函数yax2+bx+c的图象如图，对称轴为直线x1，则以下结论正确的是（）Aac0Bc5b0C2ab0D当a1时，抛物线的顶点坐标为(1，5)4、抛物线y（x2）23的顶点坐标是（ ）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）5、抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：；若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD6、已知二次
3、函数yax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c0的解为（）Ax13，x20Bx13，x21Cx13，x21Dx13，x217、如图，抛物线的对称轴是直线下列结论：；其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个8、二次函数y2（x2）24的最小值为（ ）A2B2C4D49、二次函数的图象如图所示，则方程的根是（ ）ABCD10、已知二次函数y（xm）2m+1（m为常数）二次函数图象的顶点始终在直线yx+1上 当x2时，y随x的增大而增大，则m=2点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1x2，x1+x22m，则y1y2 其中，正确结论的个数
4、是（ ）A0个B1个C2个D3个第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若二次函数配方后为，则b_， k_2、某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为_元3、在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是_4、已知二次函数y3（x5）2，当x分别取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，则当x时，函数值为 _5、点A（-1，y1），B（4，y2）是二次函数y（x1）2图象上的两个点，则y1_y2（填“”，“”或“”）三、解
5、答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知RtABC中，BAC30，C90，A点坐标为(1，0)，B点坐标为(3，0)，抛物线y1的顶点记为Q，且经过ABC的三个顶点A、B、C（点A在点B左侧，点C在x轴下方）抛物线y2也交x轴于点A、B，其顶点为P（1）求C点的坐标和抛物线y1的顶点Q的坐标（2）当BP+CP的值最小时，求抛物线y2的解析式（3）设点M是抛物线y1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧若PQM是与ABC相似的三角形，求抛物线y2的顶点P的坐标2、疫情从未远去，据云南省卫健委通报，连续天，云南省的本土日新增确诊病例均超过例，从月日到月日，短短一周时间，本轮疫情中的本土确
6、诊病例累计已达例，为了抗击“新冠”疫情后期输入，我省的医疗物资供给正常，某药店销售每瓶进价为元的消毒液，市场调查发现，每天的销售量瓶与每瓶的售价元之间满足如图所示的函数关系（1）求与之间的函数关系式；（2）政府部门规定每瓶消毒液售价不得超过元，当每瓶的销售单价定为多少元时，药店可获得最大利润？最大利润是多少？3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c，与y轴交于点A，与x轴交于点E、B且点A(0，5)，B(5，0)，点P为抛物线上的一动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，若点P在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D，连接PA，PC，当S
7、四边形APCD时，求点P坐标；（3）设抛物线的对称轴与AB交于点M，点Q在直线AB上，当以点M、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点Q的坐标4、某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶（1）当每瓶售价为11元时，日均销售量为 瓶；（2）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？（3）当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？5、在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线（1）用含a的式子表示b；（2）求抛物线的顶点坐标；（3），是抛物线上两点，记抛物
8、线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若存在m，使得，直接写出a的取值范围-参考答案-一、单选题1、B【分析】当时，根据不等式的性质求解即可证明；当时，二次函数的对称轴为：，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别利用二次函数的的最值问题讨论证明即可得；当，时，分别求出相应的y的值，然后将时，y的值变形为：，将各个不等式代入即可得证【详解】解：当时， ，即，正确；当时，二次函数的对称轴为：，当时，即时，函数在处取得最小值，即，函数在处取得最大值，即，二者矛盾，这种情况不存在；当时，即时，函数在处取得最小值，即，当时，即时，时，；时，不符合题意，舍
