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1、山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10 小题，每小题5 分，满分50 分）1 （ 5 分） （2015?山东一模）复数z=|（i）i|+i5（i 为虚数单位） ，则复数z 的共轭复数为（）A 2i B 2+i C 4i D 4+i 【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i 的运算性质化简后得z，则复数 z 的共轭复数可求【解析】： 解：由 z=|（i） i|+i5=，得：故选： A【点评】： 本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i 的运算性质，是基础题2 （ 5 分） （2015?山东一模）若 1，1?
2、 x|x2tx+t| 1，则实数t 的取值范围是（）A 1，0 B 22，0 C （ ， 2 D 22， 2+2【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 计算题；函数的性质及应用；集合【分析】： 令 y=x2tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围【解析】： 解：令 y=x2tx+t ， 若 t=0，则x|x2 1= 1， 1，成立， 若 t0，则 ymax=（ 1）2t（ 1）+t=2t+1 1，即 t 0，不成立； 若 t0，则 ymax=（1）2t+t=1 1，成立，ymin=（）2 t? +t 1，即 t24t4 0，解得， 22 t 2+2，则 22 t0，综
3、上所述，22 t 0故选 B【点评】： 本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题3 （ 5 分） （2015?山东一模）已知M（ 2，m）是抛物线y2=2px（p0）上一点，则 “ p 1” 是“ 点 M 到抛物线焦点的距离不少于3” 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解析】： 解：抛物线的交点坐
4、标为F（，0） ，准线方程为x=，则点 M 到抛物线焦点的距离PF=2（）=2+，若 p 1，则 PF=2+ ，此时点M 到抛物线焦点的距离不少于3 不成立，即充分性不成立，若点 M 到抛物线焦点的距离不少于3，即 PF=2+ 3，即 p 2，则 p 1，成立，即必要性成立，故“ p 1” 是“ 点 M 到抛物线焦点的距离不少于3” 的必要不充分条件，故选： B 【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键4 （ 5 分） （2015?山东一模）若m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）ABC或D或【考点】： 圆锥曲线的共同特征
5、；等比数列的性质【专题】： 计算题【分析】： 先根据等比中项的性质求得m 的值，分别看当m 大于 0 时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和 b，则 c 可求得，继而求得离心率当 m0，曲线为双曲线，求得a，b 和 c，则离心率可得最后综合答案即可【解析】： 解：依题意可知m= 4 当 m=4 时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则 c=，e= =当 m=4 时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则， e=故选 D 【点评】： 本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度5 （ 5 分） （2015?山东一模）在 ABC 中，若 b=2，A=120 ，三
6、角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）AB 2 C 2D 4 【考点】： 正弦定理【专题】： 解三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页【分析】： 由条件求得c=2=b，可得 B 的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R 的值【解析】： 解：ABC 中，b=2，A=120 ， 三角形的面积S=bc?sinA=c ?，c=2=b，故 B=（180 A）=30 再由正弦定理可得=2R=4，三角形外接圆的半径R=2，故选： B【点评】： 本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题6 （ 5分） （2015?山东一模）某
7、几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A 3 B 4 C 2 D【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出【解析】： 解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4 R2=3 故选： A【点评】： 本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题精选学习资料 - - - - - -
8、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页7（5 分）（2015?山东一模）定义 maxa ， b=， 设实数 x， y 满足约束条件，则 z=max4x+y ，3xy 的取值范围是（）A 8，10 B 7，10 C 6，8 D 7，8【考点】： 简单线性规划【专题】： 分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用【分析】： 由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解析】： 解：由约束条件作出可行域如图，由定义 maxa，b=，得z=max4x+y ，3xy=
