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1、实用文档2021 年普通高等学校招生统一考试北京卷数学文科本试卷总分值150 分，考试时 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一局部选择题共 40分一、选择题共8 小题，每题5 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1集合1,0,1A，| 11Bxx，那么ABA0B1,0C0,1D1,0,12设a，b，cR，且ab，那么AacbcB11abC22abD33ab3以下函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是A1yxBxyeC21yxDlgyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
2、1 页，共 12 页实用文档4在复平面内，复数(2)ii对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限5在ABC中，3a，5b，1sin3A，那么sin BA15B59C53D16执行如下图的程序框图，输出的S值为A1B23C1321D6109877双曲线221yxm的离心率大于2的充分必要条件是A12mB1mC1mD2m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页实用文档8如图，在正方体1111ABCDA B C D中，P为对角线1BD的三等分点，那么P到各顶点的距离的不同取值有A3个B4个C5个D6个第二局部选择题
3、共 110分二、填空题共6 小题，每题5 分，共 30 分9 假 设 抛 物 线22ypx的 焦 点 坐 标 为(1,0)， 那 么p， 准 线 方 程为。10某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的体积为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页实用文档11假设等比数列na满足2420aa，3540aa，那么公比q；前n项和nS。12设D为不等式组02030 xxyxy所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
4、-第 4 页，共 12 页实用文档13函数12log,1( )2 ,1xxxf xx的值域为。14向量(1, 1)A，(3,0)B，(2,1)C，假设平面区域D由所有满足APABAC12，01的点P组成，那么D的面积为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页实用文档三、解答题共6 小题，共 80 分。解容许写出必要的文字说明，演算步骤15 本小题共13 分函数21( )(2cos1)sin 2cos42f xxxx1求( )f x的最小正周期及最大值。2假设(,)2，且2()2f，求的值。解： 121( )(2cos1
5、)sin2cos42f xxxx1cos2 sin2cos42xxx11sin4cos422xx2sin(4)24x所以，最小正周期242T当4242xkkZ ， 即216kxkZ 时，max2( )2f x2因为22()sin(4)242f， 所以sin(4)14因为2，所以9174444，所以5442，即91616 本小题共13 分以下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染。某人随机选择3 月 1 日至 14 日中的某一天到达该市，并停留2 天。1求此人到达当日空气重度污染的概率。2求此在在
6、该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。3由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？结论不要求证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页实用文档解： 1因为要停留2 天，所以应该在3 月 1 日至 13 日中的某天到达，共有13 种选择，其间重度污染的有两天，所以概率为1213P2此人停留的两天共有13 种选择， 分别是：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14)其中只有一天重度污
7、染的为(4,5)，(5,6)，(7,8)，(8,9)，共 4 种，所以概率为2413P3因为第5，6，7 三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。17 本小题共14 分如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：1PA底面ABCD2/ /BE平面PAD3平面BEF平面PCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页实用文档证明： 1因为PAAD，平面PAD底面ABCD且平面PAD底面ABCDAD所以PA底面ABCD2因为E和F分别
8、是CD和PC的中点，所以/ /EFPD，而EF平面PAD，PD平面PAD，所以/ /BE平面PAD3因为PA底面ABCD，CD平面ABCD所以PACD，即CDPA因为ABAD，/ /CDAB，所以/ /CDAD而PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA所以CD平面PAD因为/ /ABCD，所以2CDAB，所以四边形ABED是平行四边形，所以/ /BEAD，而BE平面PAD，AD平面PAD所以/ /BE平面PAD，同理/ /EF平面PAD，而EF平面BEF，BE平面BEF且EFBEE所以平面/ /BEF平面PAD， 所以CD平面/ /BEF又因为CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD18
9、本小题共13 分函数2( )sincosf xxxxx1假设曲线( )yf x在点( ,( )a f a处与直线yb相切，求a与b的值。2假设曲线( )yf x与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页实用文档解： 1( )2cos(2cos )fxxxxxx因为曲线( )yf x在点( ,( )a f a处的切线为yb所以( )0( )faf ab，即22cos0sincosaaaaaaab，解得01ab2因为2cos0 x所以当0 x时( )0fx，( )fx单调递增当0 x
10、时( )0fx，( )f x单调递减所以当0 x时，( )f x取得最小值(0)1f，所以b的取值范围是(1,)19 本小题共14 分直线ykxm0mW：2214xy相交于A，C两点，O是坐标原点1当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。2当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。解： 1线段OB的垂直平分线为12y，因为四边形OABC为菱形，所以直线12y与椭圆的交点即为A，C两点对椭圆2214xy，令12y得3x,所以2 3AC2方法一：当点B不是W的顶点时，联立方程2214ykxmxy得222(14)8440kxkmxm精选学习资料 - - -
11、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页实用文档设11(,)A x y，12(,)C x y，那么122814kmxxk，21224414mx xk，1212yykxmkxm12()2k xxm228214k mmk2214mk假设四边形OABC为菱形，那么OAOC，即22OAOC所以22221122xyxy即12122121()()()()xxxxyyyy因为点B不是W的顶点，所以120 xx，所以12212112xxyyyyxx即22814214kmkkmk，即4kk所以0k此时，直线AC与y轴垂直，所以B为椭圆的上顶点或下顶点，与矛盾，所
12、以四边形OABC不可能为菱形方法二：因为四边形OABC为菱形，所以OAOC，设OAOCr1r那么A，C两点为圆222xyr与椭圆2214xy的交点联立方程2222214xyrxy得224(1)3rx所以A，C两点的横坐标相等或互为相反数。因为点B在W上假设A，C两点的横坐标相等，点B应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。假设A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。所以四边形OABC不可能为菱形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页实用文档20 本小题共13 分给定数列1a，2a，na。对
13、1,2,3,1in，该数列前i项的最大值记为iA，后ni项1ia，2ia，na的最小值记为iB，iiidAB。1设数列na为3，4，7，1，写出1d，2d，3d的值。2设1a，2a，na4n是公比大于1的等比数列，且10a，证明1d，2d，1nd是等比数列。3设1d，2d，1nd是公差大于0的等差数列，且10d，证明1a，2a，1na是等差数列。解： 1111312dAB，222413dAB，333716dAB2因为1a，2a，na4n是公比大于1的等比数列，且10a所以11nnaa q所以当1,2,3,1kn时，1kkkkkdABaa所以当2,3,1kn时，11111(1)(1)kkkkkk
14、kkdaaaqqqdaaaq所以1d，2d，1nd是等比数列。3假设1d，2d，1nd是公差大于0的等差数列， 那么1210nddd1a，2a，1na应是递增数列，证明如下：设ka是第一个使得1kkaa的项，那么1kkAA，1kkBB，所以111kkkkkkdABABd，与矛盾。所以，1a，2a，1na是递增数列精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页实用文档再证明na数列na中最小项，否那么knaa2,3,1kn，那么显然1k，否那么11111110dABaBaa，与10d矛盾因而2k，此时考虑11110kkkkkdABaa，矛盾因此na是数列na中最小项综上，kkkkndABaa2,3,1kn于是kknada，也即1a，2a，1na是等差数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页