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1、1.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 2012年福州市中考第21 题满分解答（1）QB82t，PD43t（2）如图 3，作 ABC 的平分线交CA 于 P，过点 P 作 PQ/AB 交 BC 于 Q，那么四边形 PDBQ 是菱形过点 P 作 PEAB，垂足为 E，那么 BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10图 3 在 RtAPE 中，23cos5AEAAPt，所以103t当 PQ/AB 时，CQCPCBCA，即106386CQ解得329CQ所以点 Q 的运动速度为3210169315（3）以 C 为原点建立直角坐标系如图 4，当 t0 时， PQ 的中点就是AC 的中点 E
2、(3，0)如图 5，当 t4 时， PQ 的中点就是PB 的中点 F(1，4)直线 EF 的解析式是y 2x6如图 6，PQ 的中点 M 的坐标可以表示为（62t，t） 经验证，点M（62t，t）在直线 EF 上所以 PQ 的中点 M 的运动路径长就是线段EF 的长， EF2 5图 4 图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t2 时， PQ 的中点为 (2，2)设点 M 的运动路径的解析式为yax2bxc，代入 E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,422.abcabcabc解得 a0，b 2，c6所以点 M 的运动路径的解析
3、式为y 2x6例 2 2012年烟台市中考第26 题满分解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页（1）A(1, 4)因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为ya(x1)24，代入点 C(3, 0)，可得 a 1所以抛物线的解析式为y (x1)2 4 x2 2x3（2）因为 PE/BC，所以2APABPEBC因此1122PEAPt所以点 E 的横坐标为112t将112xt代入抛物线的解析式，y (x1)242144t所以点 G 的纵坐标为2144t于是得到2211(4)(4)44GEtttt因此22111()(2)12
4、44ACGAGECGESSSGE AFDFttt所以当 t1 时， ACG 面积的最大值为1（3）2013t或208 5t考点伸展第（ 3）题的解题思路是这样的：因为 FE/QC，FEQC，所以四边形FECQ 是平行四边形再构造点F 关于 PE 轴对称的点 H ，那么四边形EH CQ 也是平行四边形再根据 FQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形FECQ 是否为菱形，根据EQCQ 列关于 t 的方程，检验四边形EH CQ 是否为菱形1(1,4)2Ett，1(1,4)2Ft，(3, )Qt，(3,0)C如图 2，当 FQCQ 时， FQ2CQ2，因此2221(2)(4)2ttt整理，得24080
5、0tt解得1208 5t，2208 5t（舍去）如图 3，当 EQCQ 时， EQ2CQ2，因此2221(2)(42 )2ttt整理，得213728000tt(1320)(40)0tt所以12013t，240t（舍去）图 2 图 3 例 3 2011年上海市中考第24 题满分解答（1）当 x 0 时，3334yx，所以点 A 的坐标为 (0，3)，OA3如图 2， 因为 MOMA， 所以点 M 在 OA 的垂直平分线上， 点 M 的纵坐标为32 将32y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页代入32yx，得 x 1所以
6、点M 的坐标为3(1,)2因此132AM（2）因为抛物线yx2bxc 经过 A(0，3)、M3(1, )2，所以3,31.2cbc解得52b，3c所以二次函数的解析式为2532yxx（3）如图 3，设四边形ABCD 为菱形，过点A 作 AECD，垂足为E在 RtADE 中，设 AE4m， DE3m，那么 AD5m因此点 C 的坐标可以表示为(4m，32m)将点 C(4m，32m)代入2532yxx，得23216103mmm解得12m或者 m0（舍去）因此点 C 的坐标为（ 2，2） 图 2 图 3 考点伸展如果第（ 3）题中，把“四边形ABCD 是菱形”改为“以A、B、C、D 为顶点的四边形是
7、菱形”，那么还存在另一种情况：如图 4，点 C 的坐标为7 27(,)4 16图 4 例 4 2011年江西省中考第24题满分解答（1）抛物线c2的表达式为233yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页（2）抛物线 c1：233yx与 x 轴的两个交点为( 1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)抛物线 c2：233yx与 x 轴的两个交点也为(1，0)、(1，0)，顶点为(0,3)抛物线 c1向左平移m 个单位长度后，顶点M 的坐标为(,3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Am、(1,0)Bm，AB2抛物线 c
8、2向右平移m 个单位长度后，顶点N 的坐标为( ,3)m，与 x 轴的两个交点为( 1,0)Dm、(1,0)Em所以 AE(1m) (1m)2(1m)B、 D 是线段 AE 的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B 在 D 的左侧，此时123ABAE，AE 6所以 2(1m)6解得m2情形二，如图3，B 在 D 的右侧，此时223ABAE，AE 3所以 2(1m)3解得12m图 2 图 3 图 4 如果以点A、N、E、M 为顶点的四边形是矩形，那么AEMN2OM而 OM2m23，所以 4(1m)24(m23)解得 m1（如图 4） 考点伸展第（ 2）题，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的
