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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinACB的值为（）A3BCD2、如图，在的正方形网格中，每个
2、小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）ABCD3、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（ ）ABCD4、边长都为4的正方形ABCD和正EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合，现将EFG沿AB方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点F与点B重合时停止，在这个运动过程中，正方形ABCD和EFG重合部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）ABCD5、在中，则的值是（ ）ABCD6、在ABC中，C=90，若BC=4，则AB的长为（ ）A6BCD7、如图，A、B、C三点在
3、正方形网格线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）ABCD8、如图，飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，此时飞机的高度AC为a，则A，B的距离为（ ）AatanBCDcos9、如图，在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正切值是（ ）ABCD10、如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作M，D为M上不同于点O、A的点，则ODA的度数为（）A60B60或120C30D30或150第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且NAD30，AB2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转6
4、0至BQ，连CQ，CQ的最小值是 _2、如图，在RtABC中，C90，AC2，BC2以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为_3、在ABC中，（2cosA）2+|1tanB|0，则ABC一定是：_4、若点在反比例函数的图象上，则的值为_5、如图，在ABC中，I是ABC的内心，O是AB边上一点，O经过点B且与AI相切于点I，若tanBAC，则sinACB的值为 _三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1对于线段AB，给出如下定义：若线段AB沿着某条直线l对称可以得到O的弦AB，
5、则称线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，直线l称为“反射轴”（1）如图，线段CD，EF，GH中是O的以直线l为对称轴的“反射线段”有 ；（2）已知A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），若线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，求反射轴l与y轴的交点M的坐标若将“反射线段”AB沿直线yx的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为yM，求S（3）已知点M，N是在以原点为圆心，半径为2的圆上的两个动点，且满足MN1，若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积（4）已知点M，N是在以（2，0）为圆
6、心，半径为的圆上的两个动点，且满足MN，若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，请直接写出反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围2、如图，在中，点从点出发以每秒2个单位的速度沿运动，到点停止当点不与的顶点重合时，过点作其所在边的垂线，交的另一边于点设点的运动时间为秒（1）边的长为 （2）当点在的直角边上运动时，求点到边的距离（用含的代数式表示）（3）当点在的直角边上时，若，求的值（4）当的一个顶点到的斜边和一条直角边的距离相等时，直接写出的值3、如图，内接于，弦AE与弦BC交于点D，连接BO，（1）求证：；（2）若，求的度数；（3）在（2）的条件下，过点O作于点H，延
7、长HO交AB于点P，若，求半径的长4、6tan230sin602tan455、小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔在北偏东37度的方向上，5分钟后在B处观察到电视塔在北偏西53度的方向上已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速度（精确到个位，）-参考答案-一、单选题1、D【分析】连接格点AD，构造直角三角形，先计算AC，再算ACB的正弦即可【详解】连接格点A、D，如图在RtADC中，AD3，CD1，CAsinACB故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键2、B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故
8、此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键3、B【分析】利用，得到BAC=DCA，根据同圆的半径相等，AC=AB=3，再利用勾股定理求解 可得tanACD=，从而可得答案.【详解】解：如图， ， BAC=DCA 同圆的半径相等， AC=AB=3，而 在RtACD中，tanACD= tanBAC=tanACD= 故选B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键4、C【分析】由题意知当t=2时，三角形和正方形重合一半面积，由此可列0t
