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1、第2课时 导数与函数的极值、最值A组基础对点练1(2021湖南岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()Ayx3 Byln (x)Cyxex Dyx解析：选项AB为单调函数，不存在极值，选项C不是奇函数，故选D.答案：D2设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR).若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()解析：因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0；选项D中，f(1)0，f(1)0，不满足f(1)f(1)0.答案：D3(2020贵州部分重点中学联考)函数f(x)
2、4xln x的最小值为()A12ln 2 B12ln 2C1ln 2 D1ln 2解析：函数f(x)的定义域为(0，).由题意知f(x)4.令f(x)0得x，令f(x)0得0x，所以函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x时，函数f(x)有最小值为f4ln 1ln 412ln 2.答案：A4(2021福建泉州质检)已知函数f(x)ax3bx2的极大值和极小值分别为M，m，则Mm()A0 B1C2 D4解析：由题意知f(x)3ax2b，令f(x)0，即3ax2b0，设该方程两个根为x1，x2，故f(x)在x1，x2处取得极值，所以Mm4b(x1x2)a(x1x2)(x1x2)23x1x2
3、，而x1x20，x1x2，所以Mm4.答案：D5设aR.若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da解析：yexax，yexa.函数yexax有大于零的极值点，则方程yexa0有大于零的解x0时，ex1，aex1.答案：A6(2020辽宁沈阳模拟)设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点解析：由f(x)xex1，可得f(x)(x1)ex，令f(x)0可得x1，即函数f(x)在(1，)上是增函数；令f(x)0可得x1，即函数f(x)在(，1)上是减函数，所以x1为f(x)的极小
4、值点答案：D7已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37 B29C5 D以上都不对解析：f(x)6x212x6x(x2)，所以f(x)在2，0上单调递增，在(0，2上单调递减，所以x0为极大值点，也为最大值点，所以f(0)m3，所以m3.所以f(2)37，f(2)5，所以最小值是37.答案：A8若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值若tab，则t的最大值为()A2 B3C6 D9解析：f(x)4x3ax22bx2，f(x)12x22ax2b.又f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0ab6.a0，b0，ab
5、2，ab9，当且仅当ab3时等号成立答案：D9已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，则f(2)等于()A11或18 B11C18 D17或18解析：函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10，f(1)10，且f(1)0，f(x)3x22axb，即解得或而当时，f(x)3x26x33(x1)2，x(，1)，f(x)0，x(1，)，f(x)0，故舍去f(x)x34x211x16，f(2)18.答案：C10(2020江西南昌调研)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1，2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取得极小值B当k1时，f(x)在x1处取得极
6、大值C当k2时，f(x)在x1处取得极小值D当k2时，f(x)在x1处取得极大值解析：当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且在x1附近的左侧f(x)0，当x1时，f(x)0，f(x)在x1处取得极小值答案：C11(2021河北张家口期末)函数f(x)x33ax2bx2a2在x2时有极值0，那么ab的值为()A14 B40C48 D52解析：因为f(x)x33ax2bx2a2，所以f(x)3x26axb，由f(x)在x2时有极值0，可得则解得a2，b12或a4，b36.当a4，b36时，f(x)3x224x3
7、6满足题意，函数f(x)x33ax2bx2a2在x2时有极值0.当a2，b12时，f(x)3x212x123(x24x4)3(x2)20，函数f(x)在定义域上是增函数，没有极值点，不满足题意，舍去，所以ab40.答案：B12(2020江苏南通调研)已知函数f(x)2f(1)ln xx，则f(x)的极大值为_解析：因为f(x)1，所以f(1)2f(1)1，所以f(1)1，故f(x)2ln xx，f(x)1，则f(x)在(0，2)上为增函数，在(2，)上为减函数，所以当x2时，f(x)取得极大值，且f(x)极大值f(2)2ln 22.答案：2ln 2213(2021湖北仙桃、天门、潜江期末改编)
8、已知函数f(x)a sin 2x(a2)cos x(a1)x在上无极值，则a_，f(x)在上的最小值是_解析：函数f(x)的导数为f(x)a cos 2x(a2)sin xa1a(12sin2x)(a2)sinxa12a sin2x(a2)sinx1(2sin x1)(a sin x1).当sin x，即x时，f(x)0，所以要使f(x)在上无极值，则a2，此时f(x)(2sin x1)20恒成立，即f(x)单调递减，故在区间上f(x)的最小值为f.答案：214(2021沈阳模拟)设函数f(x)ln xax2bx.若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_解析：f(x)的定义域为(0，)，