9、方法：在等腰三角形ABM 中，因为AB2，AB 边上的高为3，所以 ABM 是等边三角形同理 DEN 是等边三角形当四边形ANEM 是矩形时， B、D 两点重合因为起始位置时BD 2，所以平移的距离m 1例 5 2010年河南省中考第23 题满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于 A( 4,0)、C(2,0)两点，设ya(x4)(x2)代入点B(0,4)，求得12a所以抛物线的解析式为211(4)(2)422yxxxx(2)如图 2，直线AB 的解析式为y x 4过点M 作 x 轴的垂线交AB 于 D，那么2211(4)(4)222MDmmmmm所以2142MDAMDBSSSMD OAmm2(
10、2)4m因此当2m时， S取得最大值，最大值为4(3) 如果以点P、Q、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ/OB，PQOB 4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页设点 Q 的坐标为( ,)xx，点 P 的坐标为21( ,4)2xxx当点 P 在点 Q 上方时，21(4)()42xxx解得22 5x此时点 Q 的坐标为( 22 5,22 5)（如图 3） ，或( 22 5,22 5)（如图 4） 当点 Q 在点 P 上方时，21()(4)42xxx解得4x或0 x（与点 O 重合，舍去）此时点Q 的坐标为 (
11、4,4) （如图 5） 图 3 图 4 图 5 考点伸展在本题情境下，以点P、Q、B、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图 6，Q(2,2)；如图 7，Q(2,2)；如图 8，Q(4,4)图 6 图 7 图 8 例 6 2010年山西省中考第26 题满分解答(1)如图 2，作 BHx 轴，垂足为H，那么四边形BCOH 为矩形， OHCB3在 RtABH 中， AH3，BA3 5，所以 BH6因此点B的坐标为 (3,6)(2) 因为 OE2EB，所以223EBxx，243EByy，E(2,4)设直线 DE 的解析式为ykxb，代入 D(0,5)，E(2,4)，得5,24.bkb解得12k，精
12、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页5b所以直线DE 的解析式为152yx(3) 由152yx，知直线DE 与 x 轴交于点F(10,0)，OF 10，DF 5 5如图 3，当 DO 为菱形的对角线时，MN 与 DO 互相垂直平分， 点 M 是 DF 的中点 此时点 M 的坐标为 (5,52)，点 N 的坐标为 (5,52)如图 4，当 DO、DN 为菱形的邻边时，点N 与点 O 关于点 E 对称，此时点N 的坐标为(4,8)如图 5，当 DO、DM 为菱形的邻边时，NO5，延长 MN 交 x 轴于 P由 NPO DO
13、F ，得NPPONODOOFDF，即55105 5NPPO解得5NP，2 5PO此时点N 的坐标为( 2 5,5)图 3 图 4 考点伸展如果第（ 3）题没有限定点N 在 x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图6 的情形图 5 图 6 例 7 2009年福州市中考第21 题满分解答（1）BE、PE、BF 三条线段中任选两条（2）如图 2，在 Rt CEH 中， C 60， EC x，所以xEH23因为 PQFEBE4x，所以xxxxEHPQSEFPQ3223)4(232平行四边形（3）因为xxSEFPQ32232平行四边形322232）（x，所以当x2 时，平行四边形EFPQ 的面积最大精选学习
14、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页此时 E、F、P 分别为 ABC 的三边 BC、AB、AC 的中点， 且 C、Q 重合， 四边形 EFPQ是边长为2 的菱形（如图3） 图 2 图 3 过点 E 点作 EDFP 于 D，则 ED EH3如图 4，当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是2 个时， 0r3；如图 5，当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是4 个时， r3；如图 6，当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是6 个时，3r2；如图 7，当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交
15、点的总个数是3 个时， r2 时；如图 8，当 E 与平行四边形EFPQ 的四条边交点的总个数是0 个时， r2 时图 4 图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展本题中 E 是边 BC 上的动点， 设 ECx， 如果没有限定0 x2， 那么平行四边形EFPQ的面积是如何随x 的变化而变化的？事实上，当x2 时，点 P 就不存在了，平行四边形EFPQ 也就不存在了因此平行四边形EFPQ 的面积随x 的增大而增大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页例 8 2009年江西省中考第24题满分解答（1）A（ 1，0） ，B（