9、去；当时，即时，时，；时，不符合题意，舍去；，当时，即时，函数在处取得最小值，即，函数在处取得最大值，即，二者矛盾，这种情况不存在；综上可得：；故错误；当时，且；当时，且；当时，且；当时，当时，y可以取到的最大值为7；正确；故选：B【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键2、C【分析】根据点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线（a 0）上，求出函数值，利用值之差得出，根据a 0可得得出，根据得出即可【详解】解：点A（1，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线（a 0）上，a 0，m可以取5，3，-5，m的值不可能是-3故选择
10、C【点睛】本题考查抛物线上点的特征，函数值，自变量范围，掌握抛物线上点的特征，函数值，自变量范围是解题关键3、B【分析】根据图象可判断a和c的符号，即可判断A；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，即可得出，再根据抛物线对称轴为直线x1，即，且可判断出，通过整理可得出，即可判断B；由，即可判断C；由，可求出b、c的值，即得出抛物线解析式，再变为顶点式，即可判断D【详解】解：根据图象可知，该二次函数开口向下，该二次函数与y轴交点在x轴上方，故A选项错误，不符合题意；该抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，对称轴为直线x1，即，即，故B选项正确，符合题意；，故C选项错误，不符合题意；当时，
11、即 ，解得：，该二次函数解析式为，改为顶点式为，抛物线顶点坐标为(1，4)，故D选项错误，不符合题意；故选B【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键4、B【分析】由抛物线的顶点式y（xh）2k直接看出顶点坐标是（h，k）【详解】解：抛物线为y（x2）23，顶点坐标是（2，3）故选：B【点睛】此题主要考查二次函数顶点式，解题的关键是熟知抛物线的顶点式y（xh）2k的顶点坐标是（h，k）5、B【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对进行判断；由抛
12、物线的顶点坐标以及对称轴可对进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对进行判断【详解】解：抛物线开口向下，a0，抛物线与y轴交于正半轴，c0，故正确；抛物线的顶点为，且经过点，抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），故错误；抛物线的对称轴为直线x=2，即：b=-4a，c=b-a=-5a，顶点，即：，m=-9a，即：，故正确；若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，此抛物线经过点，一定是方程的一个根，故错误故选B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向
13、下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置6、D【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根即为二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的交点的横坐标【详解】解：根据图象知，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的一个交点是（-3，0），对称轴是直线x=-1设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）则=-1，解得，x=1，即该抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根为x1=-3，x2=1
14、故选：D【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点解题时，注意抛物线y=ax2+bx+c（a0）与关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）间的转换7、C【分析】根据函数图象确定a、b、c的正负，即可确定的正误；根据对称轴确定b和2a的关系，进而确定的正误；根据函数图象确定x=-2的函数值的正负，然后代入抛物线的解析式即可确定的正误；当x=-1时，可确定a-b+c0，当x=1时，函数值小于0,即a+b+c0，可判断的正误；当x=-1时，y有最大值，然后与x=m时的函数值，列不等式化简即可【详解】解：有抛物线开口方向向下，与y轴相交正半轴a0，c0抛物线的对称轴为x=-1 ，即b=2a0，故正确
15、；b=2ab-2a=0，故错误；如图：抛物线的对称轴为x=-1，当x=0时，函数值大于0当x=-2时，函数值大于0,4a-2b+c0，即4a+c2b，故错误；由图象可知，抛物线的对称轴为x=-1，此时函数有最大值且函数值大于0当x=-1时，函数值大于0,即a-b+c0当x=1时，函数值小于0,当x=1时，函数值小于0,即a+b+c0（a+c）2-b2=（a-b+c）（a+b+c）0，即正确；当x=-1时，函数有最大值y=a-b+c当x=m时，函数值为y=am2+bm+ca-b+cam2+bm+c，即，故正确故选C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的性质，灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键
