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1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明定向测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A5，13，12B6，8，10C9，12，15D3，4，
2、62、下列条件：；，能判定是直角三角形的有（ ）A4个B3个C2个D1个3、如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：BDF是等腰三角形；DEBD+CE；若A50，则BFC115；DFEF其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个4、如图，在ABC中，C90，点D为BC上一点，DEAB于E，并且DEDC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（）ADEDFBBDFDC12DABAC5、如图，在ABC中，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的长为（ ）A2cmB4cmC5cmD6cm6、如图，在ABC中，B=62，C=24，分别以点A和
3、点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD，则BAD的度数为（ ）A70B60C50D407、如图，在ABC中，已知ABAC3，BC4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则ADE的面积为（）A104B35CD2088、如图，在ABC中，BAC=90，ABC=2C，平分ABC，交AC于点E，于点D，有下列结论：；点E在线段BC的垂直平分线上；其中，正确的结论有（ ）A1个B2个C3个D4个9、如图，在ABC中，是的垂直平分线，ABC的周长为，的周长为，则的长为（ ）ABCD10、如图，等腰ABC中，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA
4、延长线上一点，若，则下列结论：；是等边三角形；其中正确的是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC中，三角形的两个外角和的平分线交于点E则_2、如图，将一副三板按图所示放置，DAEABC90，D45，C30，点E在AC上，过点A作AFBC交DE于点F，则_3、如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，则的面积为_4、在ABC中，是BC上一点，把沿直线AE翻折后，点落在点处，如果，那么_5、如图，在ABC中，AD平分交于点D，点D到AB的距离为，则BD的长为_三、解答题（5小题，每小题10
5、分，共计50分）1、在ABC中，ACB90现给出以下3个关系：CD垂直于AB，BE平分ABC，CFECEF，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性2、在平面直角坐标系xOy中，对于点P给出如下定义：点P到图形G1上各点的最短距离为d1，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”已知点A6,0，B0,6（1）在点D-6,0，E3,0，F0,3中，_是点A和点O的“等距点”；（2）在点G-2,-1，H2,2，I3,6中，_是线段OA和OB的“等距点”；（3）点Cm,0为x轴上一点，点P既是点A和点C的“等距点”，又是线
6、段OA和OB的“等距点”当时，是否存在满足条件的点P，如果存在请求出满足条件的点P的坐标，如果不存在请说明理由；若点P在OAB内，请直接写出满足条件的m的取值范围3、已知：如图ABC求作：点P，使得点P在AC上，且PCPB作法：分别以B，C为圆心，大于BC的同样长为半径作弧，两弧分别交于M，N；作直线 MN，与AC交于P点，与BC交于H（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：BMCM，BNCN，M、N在线段BC的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）即MN是AB的垂直平分线点P在直线MN上PCPB（ ）（填推理的依据）4、中，CD平分，点E是BC上一动点，连接
7、AE交CD于点D（1）如图1，若，AE平分，则的度数为_；（2）如图2，若，则的度数为_；（3）如图3，在BC的右侧过点C作，交AE延长线于点F，且，试判断AB与CF的位置关系，并证明你的结论5、如图所示，平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点B（3，0），交y轴于点A（0，1），直线x=1交AB于点D，P是直线x=1上一动点，且在点D上方，设P（1，n）（1）求直线AB的解析式；（2）求ABP的面积（用含n的代数式表示）；（3）点C是y轴上一点，当SABP=2时，BPC是等腰三角形，满足条件的点C的个数是_个（直接写出结果）；当BP为等腰三角形的底边时，求点C的坐标-参考答案-一、单选题1、D