9、2和2t4分段函数【详解】当0t2时，设运动时GF与AD交于点H 四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形FAH=90，AFH=60AF=t，AH=tan 60AF=t，开口向上当2t4时，设运动时GE与AD交于点O四边形ABCD为正方形，三角形EFG为正三角形EAO=90，OEA=60AF=t，EA=4-t，AO=tan 60EA=（4-t），开口向下综上所述，由图象可知仅C选项满足两段函数故选：C【点睛】本题考查了动点的图像问题，做此类题需要弄清横纵坐标的代表量，并观察确定图像分为几段，弄清每一段自变量与因变量的变化情况及变化的趋势，主要是正负增减及变化的快慢等匀速变化呈现直线段的形
10、式，平行于x轴的直线代表未发生变化，成曲线的形式需要看切线的坡度的大小确定变化的快慢5、B【分析】根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意，可得图形如下：根据余弦函数的定义可得，故选：B【点睛】此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义6、A【分析】由题意直接根据三角函数定义进行分析计算即可得出答案【详解】解：C=90，BC=4，,.故选：A.【点睛】本题考查解直角三角形中三角函数的应用，熟练掌握直角三角形边角之间的关系是解题的关键7、B【分析】利用勾股定理逆定理得出CDB是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论【详解】解：如图，
11、连接BD，由网格利用勾股定理得：是直角三角形，故选：B【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键8、C【分析】根据题意可知，根据，即可求得【详解】解：飞机于空中A处测得目标B处的俯角为，AC为a，故选C【点睛】本题考查了正弦的应用，俯角的意义，掌握正弦的概念是解题的关键9、D【分析】作PMx轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解【详解】解：作PMx轴于点M，P(6，8)，OM=6，PM=8，tan=故选：D【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题10、D【分析】连接，先利用正切三角函数可得，
12、再分点在轴上方的圆弧上和点在轴下方的圆弧上两种情况，分别利用圆周角定理、圆内接四边形的性质求解即可得【详解】解：如图，连接，在中，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：；（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：；综上，的度数为或，故选：D【点睛】本题考查了正切、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键二、填空题1、#【解析】【分析】如图，连接交于 则 先证明 把绕顺时针旋转得到 证明 可得三点共线，在上运动，过作于 则重合时，最短，再求解 从而可得答案.【详解】解：如图，连接PQ交于 则 是等边三角形， 正方
13、形 把绕顺时针旋转得到 则 三点共线， 在上运动，过作于 则重合时，最短， 是等边三角形，记交于 所以CQ的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到的运动轨迹是解本题的关键.2、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求出B和A的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出ACB和扇形ACD、扇形BDE的面积，最后求出答案即可【详解】解：ACB90，AC2，BC2，由勾股定理得：AB=4，B30，A60，由题意，AC=AD=2，则BD=AB-AD=2，阴影部分的面积SSABCS扇形ACDS扇形BDE，故答案为：【点睛】本题考查根据
14、特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键3、等腰直角三角形【解析】【分析】根据非负数的意义和特殊锐角的三角函数值求出角A和角B，进而确定三角形的形状【详解】解：因为（2cosA）2+|1tanB|0，所以2cosA0，且1tanB0，即cosA，tanB1，所以A45，B45，所以 所以ABC是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形【点睛】本题考查特殊锐角三角函数值以及三角形的判定，掌握特殊锐角的三角函数值是正确判断的前提4、【解析】【分析】由点P在反比例函数曲线上可知，故P点坐标为（12，5），故OH=12，PH=5，有勾
15、股定理可求得OP=13，则=【详解】点P在反比例函数的图象上故P点坐标为（12，5）故OH=12，PH=5在中满足勾股定理故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得OH，PH的长度是解题的关键5、#0.8【解析】【分析】连接OI，BI，作OEAC，可证AOD是等腰三角形，然后证明ODBC，进而ADOACB，解三角形AOD即可【详解】解：如图，连接OI并延长交AC于D，连接BI，AI与O相切，AIOD，AIOAID90，I是ABC的内心，OAIDAI，ABICBI，AIAI，AOIADI（ASA），AOAD，OBOI，OBIOIB，OI
16、BCBI，ODBC，ADOC，作OEAC于E，tanBAC，不妨设OE24k，AE7k，OAAD25k，DEADAE18k，OD30k，sinACB 故答案是：【点睛】本题主要考查了切线的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键三、解答题1、（1）2；（2）；（3）;（4）或【解析】【分析】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2，根据两点的距离可得，进而即可求得答案；（2）根据定义作出图形，根据轴对称的方法求得对称轴，反射线段经过对应圆心的中点，即可求得的坐标；由可得当时，yM，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线yx