9、，当 x+2y 0 时， 化 z=4x+y 为 y=4x+z，当直线 y=4x+z 过 B（2，1）时 z 有最小值为4（ 2）+1=7；当直线 y=4x+z 过 A（2，2）时 z 有最大值为4 2+1 2=10；当 x+2y0 时，化 z=3xy 为 y=3x z，当直线 y=3x z 过 B（ 2，1）时 z有最小值为3（ 2） 1=7；当直线 y=4x+z 过 A（2， 2）时 z 有最大值为4 21 （ 2）=10综上， z=max4x+y ，3xy 的取值范围是 7，10故选： B【点评】： 本题是新定义题， 考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题8 （
10、5 分） （2015?山东一模）函数y=log3（x+3） 1（ a0，且 a 1）的图象恒过定点A，若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上，其中m， n 均大于 0，则的最小值为（）A 2 B 4 C 8 D 16 【考点】： 基本不等式；对数函数的图像与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页【专题】： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 现根据对数函数图象和性质求出点A 的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到 2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】： 解： y=log3（x+3） 1
11、（a0，且 a 1）的图象恒过定点A，当 x+3=1 时，即 x=2 时， y= 1，A 点的坐标为（2， 1） ，点 A 在直线 mx+ny+1=0 上， 2mn+1=0，即 2m+n=1，m，n 均大于 0，=+=2+2 4+2=8，当且仅当m=， n=时取等号，故的最小值为8，故选： C 【点评】： 本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9（5分）（2015?山东一模）已知 ABC 中， 内角 A、 B、 C所对的边分别为a， b， 且 acosC+c=b，若 a=1，c2b=1，则角 B 为（）ABCD【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： 已知等
12、式利用正弦定理化简，整理求出cosA 的值，求出A 的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与 sinA 的值代入得到关于b 与 c 的方程，与已知等式联立求出b 与 c的值，再利用正弦定理求出sinB 的值，即可确定出B 的度数【解析】： 解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ，由 sinC 0，整理得： cosA=，即 A=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即 1=b2+c2bc ，与c2b=1 联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得： sinB=，bc， BC，则 B=故选： B【点评
13、】： 此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页10 （5 分） （2015?山东一模）设定义在D 上的函数y=h（x）在点 P（x0， h（x0） ）处的切线方程为l： y=g（ x） ，当 x x0时，若 0 在 D 内恒成立，则称P 为函数y=h（x）的 “ 类对称点 ” ，则 f（x） =x26x+4lnx 的 “ 类对称点 ” 的横坐标是（）A 1 BC e D【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；新定义；导数的概
14、念及应用；导数的综合应用【分析】： 当 a=4 时，函数y=H（ x）在其图象上一点P（x0，f（x0） ）处的切线方程为y=g（x）=（2x0+ 6） （x x0）+x026x0+4lnx0 由此能推导出y=h（x）存在 “ 类对称点 ” ，是一个 “ 类对称点 ” 的横坐标【解析】： 解：当 a=4 时，函数 y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0） ）处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+6） （xx0）+x026x0+4lnx0，设 m（x）=h（x） g（x）=x26x+4lnx （ 2x0+6） （xx0） x02+6x04lnx0，则 m（x0）=0m（ x）=2x+6（
15、 2x0+ 6）=2（ xx0） （1）=（xx0） （x）若 x0， （x）在（ x0，）上单调递减，当 x （x0，）时， m（ x） m（x0） =0，此时0；若 x0， （x）在（， x0）上单调递减，当 x （，x0）时， m（ x） m（x0） =0，此时0；y=h（x）在（ 0，）（，+）上不存在 “ 类对称点 ” 若 x0=，（x）20，m（x）在（ 0，+）上是增函数，当 xx0时， m（x） m（x0）=0，当 xx0时， m（x） m（x0）=0，故0即此时点 P 是 y=f（x）的 “ 类对称点 ”综上， y=h（x）存在 “ 类对称点 ” ，是一个 “ 类对称点 ”
16、的横坐标故选 B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页【点评】： 本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“ 类对称点 ” 解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分11 （5 分） （2015?山东一模）已知函数f（x）=|2xa|+a，若不等式f（x） 6 的解集为 x|2 x 3，则实数a 的值为a=1【考点】： 其他不等式的解法【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 不等式即 |2