9、f(x)axb.x1是f(x)的极大值点，f(1)0，即1ab0，b1a，f(x)ax(1a).若a0，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，x1是f(x)的极大值点若a0，由f(x)0，得x1或x.因为x1是f(x)的极大值点，所以1，解得1a0.综合得a的取值范围是a1.答案：(1，)15求函数y2x的极大值解析：y2，令y0，得x1.当x1时，y0；当1x0时，y0.当x0时，y0，所以当x1时，y取极大值3.B组素养提升练1已知函数f(x)ax，曲线yf(x)在x1处的切线经过点(2，1).(1)求实数a的值；(2)设b1，求f(x)在上的最
10、大值和最小值解析：(1)由题意得f(x)的导函数为f(x)，f(1)1a.依题意，有1a，即1a，解得a1.(2)由(1)得f(x)，当0x1时，1x20，ln x0，f(x)0，故f(x)在(0，1)上单调递增；当x1时，1x20，ln x0，f(x)0，故f(x)在(1，)上单调递减f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减又01b，f(x)最大值为f(1)1.设h(b)f(b)fln bb，其中b1，则h(b)ln b0，h(b)在(1，)上单调递增当b1时，h(b)0，可得h(b)0，则f(b)f，故f(x)最小值为fb ln b.2已知函数f(x).(1)求函数f(x)的单
11、调区间；(2)设g(x)xf(x)ax1.若g(x)在(0，)上存在极值点，求实数a的取值范围解析：(1)f(x)，x(，0)(0，)，所以f(x).当f(x)0时，x1.f(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(，0)(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，0)和(0，1).(2)g(x)exax1，x(0，)，所以g(x)exa，当a1时，g(x)exa0，即g(x)在(0，)上递增，此时g(x)在(0，)上无极值点当a1时，令g(x)exa0，得xln a；令g(x)exa0，得x(ln a，)；令g(x)exa0，得x(0，ln a)，故
12、g(x)在(0，ln a)上递减，在(ln a，)上递增，所以g(x)在(0，)上有极小值，无极大值，且极小值点为xln a，故实数a的取值范围是(1，).3已知函数f(x)x3ax2，aR.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos x sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值解析：(1)由题意f(x)x2ax，所以当a2时，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此曲线yf(x)在点(3，f(3)处的切线方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所
13、以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)，令h(x)xsin x，则h(x)1cos x0，所以h(x)在R上单调递增因为h(0)0，所以当x0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：x(，a)a(a，0)0(0，)g(x)00g(x)极大值极小值所以当xa时，g(x)有极大值为g(a)a3sin a.当x0时，g(x)有极小值g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x).当x(，)时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值当
14、a0时，g(x)与g(x)随x的变化情况如下表：x(，0)0(0，a)a(a，)g(x)00g(x)极大值极小值所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述，当a0时，函数g(x)在(，a)和(0，)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)a3sin a，极小值是g(0)a；当a0时，函数g(x)在(，)上单调递增，无极值；当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin
15、a4已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值解析：(1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以3x0时，g(x)0，即f(x)0，当x3或x0时，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)的单调增区间是(3，0)，单调减区间是(，3)，(0，).(2)由(1)知，x3是f(x)的极小值点，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x).因为f(x)的单调增区间是(3，0)，单调减区间是(，3)，(0，)，所以f(0)5为函数f(x)的极大值，故f(x)在区间5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者而f(5)5e55f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.