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1、 2.3 数学归纳法新课标新课标人教版人教版 选修选修2-2 第二章第二章 推理与证明推理与证明1、掌握数学归纳法证题的两个步骤;2、初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式,不等式及整除问题等) 一、情境引入1、史料情境费马 费马费马(1601-1665)法国伟大的业余数学法国伟大的业余数学家。家。03 5 17 257 65537nnF、1、2、3、4，、 、 、，形如形如 221()nnFnN(1)猜想起因：(2)合情推理：不完全归纳法(3)推翻猜想：半个世纪后，欧拉发现了 欧拉欧拉(17071783)，瑞士数学家及自然科学瑞士数学家及自然科学家。家。 5429496
2、72976700417 641F (4)思考方法：不完全归纳法得出的结论未必可靠，需另寻方法. 不是质数.Fermat（） 猜想:的数都是质数的数都是质数.2、游戏情境：(多米诺骨牌游戏)现象分析： 第一排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰倒第3块，以此类推，骨牌相继全部倒下； 第二排骨牌发生了什么情况？从第2块倒下，碰倒第3块，再碰倒第4块，以此类推，除第一块骨牌外，其余骨牌相继全部倒下. 第三排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰倒第3块，但中间抽走部分骨牌，以致不能连续碰倒，造成后面骨牌不再倒下.(3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？(4)提示点拨： 第
3、1块骨牌倒下的必要性；前后相邻两块骨牌倒下的关联性.(5)提炼数学问题：利用相似性，类比数学问题. 分析问题的基础之源；分析问题的延续之理.11,1,(),1nnnnaaaanNa234对于数列已知计算a ,a ,a 的值，并归纳猜想数列的通项公式。我们的猜想一定是正确的吗？234111,234aaa解：1nan猜想：= =不完全归纳法不完全归纳法验证：逐一验证，不现实!能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有的正整数都成立。3、数学情境：一般地证明一个与正整数 1.（归纳奠基)证明当 2.（归纳递推）假设当 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 这种证明方法叫做 数学归纳法.二、知识建构nn
4、0n*0(,)nk kNkn1nk0nn这是一种简单、有效、科学的证明方法，实现了完全归纳的目的.有关的命题，可按下列步骤进行：取第一个值 时命题成立；时命题成立，时命题也成立.开始的所有正整数 都成立.证明当证明：证明：（1）当）当n=1时，时，猜想成立猜想成立1kak那么那么,当当n=k+1时时11k即当即当n=k+1等式也成立等式也成立根据根据(1)和和(2),可知等式对任何可知等式对任何 都成立都成立.*nN11kkkaaa 凑出目标111kk利用假设1111a (2)假设当假设当n=k 时猜想成立时猜想成立,即即()nN数学归纳法数学归纳法 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自
5、然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：(1)证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，(2)假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做 数学归纳法11+ 2 + 3 + n(1)()2n nnN 例 1 、 求 证 ：11=12=1=2(1)+(k+1)11 =(1)(1)(1)(2)22,nk kk kkkk 证明：（ ）当时，左边 1，1右边，左边右边，等式成立。21（ ）.假设n=k时等式成立，即1+2+3+k=2 则当n=k+1时，1+2+3+k由(1)(2)可得，对于一切nN等式都成立。三、方法运用证明：（1）
6、当 左边 右边所以等式成立.(2)假设当 2222(1)(21)1236k kkk那么,当 2) 1( + k6) 1(6) 12)(1(2+=kkkk6)672)(1(2+=kkk6)32)(2)(1(+=kkk6 1) 1(21) 1)(1(+=kkk即当 根据(1)和(2),可知等式对任何 *nN22222123(1)kk6) 12)(1(+=kkk2222(1)(21)1236n nnn例2、用数学归纳法证明：=1n2=1 =1，=1，*()nk kN1nk1nk需要证明的式子是需要证明的式子是? ?时，时等式成立,即时等式也成立.都成立.证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.1
7、11 11413,2 1 2 23 42424 (2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有: 11113,12224kkk 则当n=k+1时,我们有:111(1)1(1)22111111()11211222122122kkkkkkkkkkk 131113113().24212224(21)(22)24kkkk 即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. *,2nN n 例3、用数学归纳法证明:*11113(2,).12224nnNnnn 证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即有:11112,23kk 则当n
8、=k+1时,我们有:11111231112,kkkk 1121(2)2(1)112210.221.1111kkkkkkkkkkkkk 1111:121.231kkk 故故即当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.例4、证明不等式:*11112().23n nNn 整除性问题例5、证明 42n+1+3n+2(nN* )能被13整除。证明：1）n=1时：4 21+1+31+2=91，能被13整除。 2）假设当n=k(kN)时, 42k+1+3k+2能被13整除，当n=k+1时：42(k+1)+1+3(k+1)+2 = 4(2k+1)+2+3(k+2)+1
9、=16(42k+1+3k+2)-133k+2 ()42k+1+3k+2及133k+2均能被13整除,()式能被13整除。 42(k+1)+1+3(k+1)+2也能被13整除，即当n=k+1时命题仍成立。由1）、2）可知，对一切nN原命题均成立。核心步骤多退少补（密诀）课堂练习 D非以上答案 成立时，起始值至少应取为.*111( )=1()2361f nnNn，(1)f151111112345C*1111(,1)2321nn nNn1111127124264n8(1)nk k1nk2k1若则为()A.B.C.2.用数学归纳法证明不等式3用数学归纳法证明：“”时，由不等式成立，推理时，左边应增加的
10、项数是.4.用数学归纳法证明 2*1 3 5(21)().nn n N 证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立21 3 5(21) 2(1) 1 (1)kkk 目标：这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立（2）假设当n=k时，等式成立，即21 3 5(21).kk 递推基础递推依据2221 3 5(21) 2(1) 1(2(1) 121(1)kkkkkkk 那么当n=k+1时，dnaan)1(1 5.如果 是等差数列，已知首项为 ，公差为 ，那么na1ad对一切 都成立 Nn证明：（1）当n=1时，,1a 左边左边,011ada 右边右边
11、等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是,)1(1dkaak 那么当n=k+1时，daakk 1dkaddka 1) 1() 1(11这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立 Nn递推基础递推依据11(1) 1kaakd目标：1.数学归纳法的一般步骤：若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 验证n=n0时命题成立.命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.归纳奠基归纳递推两个步骤 一个结论缺一不可归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）(1)完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法(2)不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法，比如合情推理归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺 点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题 的重要方法“归纳猜想证明”的一般步骤