16、 3，0） ， C（0，3） 抛物线的对称轴是x 1（2）直线BC 的解析式为y x3把 x1 代入 y x 3，得 y2所以点E 的坐标为（ 1，2） 把 x1 代入322xxy，得 y4所以点D 的坐标为（ 1，4） 因此 DE=2因为PF/DE，点P 的横坐标为m，设点P 的坐标为)3,(mm，点F 的坐标为)32,0(2mm，因此mmmmmFP3)3()32(22当四边形PEDF 是平行四边形时，DE=FP于是得到232mm解得21m，12m（与点 E 重合，舍去） 因此，当 m=2 时，四边形PEDF 是平行四边形时设直线 PF 与 x 轴交于点M，那么 OM+BM=OB=3因此BM
17、FPOMFPSSSSCPFBPFBCF2121mmmm29233)3(2122m 的变化范围是0m3图 2 图 3 考点伸展在本题条件下，四边形PEDF 可能是等腰梯形吗？如果可能，求m 的值；如果不可能，请说明理由如图 4，如果四边形PEDF 是等腰梯形，那么DG=EH，因此EPFDyyyy于是2)3()32(42mmm解得01m（与点 CE 重合，舍去） ，12m（与点 E 重合，舍去） 因此四边形PEDF 不可能成为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页图 4 1.5 因动点产生的梯形问题例 1 2012
18、年上海市松江区中考模拟第24 题思路点拨1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了2抛物线向右平移， 不变的是顶点的纵坐标，不变的是 D、 P 两点间的垂直距离等于73已知 DPE 的正切值中的7 的几何意义就是D、P 两点间的垂直距离等于7，那么点 P 向右平移到直线x3 时，就停止平移满分解答（1）直线 y3x3 与 x 轴的交点为A(1，0)，与 y 轴的交点为B(0,3)将 A(1，0)、B(0,3)分别代入yax22xc，得20,3.acc解得1,3.ac所以抛物线的表达式为yx22x3对称轴为直线x 1，顶点为 (1,4)（2
19、）如图2，点 B 关于直线l 的对称点C 的坐标为 (2,3)因为 CD/AB，设直线CD 的解析式为y3xb，代入点 C(2,3)，可得 b3所以点 D 的坐标为（ 0，3） 过点 P 作 PHy 轴，垂足为H，那么 PDH DPE 由73tanDPE，得3tan7PHPDHDH而 DH7，所以 PH3因此点 E 的坐标为（ 3，6） 所以1()242BDEPSBDEPPH梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页图 2 图 3 考点伸展第（ 2）用几何法求点D 的坐标更简便：因为 CD/AB，所以 CDB ABO因
20、此13BCOABDOB所以 BD3BC6，OD3因此 D（0，3） 例 2 2012年衢州市中考第24题思路点拨1如果四边形ABPM 是等腰梯形，那么AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分成的3 小段，两侧的线段长线段2 AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，可以通过割补得到，即OFG减去 OEH3求 OEH 的面积时，如果构造底边OH 上的高 EK，那么 RtEHK 的直角边的比为124设点 A移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示满分解答（1）将 A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入yax2
21、bxc，得2,0,421.abccabc解得32a，72b，0c所以23722yxx（2）如图 2，过点 P、M 分别作梯形ABPM 的高 PP 、MM ，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么AMBP ，因此 yAy M yP yB直线 OC 的解析式为12yx，设点 P 的坐标为1( ,)2xx，那么237( ,)22M xxx解方程23712()222xxx ，得123x，22xx2 的几何意义是P 与 C 重合，此时梯形不存在所以2 1(, )3 3P图 2 图 3 （3）如图 3， AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作 EK OD 于 K设点 A移动的水平距离为m，那
22、么 OG1 m， GB m在 RtOFG 中，11(1)22FGOGm所以21(1)4OFGSm在 RtAHG 中， A G2m，所以111(2)1222HGA Gmm所以13(1)(1)22OHOGHGmmm在 RtOEK 中， OK2 EK；在 RtEHK 中， EK 2HK ；所以 OK4HK精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页因此4432332OKOHmm所以12EKOKm所以211332224OEHSOHEKm mm于是22213111(1)44224OFGOEHSSSmmmm2113()228m因为 0
23、m1，所以当12m时， S取得最大值，最大值为38考点伸展第（ 3）题也可以这样来解：设点A的横坐标为a由直线 AC：y x3，可得 A (a, a3)由直线 OC：12yx ，可得1( ,)2F aa 由直线 OA：y2x 及 A(a, a3)，可得直线OA：y2x3a3，33(,0)2aH由直线 OC 和直线 OA可求得交点E(2a2，a1)由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得例 3 2011年北京市海淀区中考模拟第24 题答案（1）抛物线的解析式为y x2 2x，直线的解析式为y2x（2）如图 1，当 P 为 OA 的中点时，PQ 的长度取得最大值为4（3）如图 2，如果四边形AOM
24、N 是梯形，那么点N 的坐标为 (3，3)，梯形 AOMN 的面积为 9图 1 图 2 例 4 2011年义乌市中考第24 题思路点拨1第（ 2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况2第（ 3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点满分解答（1）设抛物线的解析式为2(4)ya xk，代入A（ 2， 0） 、C(0，12) 两点，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页40,1612.akak解得1,4.ak所以二次函数的解析式为22(4)4