17、xa| 6a，解得 a3 x 3再由已知不等式的解集为x|2 x 3 ，可得 a 3=2，由此求得实数a的值【解析】： 解：由题意可得，不等式即|2xa| 6a，a6 2xa 6a，解得 a3 x 3再由不等式的解集为x|2 x 3 ，可得 a3=2，故a=1，故答案为a=1【点评】： 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题12 （5 分） （2015?山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y 的焦点为F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点M，与其准线相交于点N，则 |FM|：|MN|=1：【考点】： 抛物线的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程
18、【分析】： 求出抛物线C 的焦点 F 的坐标，从而得到AF 的斜率 k=过 M 作 MPl 于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|Rt MPN 中，根据 tanMNP=，从而得到 |PN|=2|PM|，进而算出 |MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值【解析】： 解：抛物线C：x2=4y 的焦点为F（0， 1） ，点 A 坐标为（ 2，0） ，抛物线的准线方程为l：y=1，直线 AF 的斜率为k=，过 M 作 MPl 于 P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM| ，Rt MPN 中， tanMNP= k=，=，可得 |PN|=2|PM|，得|MN|=|PM| 因此可得 |FM
19、|：|MN|=|PM| ：|MN|=1 ：故答案为： 1：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页【点评】： 本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题13 （5 分） （2015?山东一模）已知函数则=【考点】： 定积分【专题】： 导数的综合应用【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（ y 0）的面积，即可得出利用微积分基本定理即可得出dx=【解析】： 解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y 0）的
20、面积，=又dx=e2e=好故答案为：【点评】： 本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题14 （5 分） （2015?山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5 的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96 （用数字作答）【考点】： 排列、组合及简单计数问题【专题】： 概率与统计精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页【分析】： 根据题意，先将票分为符合题意要求的4 份，可以转化为将1、2、3、4、5 这五个数用 3 个板子隔开， 分为四
21、部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的 4 份对应到4 个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案【解析】： 解：先将票分为符合条件的4 份，由题意， 4 人分 5 张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1 人 2 张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5 这五个数用 3 个板子隔开， 分为四部分且不存在三连号在 4 个空位插3 个板子， 共有 C43=4 种情况，再对应到4 个人，有A44=24 种情况，则共有4 24=96 种情况故答案为96【点评】： 本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5 这五个数用
22、 3 个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决15 （5 分） （2015?山东一模）已知函数f（ x）=xex，记 f0（x）=f （x） ，f1（x）=f（x0） ， ，fn（x）=f n1（x）且 x2x1，对于下列命题： 函数 f（x）存在平行于x 轴的切线；0； f2012（x）=xex+2014ex； f（x1）+x2f（x2）+x1其中正确的命题序号是（写出所有满足题目条件的序号）【考点】： 导数的运算【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 根据导数的几何意义判断 正确，根据导数和函数的单调性判断 错；根据导数的运算，得到 正确，根据导数与函数的单调性的关系判断 错【解析】
23、： 解：对于 ，因为 f （x）=（x+1）ex，易知 f（ 1）=0，函数 f（x）存在平行于 x 轴的切线，故 正确；对于 ，因为 f（ x）=（x+1）ex，所以 x （ ，1）时，函数 f（x）单调递减， x （1，+）时，函数f（x）单调递增，故0 的正负不能定，故 错；对于 ，因为 f1（x）=f （x0）=xex+2ex，f2（x）=f（x1） =xex+3ex， ，fn（x） =fn1（ x）=xex+（n+1）ex，所以 f2012（x）=f2013（x）=xex+2014ex；故 正确；对于 ，f（ x1）+x2 f（x2）+x1等价于 f（x1） x1f（x2） x2，构
