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1、-1-考点考点 3333 空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积空间几何体的结构及其三视图和直观图、空间几何体的表面积与体积一、选择题一、选择题1.（20122012江西高考文科江西高考文科7 7）若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A112B.5C.4D.92【解题指南】由三视图想像出几何体的直观图，由直观图求得体积。【解析】选 D.由三视图可判断该几何体为直六棱柱，其底面积为 4,高为 1,所以体积为 4.2.（20122012新课标全国高考文科新课标全国高考文科7 7）与（）与（20122012新课标全国高考理科新课标全国高考理科7 7）相同）相同如
2、图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18【解题指南】由三视图想像出几何体的直观图，由直观图求得体积。【解 析】选 B.由 题 意 知，此 几 何 体 是 三 棱 锥，其 高 h=3，相 应 底 面 面 积 为111=63=9,=93=9233SVSh .3.（20122012新课标全国高考理科新课标全国高考理科T11T11）已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC=2,则此棱锥的体积为（）2.6AB.36C.23D.22【解题指南】思路一：取 AB
3、的中点为D将棱锥分割为两部分，利用B CDSA CDSVVV求体积；思路二：-2-设点O到面ABC的距离为 d,利用123ABCVSd求体积；思路三：利用排除法求解.【解析】选 A方法一：SC是球 O 的直径，90CASCBS1BABCAC，2SC，3ASBS，取 AB 的中点为D，显然ABCD，ABCS，AB平面 CDS在CDS中，32CD，112DS，2SC，利用余弦定理可得1cos,33CDS 故4 2sin33CDS，13114 22222233CDSS13B CDSA CDSCDSVVVSBD+11122133326CDSCDSSADSBA 方法二：ABC的外接圆的半径33r，点O到
4、面ABC的距离2263dRrSC为球O的直径点S到面ABC的距离为2 623d 此棱锥的体积为1132 62233436ABCVSd.方法三：13236ABCVSR排除,B C D.4.（20122012新课标全国高考文科新课标全国高考文科8 8）平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面的距离为2，则此球的体积为（）（A）6（B）4 3（C）4 6（D）6 3【解题指南】利用球心到截面的距离、截面圆的半径、球的半径之间满足勾股关系求得球的半径，然后利用公式求得球的体积。【解析】选 B设球 O 的半径为 R，则22123R，故344 33VR球.5.（20122012陕西高考文科
5、陕西高考文科8 8）将正方形（如图 1 所示）截去两个三棱锥，得到图 2 所示的几何体，则-3-该几何体的左视图为（）【解题指南】结合原正方体，确定两个关键点1B,1D和两条重要线段1DD和1BC的投影.【解析】选 B.图 2 所示的几何体的左视图由点 A，D，1B,1D确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线1AD和1BC是一实一虚，其中要把1DD和1BC区别开来，故选 B.6.（20122012 浙江高考文科浙江高考文科 3 3）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是（）A.1cm3B.2cm3C.3cm3D.6cm3【解题指南】由三视图可知,几何体底面是两直角边分
6、别是 1 和 2 的直角三角形,高为 3 的棱锥.【解析】选 A.三棱锥的体积为:111 2 3132 （cm3）.7.（20122012北京高考文科北京高考文科7 7）与（）与（20122012北京高考理科北京高考理科7 7）相同相同某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）-4-（A）28+6 5（B）30+6 5（C）56+12 5（D）60+12 5【解题指南】由三视图还原直观图，再求表面积.【解析】选 B 直观图如图所示，PBACH底面是边长 AC=5，BC=4 的直角三角形，且过顶点 P 向底面作垂线 PH，垂足在 AC 上，AH=2，HB=3，PH=4.14 5102ABC
7、S，15 4102PACS.因为PHABC 面，所以PHBC.又因为,BCAB PHACH，所以BCPAC 面.所以BCPC.所以14 5102PBCS.在PAB中，2 5,41PAPBAB，取 PA 中点 E，连结 BE，则6BE，所以12 566 52PABS.因此三棱锥的表面积为10 10 106 5306 5.8.（20122012湖南高考理科湖南高考理科3 3）某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是()4234侧（左）视图俯视图正（主）视图-5-【解题指南】从俯视图观察可知，正视图和测试图不同的是 D，正视图应有虚线.【解析】选 D.由“正视图俯视图等长