25、812yxxx，顶点 P 的坐标为（ 4， 4） （2）由2812(2)(6)yxxxx，知点 B 的坐标为（ 6，0） 假设在等腰梯形OPBD，那么 DPOB6设点 D 的坐标为 (x，2x)由两点间的距离公式，得22(4)(24)36xx解得25x或 x 2如图 3，当 x 2 时，四边形ODPB 是平行四边形所以，当点D 的坐标为 (52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形图 3 图 4 图 5 （3）设 PMN 与 POB 的高分别为PH、PG在 RtPMH 中，2PMt， PHMHt 所以24P Gt在 RtPNH 中， PHt ，1122NHPHt所以32MNt 如图 4， 当
26、0t2 时，重叠部分的面积等于PMN 的面积此时2133224St tt如图 5，当 2t4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN 的面积减去 PDC 的面积由于2P DCPMNSP GSPH，所以2222433(24)44P DCtSttt此时222339(24)1212444Stttt考点伸展第（ 2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以P 为圆心， OB 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的
27、顶点例 5 2010 年杭州市中考第24 题思路点拨1第（ 1）题求点 M 的坐标以后， RtOCM 的两条直角边的比为12，这是本题的基本背景图2第（ 2）题中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于 t 与 x 的比例式，从而得到t 关于 x 的函数关系3探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH 与精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页MO 的长度比满分解答(1)因为 ABOC 4，A、B
28、关于 y 轴对称，所以点A 的横坐标为2将 x 2代入 y2114x，得 y2所以点M 的坐标为（ 0，2） (2) 如图 2，过点 Q 作 QHx 轴，设垂足为H，则 HQ y2114x，HPx t 因 为CM/PQ ， 所 以 QPH MCO 因 此tan QPH tan MCO ， 即12HQOMHPOC所以2111()42xxt整理，得2122txx如图 3，当 P 与 C 重合时，4t，解方程21422xx，得15x如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x 的取值范围是15x，且 x 2 的所有实数图 2 图 3 图 4 因为 sinQP
29、HsinMCO，所以HQOMPQCM，即PQHQCMOM当12PQHQCMOM时，112HQOM解方程21114x，得0 x（如图 5） 此时2t当2PQHQCMOM时，24HQOM解方程21144x，得2 3x如图 6，当2 3x时，82 3t；如图 6，当2 3x时，82 3t图 5 图 6 图 7 考点伸展本题情境下，以Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？设点 Q 的坐标为21,14xx，那么222222111144QMxxx而点 Q 到 x 轴的距离为2114x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页
30、，共 26 页因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心Q 到 x 轴的距离，圆Q 与 x 轴相切例 6 2010年上海市奉贤区中考模拟第24 题思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便2过 AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形3用抛物线的解析式可以表示点M 的坐标满分解答(1)因为 BC/x 轴，点 D 在 BC 上， C(0,2)，所以点 D 的纵坐标为 2把 y 2 代入xy32，求得 x3所以点D 的坐标为 (3,2)(2)由于抛物线与x 轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入 D (3,2)，得23a所求的二次函数解
31、析式为2228(4)333yx xxx(3) 设点 M 的坐标为228,33xxx如图 2，当 OM/DA 时，作 MNx 轴， DQx 轴，垂足分别为N、Q由 tanMONtanDAQ，得228332xxx因为 x0 时点 M 与 O 重合，因此28233x，解得 x7此时点M 的坐标为（ 7，14） 如图 3，当 AM/OD 时，由 tanMAN tanDOQ，得22823343xxx因为 x4 时点 M 与 A 重合， 因此2233x， 解得 x 1 此时点 M 的坐标为10( 1,)3如图 4，当 DM /OA 时，点 M 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，此时点M 的坐标为（1， 2
32、） 图 2 图 3 图 4 考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页第（ 3）题的、用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等如果用代数法进行，计算过程比较麻烦以为例，先求出直线AD 的解析式，再求出直线 OM 的解析式，最后解由直线OM 和抛物线的解析式组成的二元二次方程组例 7 2009年广州市中考第25题思路点拨1根据 ABC 的面积和AB 边上的高确定AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示2数形结合，根据点A、B、C 的坐标确定OA、OB、OC 间的数量关系，得到AOC COB，从