16、8、C【分析】对于二次函数 当 函数图象的开口向上，函数有最小值，当时，最小值为 根据性质直接可得答案.【详解】解：由二次函数y2（x2）24可得： 函数图象的开口向上，函数有最小值，当时， 故选C【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上，函数有最小值及求解最小值是解本题的关键.9、C【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标即可求得【详解】解：抛物线y=x2-2x-3与x轴交于（-1，0）和（3，0），方程x2-2x-3=0的两个根为x1=-1，x2=3故选：C【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数的图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键10、B【分析】
17、由顶点坐标（m，-m+1），可得x=m，y=-m+1，即可证明顶点在直线y=-x+1上；根据二次函数的性质，当时，y随x的增大而增大，可知；由，根据已知可以判断，即可判断【详解】解：证明： 图象的顶点为（m，-m+1），设顶点坐标为（x，y），则x=m，y=-m+1，y=-x+1，即顶点始终在直线y=-x+1上， 正确；，对称轴，当时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而增大， 不正确； 与点 在函数图象上，x1x2，x1+x22m， 不正确故选：B【点睛】本题考查二次函数图像和性质，函数值大小比较等，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系及做差法比较大小二、填空题1、-2 3 【分析】
18、先把顶点式化为一般式得到yx22x1k，然后把两个一般式比较可得到b2，1k4，由此即可得到答案【详解】解：y（x1）2kx22x1k，b2，1k4，解得k3，2、2【分析】知的最大值在时取得，值为【详解】解：根据函数图像性质可知在时，最大且取值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题解题的关键将二次函数化成顶点式3、【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：y=4-(2-2x)=-4x2+8x（0x1），故答案为：【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的
19、面积-小正方形的面积得出是解题关键4、【分析】根据解析式求得顶点坐标，进而根据题意即可求得答案【详解】解：二次函数y3（x5）2的顶点坐标为，对称轴为x分别取x1，x2（x1x2）时，函数值相等，对称轴当x时，函数值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，求得定点坐标是解题的关键5、【分析】根据二次函数y（x1）2的对称轴为，则时的函数值和的函数值相等，进而根据抛物线开口朝上，在对称轴的右侧随的增大而增大即可判断【详解】解：二次函数y（x1）2的对称轴为，时的函数值和的函数值相等，在对称轴的右侧随的增大而增大故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质
20、是解题的关键三、解答题1、（1）(2，)，(1，)；（2）y2x2x；（3）(1，)或(1，0)或(1，)或(1，)【分析】（1）利用30角的直角三角形三边关系求得点C，再用待定系数法求抛物线y1的解析式，从而得到y1的顶点坐标；（2）求直线AC的解析式，结合y2的图象的对称性求得x1时的点P，最后用待定系数法求y2的解析式；（3）分类讨论：PMQ90时，（i）PQM30，（ii）MPQ30；MPQ90时，（i）PQM30，（ii）PMQ30通过解直角三角形，函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形的性质求得相关线段的长度，列出方程，通过解方程求得答案即可【详解】解：（1）BAC30，C90，A（
21、1，0），B（3，0），AC2，yC，C点的坐标为（2，），抛物线y1的图象经过点A、B、C，设抛物线y1的方程为y1a（x+1）（x3），则3a，a，y1（x+1）（x3）（x1）2，顶点Q的坐标是(1，)；（2）抛物线y1与抛物线y2与x轴交点相同，抛物线y2的对称轴为x1点A与点B关于直线x1对称，当BP+CP的值最小时，P是AC与对称轴的交点设直线AC的解析式为：ykx+b，则，解得直线AC的解析式为：yx点P坐标为（1，），设y2m（x+1）（x3），则4m，m，抛物线y2的解析式为：y2（x+1）（x3）x2x；（3）点M在抛物线y1的对称轴右侧图象上，点Q不是直角顶点设点M（a，
22、a2a），点M到对称轴的距离为a1，yMyQa2a（）a2a+，PQM是与ABC相似的三角形，ACB90当PMQ90时，（i）当PQM30，QPM60时，yMyQ（a1），yPyM（a1），a2a+（a1），解得：a1（舍）或a4，M（4，），yPyM（41）点P的纵坐标为：+P（1，）；（ii）当PQM60，QPM30时，（yMyQ）a1，yPyM（a1），（a2a+）a1，解得：a1（舍）或a2M（2，），yPyM（21）点P的纵坐标为+0P（1，0）；当MPQ90时，（i）当PQM30时，yMyQ（a1），a2a+（a1），解得：a1（舍）或a4M（4，）P（1，）；（ii）当PQM60