8、，侧视图俯视图等宽”，知本命题正视图与侧视图相同，可知选 D.9.（20122012湖南高考文科湖南高考文科4 4）某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是()【解题指南】找出正视图和侧视图不相同的俯视图。【解析】选 C.“正视图俯视图等长，侧视图俯视图等宽”，本题正视图与侧视图相同，可知选 C.10.（20122012福建高考文科福建高考文科）与（）与（20122012福建高考理科福建高考理科4 4）相同）相同一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱【解题指南】通过了解基本空间几何体的各个视图分别是什么
9、就能直接解题.【解析】选 D.圆柱的三视图，分别矩形，矩形，圆，不可能三个视图都一样，而球的三视图可以都是圆，三棱锥的三视图可以都是三角形，正方体的三视图可以都是正方形.-6-11.（20122012广东高考理科广东高考理科6 6）某几何体的三视图如图所示，它的体积为A12B.45C.57D.81【解题指南】根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键。本题显然是一个由同底的圆柱和圆锥组成的组合体。【解析】选 C.此几何体是一个组合体，上方为一个圆锥，下方为一个同底的圆柱，所以其体积为2213534573V.12.（20122012广东高考文科广东高考文科7 7）某几何的三视图如图所示
10、，它的体积为A.72B.48C.30D.24【解题指南】根据三视图准确判断出此几何体的形状，是解决本题的关键。显然本题是一个由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体。【解析】选 C.由三视图可知一个由一个半球和倒立的圆锥组成的组合体。2311434330323V.13.（20122012湖北高考理科湖北高考理科4 4）已知某几何体的三视图如图所示，-7-则该几何体的体积为()A.83B.3C.103D.6【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积求法,解答本题的关键是正确的想象出直观图,再补体代入体积公式求解.【解析】选 B.解答本题可采取补上一个与它完全相同的几何体,21163.2v 二、填空题二、
11、填空题14.（20122012湖北高考文科湖北高考文科1515）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为【解题指南】本题考查三视图与组合体的体积求法,解答本题的关键是正确地想象出直观图,再代入体积公式求解.【解析】由本题的三视图可知,该几何体是由三个圆柱组合而成,其中左右两个圆柱等体积.V=2212+124=12.【答案】12.15.（20122012江苏高考江苏高考7 7）在长方体1111ABCDABC D中，13,2ABADcm AAcm，则四棱锥11ABB D D的体积为3cm.-8-【解题指南】关键是求出四棱锥的高，即 A 到面11BB D D的距离.再接利用公式进行求解.【解
12、析】由题意知，四边形 ABCD 为正方形，连接 AC,交 BD 于 O，则 ACBD.由面面垂直的性质定理，可证AO面11BB D D。四棱锥底面11BB D D的面积为3 226 2，从而1111163A BB D DBB D DVOAS.【答案】6.16.（20122012浙江高考理科浙江高考理科1111）已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于_3cm.【解题指南】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直的棱锥，而底面为直角三角形,易由锥体的体积公式可求得.【解析】三棱锥的体积为:11 32132.【答案】1.17.（20122012天津高考理科天津高考理科1010
13、）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_3m.-9-【解题指南】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【解析】组合体的上座是一个长、宽、高分别为 6、3、1 的长方体，下面是两个个底面半径为 1 的相切的球体，所以所求的体积是：2432+=2+6 3 1=18+932VVV 球长方体（）.【答案】.18.（20122012天津高考文科天津高考文科1010）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_3m.【解题指南】由三视图正确判断出组合体的图形是关键.【解析】组合体的底座是一个长、宽、高分别为 4、3、2 的长方体，上面是个平躺着的高为 4 的四棱台，其
14、两个底面的面积相等/32SS=，所以所求的体积是：=6+24=30.【答案】30.19.（20122012 山东高考理科山东高考理科 1414）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，,E F分别为线段11,AA BC-10-上的点，则三棱锥1DEDF的体积为_.【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道CB1上的任意一点到面1DED的距离相等.【解 析】1DED的 面 积 为 正 方 形 面 积 的 一 半，三 棱 锥 的 高 即 为 正 方 体 的 棱 长，所 以612131311111ABADDDhSVVDEDDEDFEDFD.【答案】61.20.（20122