24、建函数h（x）=f（ x）x，则 h（ x）=f （x） 1=（x+1）ex1，易知函数h（x）在 R 上不单调，故 错；故答案为： 【点评】： 本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页16 （12 分） （2015?山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin （x） （1）求 f（x）的单调递增区间；（2）在 ABC 中，角 A， B，C 的对
25、边分别为a，b，c已知 f（A）=，a=b，证明：C=3B【考点】： 两角和与差的正弦函数；正弦定理【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】： （1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由 f（A）=，及 0A ，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证【解析】： （1）解：函数f（x）=2sinx+2sin （x）=2（ sinx+sinxcosx）=2（sinxcosx）=2sin（ x） ，令 2k x 2k，k Z，则 2k x 2k，则 f（x）的单调递增区间是2k ，2k，k Z（2）证明：由f（ A） =，则 sin
26、（A）=，由 0A ，则A，则 A=，由=，a=b，则 sinB=，由 ab，A=，B=，C=，故 C=3B【点评】： 本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题17 （12 分） （2015?山东一模） 2008 年中国北京奥运会吉祥物由5 个“ 中国福娃 ” 组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮现有8 个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量1 1 1 2 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页从中随机地选
27、取5 只（）求选取的5 只恰好组成完整“ 奥运吉祥物 ” 的概率；（）若完整地选取奥运会吉祥物记10 分；若选出的5 只中仅差一种记8 分；差两种记6分；以此类推设 表示所得的分数，求 的分布列及数学期望【考点】： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据排列组合知识得出P=运算求解即可（）确定 的取值为： 10，8，6，4分别求解P（ =10） ，P（ =8） ，P（ =6） ，P（ =4） ，列出分布列即可【解析】： 解： （）选取的5 只恰好组成完整“ 奥运吉祥物 ” 的概率 P=，（） 的取值为： 10，8，6，4P（ =10）=，
28、P（ =8）=，P（ =6）=，P（ =4）= 的分布列为： 10 8 6 4 P E =7.5【点评】： 本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页18 （12 分） （2015?山东一模）在正三角形ABC 中， E、F、P分别是 AB 、AC、BC 边上的点，满足 AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图 1） 将AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置，使二面角 A
29、1 EFB 成直二面角，连结A1B、A1P（如图 2）（1）求证： A1E平面 BEP （2）求直线A1E 与平面 A1BP 所成角的大小；（3）求二面角BA1PF 的余弦值【考点】： 与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【专题】： 空间角【分析】： （1）设正三角形ABC 的边长为3在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DF由已知条件推导出 ADF 是正三角形，从而得到EFAD 在图 2 中，推导出 A1EB 为二面角 A1EFB 的平面角，且A1EBE由此能证明A1E平面 BEP（2）建立分别以EB、EF、EA 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的空间直角
30、坐标系，利用向量法能求出直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角的大小（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F 的法向量，利用向量法能求出二面角BA1PF 的余弦值【解析】： （1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3在图 1 中，取 BE 的中点 D，连结 DFAE：EB=CF ：FA=1： 2， AF=AD=2 ，而 A=60 度， ADF 是正三角形，又AE=DE=1 ， EFAD 在图 2 中， A1EEF， BEEF， A1EB 为二面角A1EFB 的平面角由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE又 BE EF=E， A1E平面 BEF，即 A1E平面 BEP（2）建立分
31、别以EB、EF、EA 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的空间直角坐标系，则 E（0，0，0） ，A（0，0，1） ，B（2，0， 0） ，F（0，0） ，P （1，0） ，则，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页设平面 ABP 的法向量为，由平面 ABP 知，即令，得，直线 A1E 与平面 A1BP 所成的角为60 度（3），设平面 A1FP 的法向量为由平面 A1FP 知，令 y2=1，得，所以二面角BA1PF 的余弦值是【点评】： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求