8、【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可【详解】解：A、，故A不符合题意B、，故B不符合题意C、，故C不符合题意D、，故D符合题意故选：D【点睛】本题主要是考查了勾股定理的逆定理，熟练利用勾股定理来判定三角形是否为直角三角形，是解决本题的关键2、C【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论【详解】解：即，ABC是直角三角形，故符合题意；A+B+C=180，C=AB，A+B+AB=180，即A=90，ABC是直角三角形，故符合题意；，设a=，b=，c=，则，ABC不是直角三角形，故不合题意；，C=180=75，故不是直角三角形；故不合题意综上，符合题意的有，共2个，故选：C【
9、点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形3、C【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答【详解】解：BF是AB的角平分线，DBFCBF，DEBC，DFBCBF，DBFDFB，BDDF，BDF是等腰三角形；故正确；同理，EFCE，DEDF+EFBD+CE，故正确；A50，ABC+ACB130，BF平分ABC，CF平分ACB，FBC+FCB（ABC+ACB）65，BFC18065115，故正确；当ABC为等腰三角形时，DFEF
10、，但ABC不一定是等腰三角形，DF不一定等于EF，故错误故选：C【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键4、C【分析】在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DFDC，又DCDE，所以DFDE，故A选项错误，同理，D选项错误，假设BDFD，则可以判定DBEDFC，所以BDFC，而在题目中，B是定角，DFC随着F的变化而变化，假设不成立，故B选项是错误的，由DEDC，DCAC，DEAB，根据RtDEARtDCA（HL）得到C选项是正确的【详解】解：（1）在直角三角形DCF
11、中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DFDC，又DCDE，所以DFDE，故A选项错误；（2）BDE与DCF，只满足DEBDCF90，DCDE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BDFD，另一方面，假设BDFD，在RtDBE与DFC中，RtDBERtDFC（HL），BDFC，而图中B大小是固定的，DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的，故B选项错误；（3）DCAC，DEAB，DCDE，在RtDEA和RtDCA中，RtDEARtDCA（HL），12，故C选项正确；（4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到ABAC，故D选项错误，故选：C【点睛】本题考查
12、了全等三角形的性质与判定，三角形三边不等关系关系，掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形三边关系是解题关键5、D【分析】由题意知，可求出的值【详解】解：由题意知在中又 故选D【点睛】本题考察了垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质解题的关键在于灵活运用垂直平分线与角的直角三角形的性质6、A【分析】根据BADBACDAC，想办法求出BAC，DAC即可解决问题【详解】解：B62，C24，BAC1808694，由作图可知：MN垂直平分线段AC，DADC，DACC24，BAD942470，故选：A【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考
13、常考题型7、A【分析】过点A作AFBC于点F，由题意易得，再根据点，是边的两个黄金分割点，可得，根据勾股定理可得，进而可得，然后根据三角形的面积计算公式进行求解【详解】解：过点A作AFBC于点F，如图所示：，在RtAFB中，点，是边的两个黄金分割点，DF=EF，；故选：A【点睛】本题主要考查二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握二次根式的运算、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键8、D【分析】首先求出C=30，ABC=60，再根据角平分线的定义，直角三角形30角的性质，线段的垂直平分线的定义一一判断即可【详解】解：在ABC中，BAC=90，ABC=2C，C=30，A
14、BC=60，BE平分ABC，ABE=EBC=30，EBC=C，EB=EC，ACBE=ACEC=AE，故正确，EB=EC，点E在线段BC的垂直平分线上，故正确，ADBE，BAD=60，BAE=90，EAD=30，EAD=C，故正确，ABD=30，ADB=90，AB=2AD，BAC=90，C=30，BC=2AB=4AD，故正确，故选：D【点睛】本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的定义，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9、B【分析】由题意易得BD=AD，然后根据三角形周长可得，进而问题可求解【详解】解：是的垂直平分线，BD=AD，的周长为，的周长为
