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1、学习必备欢迎下载空间几何体的三视图应用山西省原平一中任所怀随着新课程改革的不断推广和深化，利用三视图培养学生的空间想象能力，从而形成对几何体的整体认识，在立体几何的学习中起到了很大的作用。在教学中， 我觉得对于三视图的认识， 不少学生只能停留在定性研究的基础上，对于定量的应用三视图来更准确的计算几何体的表面积体积等，还存在问题。 于是我在本文中重点谈谈如何利用三视图定量研究几何体。例 1：（改编自人教版普通高中课程标准实验教科书数学P35。3）已知几何体的三视图如下，画出它们的直观图，并根据所标数据计算该几何体的表面积与体积。解：（ 1）这个几何体是由圆柱和圆锥组合而成的组合体。由正视图可知：
2、圆柱的高为4，底面直径为1；圆锥的高为2，底面直径为3. 于是：该几何体的表面积为S=圆柱+S圆锥=+=。该几何体的体积为V=V圆柱+V圆锥=（。（2）这个几何体为棱台。棱台的底面为正方形。下底边长为2，上底边长为4，高为 2. 要注意正视图中等腰梯形的腰正是棱台左、右两侧面的高。侧视图中等腰梯形的腰正是棱台前、后两侧面的高。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载于是该几何体的表面积S=4+16+4=20+12. 它的体积为。点评：解决此类问题的关键在于了解三视图与几何体之间的关系。能够利用三视图判断出几
3、何体的形状与关键的尺寸，从而对几何体进行量化研究。学生容易出错的地方是对棱台正视图的判断，他们容易认为正视图就是棱台的前侧面。这是空间想象能力还有所欠缺，未能准确理解三视图的表现。我们在教学中要把棱台与长方体的三视图加以比较，结合教具，通过比较分析，帮助学生形成正确的认识。跟上面相类似的问题还有人教版普通高中课程标准实验教科书数学第 29 页 B组第 1 题。在这个问题中也涉及到了棱台的体积与表面积计算，读者不妨重新加以练习。返观这几年的高考中有关三视图的考察，主要就是利用三视图判断几何结构，然后画出直观图， 计算几何体的表面积或体积。这样出题体现了知识的综合性，但这个综合程度还仅局限在一章知
4、识的范围内，没更大程度的综合。题目的难度有所上升，由容易题变为中等题。(20XX 年山西高考题（8）)在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为点评：这是一个由正视图与俯视图推想侧视图的问题。它要求学生在所学的常见几何体中进行检索，从而找符合已知条件的几何模型进一步再找到俯视图。首先从俯视图上大致可判断这个几何体是一个组合体，一部分为一个半旋转体，另一部分为三棱锥或三棱柱。再由正视图可判断，这个几何体应为锥体。于是可知它是由一个半圆锥与三棱锥组而成的几何体，从而判断其侧视图为D。但也要注意到这样的推理只是一种合情推理，而非严格的逻辑推理，因为由正视图和俯视图是确定不了
5、侧视图的。只是在中学生的认知范围内，他们能够猜想到的就是半圆锥和三棱锥的组合。 而实际上侧视图为（A）的几何体也是存在的，它的前面一半也是一个三棱锥，而后面一半可理解为半圆柱与一个横放的三棱柱的交集体，当然这样的几何体对高中生来说很难想到， 也无法描述。 这样对此题的回答就造成了一定的思维困难，从而使此题的得分率偏低与此不无关系。（ 20XX 年新课标卷（ 14）正视图为一个三角形的几何体可以是_。（写出三种）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载【答案】 棱锥，三棱柱，圆锥点评：此题的解答相当简单，答案
6、也多种多样。有的同学答三棱锥、四棱锥、五棱锥。有的同学答圆锥、三棱柱、三棱台。显然后者的思维更开阔，前者的思维就比较狭窄。但都是正确的。 我想这样的结果也并不是出题者想要达到的目的。我们在努力能体现学生个性化特征的试题与考试方式，但面对标准考试的方式，我们的努力却总是失败。（20XX 年海南宁夏卷（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为（A）48+12（B）48+24（C）36+12（D）36+24 解：由三视图画出直观图得该几何体是一个三棱锥。底面ABC 为等腰直角三角形，角B 为直角。 DE平面ABC垂足为 E，且 E 为 AC 中点。另外由俯视图知BC=AB=6 ，由
7、正视图知DE=4.侧面 DAB 的高为。于是该棱锥的表面积为S=2（）+=48+12。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载点评：此题就要求学生有一定的空间想象能力，能够准确地由三视图判断出空间几何体的结构特征，进而画出直观图，进行体积或表面积运算。（20XX 年海南宁夏卷（12）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则a + b 的最大值为（）A. B. C. 4 D. 解：根据题意得，所以得因为，所以点评：此题是一个综合性较强的问题，对一条线段三视图的考察可放置在长方体中模型中，加以判断。另外综合的重要不等式，是一个难度适当的综合性题目。作者简介： 任所怀，山西省原平市第一中学一级教师。1996 年毕业于山西师范大学数学系，在中学任教15 年，一直从事高中数学教学与研究工作。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页