23、时，（yMyQ）a1，（a2a）a1解得：a1（舍）或a2M（2，）P（1，）综上所述：点P的坐标为(1，)或(1，0)或(1，)或(1，)【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、含30角的直角三角形的三边关系和两点之间线段最短和相似三角形的性质解题的关键是利用相似三角形的性质结合30角的直角三角形三边关系进行分类讨论2、（1）；（2）当每瓶的销售单价定为元时，药店可获得最大利润，最大利润是元【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求解即可；（2）根据利润单盒利润销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值【详解】解：（1）设与之间的函数关系式
24、为，由题意得：，解得：，与之间的函数关系式为；（2）设每天利润为元，则 ，当时，随的增大而增大，又，当时，最大，最大值为元，当每瓶的销售单价定为元时，药店可获得最大利润，最大利润是元【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意列出函数关系式3、（1）yx2+4x+5（2）P(2，9)或(3，8)（3）Q(1，6)或(0，5)或(9，4)【分析】（1）由点A，B坐标用待定系数法可求出抛物线解析式；（2）设点P的横坐标为t，则P（t，t2+4t+5），D（t，t+5），求出S四边形APCD2t2+10t，SAOE，由题意得出方程求出t即可得出答案；（3）分EM为边和为对
25、角线两种情况进行求解：当EM为平行四边形的边时，由EMPQ建立方程求解；当EM为对角线时，由EM与PQ互相平分建立方程组求解即可（1）将点A（0，5），B（5，0）分别代入yx2+bx+c得，二次函数的解析式为yx2+4x+5；（2）ACx轴，点A（0，5），当y5时，x2+4x+55，x10，x24，C（4，5），AC4，设直线AB的解析式为ymx+n，将A（0，5），B（5，0）分别代入ymx+n得，解得，直线AB的解析式为yx+5；设点P的横坐标为t，则P（t，t2+4t+5），D（t，t+5），PD（t2+4t+5）（t+5）t2+5t，AC4，S四边形APCDPD（t2+5t）2t2
26、+10t，函数yx2+4x+5，当y0时，有x2+4x+50，x11，x25，E（1，0），OE1，又OA5，S四边形APCDSAOE，12，解得：t12，t23，P(2，9)或(3，8)；（3）抛物线的对称轴与yx+5交于点M，M（2，3），设Q（a，a+5），P（m，m2+4m+5），若EMPQ，四边形EMPQ为平行四边形，解得或，Q（1，6）或（0，5）；若EMPQ，四边形EMQP为平行四边形，同理求出Q（9，4）；若EM为对角线，则，解得（不合题意舍去）或(不合题意舍去)，综合以上可得出点Q的坐标为Q(1，6)或(0，5)或(9，4)【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，
27、平行四边形的性质，四边形面积的求法，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点Q的坐标时，分类讨论是解本题的难点4、（1）140；（2）每瓶售价11或13元，所得日均总利润为700元；（3）每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元【分析】（1）根据日均销售量为计算可得；（2）根据“总利润=每瓶利润日均销售量”列方程求解可得；（3）根据（2）中相等关系列出函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质解答即可【详解】解：（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为：（瓶）；（2）解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元根据题意，列方程：， 解得：x111，x213答：每瓶售价11或13元时
28、，所得日均总利润为700元；（3）解：设每瓶售价m元时，所得日均总利润为y元20m2480m216020(m12) 2720，200，当m12时，y有最大值720即每瓶售价12元时，所得日均总利润最大为720元【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程和函数解析式5、（1）；（2）（1，-5）；（3）当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，；【分析】（1）根据抛物线对称轴公式进行求解即可；（2）把抛物线化成顶点式即可得到答案；（3）分当和当两种情况，然后讨论抛物线顶点与图像G的位置关系
29、，由此求解即可【详解】解：（1）抛物线的对称轴是直线，；（2），抛物线解析式为，抛物线顶点坐标为（1，-5）；（3）当，即时，图像G上纵坐标的最小值为-5，当时，当时，；当时，图像G上纵坐标的最小值为，最大值为，；当时，图像G上纵坐标的最大值为，最小值为，；当，即时，图像G上纵坐标的最大值为-5，当时，当时，；当时，图像G上纵坐标的最大值为，最小值为，；当时，图像G上纵坐标的最小值为，最大值为，；综上所述，当抛物线开口向上，时，；当抛物线开口向上，或时，；当抛物线开口向下，时，；当抛物线开口向下，或时，；【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识