15、，；故选B【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键10、A【分析】利用等边对等角得：APOABO，DCODBO，则APO+DCOABO+DBOABD，据此即可求解；因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是ABD的角平分线，可作判断；证明POC60且OPOC，即可证得OPC是等边三角形；证明OPACPE，则AOCE，得ACAE+CEAO+AP【详解】解：如图1，连接OB，ABAC，ADBC，BDCD，BADBAC12060，OBOC，ABC90BAD30OPOC，OBOCOP，APOABO，DCODBO，APO+DCOABO+DBOABD30，
16、故正确；由知：APOABO，DCODBO，点O是线段AD上一点，ABO与DBO不一定相等，则APO与DCO不一定相等，故不正确；APC+DCP+PBC180，APC+DCP150，APO+DCO30，OPC+OCP120，POC180（OPC+OCP）60，OPOC，OPC是等边三角形，故正确；如图2，在AC上截取AEPA，PAE180BAC60，APE是等边三角形，PEAAPE60，PEPA，APO+OPE60，OPE+CPECPO60，APOCPE，OPCP，在OPA和CPE中，OPACPE（SAS），AOCE，ACAE+CEAO+AP，ABAO+AP，故正确；正确的结论有：，故选：A【点
17、睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键二、填空题1、2626度【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得【详解】解：如图，过点作三边的垂线段，三角形的两个外角和的平分线交于点E在的角平分线上，即是的角平分线故答案为：【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键2、【分析】过点F作FMAD于点M，由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解【详解】解：过点F作FMAD于点M，如图所示：DAEABC90，FMAC，
18、C30，AFBC，D45，都是等腰直角三角形，；故答案为【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键3、4【分析】过F作FGBC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可【详解】解：过F作FGBC于G，BF平分，FGBC，即EFAB，FG=EF=2，AD为ABC的BC边上的中线，FG为BFC的BC边上在中线，又BC=8，SCDF= SBFC= BCFG= 82=4，故答案为：4【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，
19、熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键4、2【分析】如图，知是等腰三角形，；沿翻折，有，由得，和均为等腰三角形，可求得的值【详解】解：如图是等腰三角形沿翻折，和均为等腰三角形，故答案为：2【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，翻折对称等知识解题的关键在于确定翻折线的位置5、6【分析】过点D作DEAB根据角平分线的性质定理解得DE=DC，结合图形解题即可【详解】解：过点D作DEABAD平分，DEAB故答案为：6【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握相关知识是解题关键三、解答题1、作为条件，作为结论，证明见解析【分析】结合题意，得CDAACB90，根据直角三
20、角形两锐角互余的性质，得BCF+DCA90，DCA+A90，根据角平分线性质，计算得EBCEBA，根据三角形外角的性质，通过计算得CFECEF，即可得到答案【详解】CDAB，CDAACB90，BCF+DCA90，DCA+A90，BCFA，BE平分ABC，EBCEBA，CFEBCF+EBC，BECA+EBA，CFECEF作为条件，作为结论成立【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线、三角形外角、命题的知识；解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、三角形外角的性质，从而完成求解2、（1）点E；（2）点H；（3）存在，点P的坐标为（7，7）；【分析】（1）根据“等距点”的定义，即可求解；（2）根据“
21、等距点”的定义，即可求解；（3）根据点P是线段OA和OB的“等距点”，可设点P（x，x）且x0，再由点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到 ，即可求解；根据点P是线段OA和OB的“等距点”， 点P在AOB的角平分线上，可设点P（a，a）且a0，根据OA=OB，可得OP平分线段AB，再由点P在内，可得 ，根据点P是点A和点C的“等距点”，可得 ，从而得到，整理得到，即可求解【详解】解：（1）根据题意得： ， ， ， ， ， ， ，点是点A和点O的“等距点”；（2）根据题意得：线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，点到线段OA的距离为1，到线段OB的距离为2，点到线段OA的距离为2，到线段O
22、B的距离为2，点到线段OA的距离为6，到线段OB的距离为3，点到线段OA的距离和到线段OB的距离相等，点是线段OA和OB的“等距点”；（3）存在，点P的坐标为（7，7），理由如下：点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，可设点P（x，x）且x0，点P是点A和点C的“等距点”， ，点C（8，0）， ，解得： ，点P的坐标为（7，7）；如图，点P是线段OA和OB的“等距点”，且线段OA在x轴上，线段OB在y轴上，点P在AOB的角平分线上，可设点P（a，a）且a0，OA=OB=6，OP平分线段AB，点P在内，当点P位于AB上时， 此时点P为AB的中点，此时点P的坐标为