17、的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则，根据余弦求得进而代入数值列出方程，解方程即可求得的最大值，进而求得的范围；（3）根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴,反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线，求得半径为，根据圆的面积公式进行计算即可；（4）根据（2）的方法找到所在的圆心,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围【详解】（1）的半径为1，则的最长的弦长为2根据两点的距离可得故符合题意的“反射线段”有2
18、条；故答案为：2（2）如图，过点作轴于点，连接 A点坐标为（0，2），B点坐标为（1，1），且，的半径为1，且线段AB是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，由可得当时，yM如图，设当取得最大值时，过点作轴，根据题意，分别为沿直线yx的方向向上平移一段距离S 后的对应点，则， 过中点，作直线交轴于点,则即为反射轴yM，即即解得（舍）（3）的半径为1，则是等边三角形，根据圆的旋转对称性，找到所在的的圆心，如图，以为边在内作等边三角形，连接，取的中点,过作的垂线，则即为反射轴, 反射轴l未经过的区域是以为圆心为半径的圆，反射轴l是该圆的切线当M点在圆上运动一周时，求反射轴l未经过的区域的面积为（4）
19、如图，根据（2）的方法找到所在的圆心,设则,是等腰直角三角形,当M点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，是的中位线,即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动若MN是O的以直线l为对称轴的“反射线段”，则为的切线设与轴交于点，同理可得反射轴l与y轴交点的纵坐标的取值范围为或【点睛】本题考查了中心对称与轴对称，圆的相关知识，切线的性质，三角形中位线定理，余弦的定义，掌握轴对称与中心对称并根据题意作出图形是解题的关键2、（1）4；（2）；（3）5或；（4）或或4或5【解析】【分析】（1）由勾股定理即可得出的长；（2）设点到边的距离为.分两种情况，当点在边上运动时，当点在边上运动时，由锐角三角函数定
20、义分别求解即可；（3）分两种情况，当点在边上时，当点在边上时，由锐角三角函数定义分别表示出，列出方程，求解即可；（4）分情况讨论：在上，到的距离到的距离，在上，到的距离到的距离，在上，到的距离到的距离，在上，到的距离到的距离，分别求出的值即可【详解】解：（1），故答案为：4；（2）设点到边的距离为.当点在边上运动时，过作于，如图1所示：，；当点在边上运动时，过作于，如图2所示：，；综上所述，点到边的距离为或；（3），当点在边上时，如图3所示：则，即，解得：当点在边上时，如图4所示：则，则，解得：；综上所述，若，的值为5或；（4）分情况讨论：在上，到的距离到的距离，过作于，如图5所示：则，由（2
21、）得：，解得：；在上，到的距离到的距离，过作于，如图6所示：则，由（2）得：，解得：；在上，到的距离到的距离，如图7所示：则，即，解得：；在上，到的距离到的距离，如图8所示：则，又，即，解得：，解得：；综上所述，当的一个顶点到的斜边和一条直角边的距离相等时，的值为或或4或5.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键3、（1）见解析；（2）30；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，连接OA，则，由OA=OB，得到OAB=OBA
22、，即可推出，即OBA+ACB=90，再由OBA=CAE，则ACB+CAE=90，由此即可证明；（2）如图所示，连接CE，则ABC=AEC，由，可得AEC=30，则ABC=30；（3）如图所示，过点O作OFAB于F，则BF=AF，设FP=x，可得BP=BF+PF=6+2x，OP=2FP=2x，推出PH=OP+OH=1+2x，则BP=2+4x，从而得到2+4x=6+2x，由此求解即可【详解】解：（1）如图所示，连接OA，OA=OB，OAB=OBA，OAB+OBA+AOB=180，即OBA+ACB=90，又OBA=CAE，ACB+CAE=90，ADC=90，AEBC；（2）如图所示，连接CE，ABC
23、=AEC，AEBC，AEC=30，ABC=30；（3）如图所示，过点O作OFAB于F，BF=AF，设FP=x，BF=AF=AP+PF=6+x，BP=BF+PF=6+2xABC=30，PHBC， BPH=60，BP=2PH，又OFAB，OFP=90，POF=30，OP=2FP=2x，PH=OP+OH=1+2x，BP=2+4x，2+4x=6+2x，解得x=2，PF=2，BF=8，PO=4，圆O的半径长为【点睛】本题主要考查了圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，特殊角三角形函数值求度数，勾股定理，垂径定理等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解4、【解析】【分析】将，代入式子计算即可【详解】解：，原式，【点睛】题目主要考查特殊角三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键5、126米/分钟【解析】【分析】过作于，则米，由解直角三角形求出AD和BD的长度，则求出AB的长度，即可求出小明的速度【详解】解：过作于，则米，同理：速度：6315126（米/分钟）【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，以及解直角三角形，解题的关键是正确求出AD和BD的长度