15、012山山东高考文科东高考文科1313）如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，E 为线段1B C上的一点，则三棱锥1ADED的体积为.【解题指南】本题考查利用换顶点法来求三棱锥的体积，只需知道CB1上的任意一点到面1DAD的距离相等.【解析】以1ADD为底面，则易知三棱锥的高为 1，故1 111 1 13 26V .【答案】61.21.（20122012安徽高考理科安徽高考理科1212）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是-11-【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出几何体的直观图.【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱几何体的表面积是2212(
16、25)4(2544(52)4922S.【答案】92.22.22.（20122012安徽高考文科安徽高考文科1212）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于_.【解题指南】根据“长对正、宽相等、高平齐”的原则作出几何体的直观图.【解析】该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的的体积是1(25)4 4562V .【答案】56.23.（20122012 辽宁高考理科辽宁高考理科 1313）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_.-12-【解题指南】读懂三视图，它是长方体（挖去一个底面直径为 2cm 的圆柱），分别求表面积，注意减去圆柱的两个底面积.【解析】一个长方体的
17、长宽高分别为 4,3,1，表面积为4 3 23 1 24 1 238 ；圆柱的底面圆直径 2，母线长 1，侧面积为21 12 ；圆柱的两个底面积2212故该几何体的表面积为382238.【答案】38.24.（20122012 辽宁高考文科辽宁高考文科 1313）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.【解题指南】读懂三视图，它是圆柱和长方体的组合，分别求体积即可.【解析】该组合体上边是一个圆柱，底面圆直径 2，母线长 1；体积2111Vsh 下面是一个长方体；长宽高分别为 4,3,1，体积24 3 112V .故组合体体积1212VV.【答案】12.25.（20122012辽宁高考文
18、科辽宁高考文科1616）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA平面 ABCD，四边形 ABCD是边长为 23正方形.若 PA=26,则OAB 的面积为_.【解题指南】注意到条件中的垂直关系，将点 P,A,B,C,D 看作长方体的顶点来考虑就容易多了.【解析】由题意，PA平面 ABCD，则点 P,A,BC,D,可以视为球 O 的内接长方体的顶点，球 O 位于该长方体的对角线的交点处，那么三角形 OAB 的面积为长方体对角面的四分之一.12 3,2 66=2 36=3 34ABPAPBOABD，面积.-13-【答案】3 3.26.（20122012新课标全国高考文科新课标全国高考文
19、科1 19 9）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=12AA1，D 是棱 AA1的中点.()证明：平面 BDC1平面 BDC；（）平面 BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证平面 BDC1平面 BDC，可证1DC平面 BCD；（2）平面 BDC1分棱柱下面部分1BADC C为四棱锥，可直接求体积，上面部分可用间接法求得体积，从而确定两部分体积之比.【解析】(I)由题设可知11,BCCC BCAC CCACC,所以BC 平面11ACC A.又1DC 平面1
20、1ACC A,所以1DCBC.由题设知1145ADCADC,所以190CDC,即1DCDC.又,DCBCC所以1DC 平面BDC.又1DC 平面1BDC,故平面1BDC平面.BDC(II)设棱锥1BDACC的体积为1V,1AC.由题意得111211 1322V 又三棱柱111ABCABC的体积=1V,所以11-:=1:1V VV.故平面1BDC分此棱柱所得两部分体积的比为 1:1.27.（20122012江西高考文科江西高考文科1919）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DEAB，CFAB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将ADE，CFB
21、分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合与点 G，得到多面体 CDEFG.CBADC1A1-14-（1）求证：平面 DEG平面 CFG；（2）求多面体 CDEFG 的体积.【解题指南】（1）证两个平面垂直，可转化为在其中一个平面内找到一条直线与另一个平面垂直，要证 DEG平面 CFG，可证EGCFG 面；（2）多面体 CDEFG 为四棱锥，由 DEG平面 CFG 得到四棱锥的高，利用体积公式求体积.【解析】（1）由已知可得 AE=3，BF=4，则折叠完后 EG=3，GF=4，又因为 EF=5，所以可得EGGF又因为CFEGF 底面,可得CFEG，即EGCFG 面所以平面 DEG平面 CFG.（2）过点 G 作 GO 垂直于 EF,GO 即为四棱锥 G-EFCD 的高,所以所求体积为13S长方形 DEFCGO=1345125=16.