23、 ，即 ， ，点P是点A和点C的“等距点”， ，点，整理得： ，当 时，点C（6，0），此时点C、A重合，则a=6（不合题意，舍去），当时， ，解得： ，即若点P在内，满足条件的m的取值范围为【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键3、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）按照题中的作法完成即可；（2）读懂每步推理及推理的依据即可完成【详解】（1）补全的图形如下：（2）证明：BMCM，BNCN， M、N在线段BC的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）（填推理
24、的依据） 即MN是BC的垂直平分线 点P在直线MN上 PCPB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）（填推理的依据）【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质定理与判定定理、用尺规作线段的垂直平分线，掌握这些知识是解题的关键4、则该直线的解析式为：y=x+令x=0，则y=5，即B（0，5）；（2）由（1）知，C（-3，2）如图1，设Q（a，-a）SQAC=2SAOC，SQAO=3SAOC，或SQAO=SAOC，当Q在第二象限即SQAO=3SAOC时，OAyQ=3OAyC，yQ=3yC，即-a=32=6， 解得 a=-9，Q（-9，6）；当Q在第四象限SQAO=SAOC时，OAyQ=OAyC
25、，yQ=2yC，即a=2，解得 a=3（舍去负值），Q（3，-2）；综上，点Q的坐标为（-9，6）或（3，-2）；（3）如图2，以点A为圆心，AC长为半径画弧，该弧与x轴的交点即为P；如图3，作P1FCD于F，P1EOC于E，作P2HCD于H，P2GOC于GC（-3，2），A（-5，0），AC=，P2H=P2G，P2HCD，P2GOC，CP2是OCD的平分线，OCP2=DCP2，AP2C=AOC+OCP2，ACP2=ACD+DCP2，ACP2=AP2C，AP2=AC，A（-5，0），P2（-5+2，0）同理：P1（-5-2，0）综上，点P的坐标为（-5-2，0）或（-5+2，0）【点睛】本题考
26、查了一次函数综合题，涉及坐标与图象的关系、待定系数法求函数解析式、角平分线的性质、点到直线的距离、三角形的面积公式等知识，综合性较强5（1）40；（2）10；（3）ABCF，理由见解析【分析】（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得BAC+ACB=140即可求解；（2）根据三角形的外角性质求得B+BAE=47即可求解；（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到FCG=2F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到BCF=2F，则有B=BCF，根据平行线在判定即可得出结论【详解】解：（1）ADC=110，DAC+DCA=180110=70，AE平分BAC，CD平分AC
27、B，BAC=2DAC，ACB=2DCA，BAC+ACB=2（DAC+DCA）=140，B=180（BAC+ACB）=180140=40，故答案为：40；（2）ADC=DCE+DEC=100，DCE=53，DEC=10053=47，B+BAE=DEC=47，BBAE=27，BAE=10，故答案为：10；（3）ABCF，理由为：如图，延长AC到G，AC=CF，F=FAC，FCG=F+FAC=2F，CFCD，BCF+BCD=90，FCG+ACD=90，CD平分ACB，BCD=ACD，BCF=FCG=2F，B=2F，B=BCF，ABCF【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性
28、质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键5、（1）y=x+1；（2）n1；（3）3；C（0，1）【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；（2）先表示出PD的长，然后根据ABP的面积=APD的面积+BPD的面积=求解；（3）先根据SABP=2求出n，求出BP的长，然后可确定点C的位置；设C(0，c)，根据PC=BC可求出c的值【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A(0，1)，B(3，0)代入，得，解得，；（2）当x=-1时，P(1，n)，PD=，ABP的面积=APD的面积+BPD的面积=；（3）由题意得=2，解得n=2，P(-1，2)，PE=2，BE=3-1=2，BP=，BPOB，如图，以点P为顶点的等腰三角形有2个，以点C为顶点的等腰三角形有1个，所以满足条件的点C的个数是3个，故答案为：3；设C(0，c)，P(-1，2)，B(3，0)，PC2=，BC2=，当PC=BC时，c2-4c+5= c2+9，c=-1，C(0，-1)【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理是解答本题的关键