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1、 2.2.2反证法新课标新课标人教版人教版 选修选修2-2 第二章第二章 推理与证明推理与证明1、了解反证法是间接证明的一种基本方法；2、理解反证法的思考过程；3、会用反证法证明数学问题.推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构知识结构思考：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。谁在说谎？假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.二、新课引入二、新课引入 运用了反证法思想.运用了什么论证思想？(1)定义 假设命题结论的反面成立，经过正确
2、的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。三、反正法的定义三、反正法的定义 (2)反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.反证法是间接证明的一种基本方法.用反证法证题的一般步骤是什么？(1)反设假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。(2)归谬从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)存真由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。假设结论反面成立正确推理导出矛盾否定假设肯定结论类型一用反证法证明否定性命题例1、已知a，b，c，dR，且adbc1，
3、求证：a2b2c2d2abcd1.证明证明假设a2b2c2d2abcd1.因为adbc1，所以a2b2c2d2abcdbcad0，即(ab)2(cd)2(ad)2(bc)20.所以ab0，cd0，ad0，bc0，则abcd0，这与已知条件adbc1矛盾，故假设不成立.所以a2b2c2d2abcd1.反思与感悟反思与感悟(1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.(2)用反证法证明数学命题的步骤类型二用反证法证明“至多、至少”类问题例2、a，b，c(0,2)，求证：(2a)
4、b，(2b)c，(2c)a不能都大于1.反思与感悟反思与感悟应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n1个p或q非p且非q至多有n个至少有n1个p且q非p或非q变式1：已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y1ax22bxc，y2bx22cxa和y3cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.证明证明假设题设中
5、的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，由y1ax22bxc，y2bx22cxa，y3cx22axb，得14b24ac0，24c24ab0，且34a24bc0.同向不等式求和，得4b24c24a24ac4ab4bc0，所以2a22b22c22ab2bc2ac0，所以(ab)2(bc)2(ac)20，所以abc.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证.类型三用反证法证明唯一性命题例3、求证：方程2x3有且只有一个根.证明证明2x3，xlog23.这说明方程2x3有根.下面用反证法证明方程2x3的根是唯一的.假设方程2x3至少有两个根b1，b2(b1b2)，则 3,
6、 3，两式相除得 1，b1b20，则b1b2，这与b1b2矛盾.假设不成立，从而原命题得证.12b22b122bb反思与感悟反思与感悟用反证法证明唯一性命题的一般思路：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性.变式1：若函数f(x)在区间a，b上是增函数，求证：方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.证明证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根，设，为其中的两个实根.因为 ，不妨设，又因为函数f(x)在a，
7、b上是增函数，所以f()f().这与假设f()0f()矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根.例4、如果两个平面平行,在一个平面内的直线是否平行另一个平面.abl 在一个平面内的直线一定平行另一个平面.如图, 平面a/b, 直线 la.假设 l 与 b 不平行,l 又不在 b 内,那么 l 必与 b 相交, 设交点为P,由于 la,则 Pa,于是 a 与 b 就有公共点P,P这与已知的 a/b 矛盾,所以假设是错误的.类型四用反证法证明定理(公理)用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。变式1：已知：如图，在 O中，弦 AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：
8、弦AB、CD不被P平分.证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC, DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ABCD是平行四边形是平行四边形所以所以CBDCADADBACB,因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以180,180CBDCADADBACB因此因此90,90CADACB所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。POBADC由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连结，连结
9、OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，变式2：已知直线 a, b 和平面 a, 如果 aa, ba,且 a/b, 求证 a/a.aab证明:因为 a/b,所以 a, b 确定一个平面,设为 b (如图),因为 aa, ba,所以 bab.假设 a 与 a 不平行, 而 aa,则 a 与 a 相交, 设交点为 P,则点 P 是平面 a 与 b 的公共点,所以点 P 必在交线 b 上,则直线 a 与 b 相交于P， 这结论与 a/b 矛盾,所以假设不成立, 原命题得证.bP