32、法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19 （12 分） （2015?山东一模） 数列 an中，a1=1，当 n 2 时，其前 n 项和为 Sn，满足 Sn2=an（Sn） （1）求 Sn的表达式；（2）设 bn=，数列 bn的前 n 项和为 Tn，不等式 Tn（m25m）对所有的n N*恒成立，求正整数m 的最大值【考点】： 数列的求和；数列递推式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （1）当 n 2 时， an=SnSn1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利
33、用 “ 裂项求和 ” 、一元二次不等式的解法即可得出【解析】： 解： （1） Sn2=an（Sn）=化为，数列是首项为=1，公差为2 的等差数列故=1+2（ n1）=2n1，Sn=（2）bn=，故 Tn=+ +=又不等式Tn（m25m）对所有的n N*恒成立，（m25m） ，化简得： m25m6 0，解得： 1 m 6正整数m 的最大值为6【点评】： 本题考查了递推式的应用、“ 裂项求和 ” 、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20 （13 分） （2015?山东一模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（ 1，0）
34、，P 为椭圆 G 的上顶点，且PF1O=45 （）求椭圆G 的标准方程；（）已知直线l1： y=kx+m1与椭圆 G 交于 A，B 两点，直线l2：y=kx+m2（m1 m2）与椭圆 G 交于 C，D 两点，且 |AB|=|CD| ，如图所示（）证明： m1+m2=0；（）求四边形ABCD 的面积 S的最大值【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】： 综合题【分析】： （）根据F1（ 1，0） ， PF1O=45 ，可得 b=c=1，从而 a2=b2+c2=2，故可得椭圆 G 的标准方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
35、 -第 14 页，共 17 页（）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ， D（ x4，y4） （）直线 l1：y=kx+m1与椭圆 G 联立，利用韦达定理， 可求 AB，CD 的长，利用 |AB|=|CD| ，可得结论；（）求出两平行线AB， CD 间的距离为d，则，表示出四边形ABCD 的面积 S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD 的面积 S取得最大值【解析】： （）解：设椭圆G 的标准方程为因为 F1（ 1，0） ， PF1O=45 ，所以 b=c=1所以， a2=b2+c2=2 （2 分）所以，椭圆G 的标准方程为 （3 分）（）设 A（x1，y1） ，B
36、（x2，y2） ，C（x3，y3） ， D（ x4，y4） （）证明：由消去 y 得：则， （5 分）所以=同理 （7 分）因为 |AB|=|CD|，所以因为m1 m2，所以 m1+m2=0 （9 分）（）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB， CD 间的距离为d，则因为m1+m2=0，所以 （10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页所以=（或）所以当时，四边形ABCD 的面积 S取得最大值为 （ 12 分）【点评】： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查
37、三角形的面积， 同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长， 表示出四边形的面积是解题的关键21 （14 分） （2015?山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1） axx2（）若x=1 为函数 f（x）的极值点，求a 的值；（）讨论f（x）在定义域上的单调性；（）证明：对任意正整数n，ln（n+1） 2+【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【专题】： 导数的综合应用【分析】： （I）由，f （1）=0，知，由此能求出a（）由，令 f（x）=0，得 x=0，或，又 f（x）的定义域为（ 1， +） ，讨论两个根及1 的大小关系，即可判定函
38、数的单调性；（）当 a=1 时， f（x）在 0，+）上递减， f（x） f（0） ，即 ln（x+1） x+x2，由此能够证明 ln（n+1） 2+【解析】： 解： （1）因为，令 f（1）=0，即，解得 a=4，经检验：此时，x （0，1） ，f（x） 0，f（x）递增； x （1，+） ，f（x） 0，f（x）递减，f（x）在 x=1 处取极大值满足题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页（2），令 f（x）=0，得 x=0，或，又 f（x）的定义域为（1， +） 当，即 a 0 时，若 x （ 1，0） ，
39、则 f（x） 0，f（x）递增；若x （0，+） ，则 f（x） 0，f（x）递减； 当，即 2a0 时，若 x （ 1，则 f（x） 0，f（x）递减；若， 0） ，则 f（x） 0， f（x）递增；若x （0，+） ，则 f（x） 0，f（x）递减； 当，即 a=2 时， f（x） 0，f（x）在（ 1，+）内递减， 当，即 a 2 时，若 x （ 1，0） ，则 f（x） 0，f（x）递减；若x （ 0，则 f（x） 0，f（ x）递增；若，+） ，则 f（x） 0，f（ x）递减；（3）由（ 2）知当 a=1 时， f（x）在 0，+）上递减， f（x） f（0） ，即 ln（x+1） x+x2， i=1，2，3， ，n，【点评】： 本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明： 对任意的正整数n解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页