33、而得到 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出m 的取值范围3根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D 有两个， 但是求点D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些满分解答（1）因为 OC1， ABC 的面积为45，所以 AB25设点 A 的坐标为（ a，0） ，那么点B 的坐标为（ a25， 0） 设抛物线的解析式为)25)(axaxy， 代入点 C （0， 1） ， 得1)25(aa 解得21a或2a因为二次函数的解析式qpxxy2中，0p， 所以抛物线的对称轴在y 轴右侧因此点 A、B 的坐标分别为)0 ,21(，)0 ,2(所
34、以抛物线的解析式为123)2)(21(2xxxxy（2） 如图 2， 因为1OBOA，12OC，所以OBOCOCOA 因此 AOC COB所以 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB因此 m 的取值范围是45m45图 2 图 3 图 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页（3）设点 D 的坐标为)2)(21(,(xxx如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于D，过点 D 作 DEx 轴于 E因为OBCDABtantan，所以21BOCOAEDE因此2121)2)(21(xxx解得25x
35、此时点D 的坐标为)23,25(过 点B 作AC的 平 行 线 交 抛 物 线 于D ， 过 点D作DF x 轴 于F 因 为CAODBFt ant an， 所以2AOCOBFDF 因此22)2)(21(xxx 解得25x 此时点 D 的坐标为)9 ,25(综上所述，当D 的坐标为)23,25(或)9 ,25(时，以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形考点伸展第（ 3）题可以用代数的方法这样解：例如图3，先求得直线BC 为121xy，再根据 AD/BC 求得直线AD 为4121xy，由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组，得到点 D 的坐标1.7 因动点产生的相切问题例 1 2012
36、 年河北省中考第25 题如图 1，A(5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO45， CD/AB，CDA90点 P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒1 个单位长的速度运动，运动时间为t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当 BCP15时，求t 的值；（3）以点 P 为圆心， PC 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 河北 25” ，拖动圆心P 在点 Q 左侧运动，可以体验到，P可以与直线BC、直线 DC、直线 AD 相切，不能与直线AB 相切答案（ 1
37、）点 C 的坐标为 (0,3)（2）如图 2，当 P 在 B 的右侧， BCP 15时， PCO30，43t；如图 3，当 P 在 B 的左侧， BCP15时， CPO30，43 3t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页图 2 图 3 （3）如图 4，当 P 与直线 BC 相切时， t 1；如图 5，当 P 与直线 DC 相切时， t4；如图 6，当 P 与直线 AD 相切时， t5.6图 4 图 5 图 6 例 2 2012 年无锡市中考模拟第28 题如图 1，菱形 ABCD 的边长为2厘米， DAB60点 P
38、从 A 出发，以每秒3厘米的速度沿AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点Q 也从点 A 出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动当点P 到达点 C 时， P、Q 都停止运动设点P 运动的时间为t 秒（1）当 P 异于 A、C 时，请说明PQ/BC；（2）以 P 为圆心、 PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中， t 为怎样的值时，P 与边 BC 分别有 1 个公共点和2个公共点？图一动感体验请打开几何画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共点，相交只有 1 个公
39、共点，线段在圆的内部没有公共点请打开超级画板文件名“12 无锡 28” ，拖动点P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1 个公共点，相交有2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点答案（ 1）因为2AQtAB，322 3APttAC，所以AQAPABAC因此 PQ/BC（2）如图 2，由 PQPH12PC，得1(2 33 )2tt解得4 36t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页如图 3，由 PQPB，得等边三角形PBQ所以 Q 是 AB
40、 的中点， t1如图 4，由 PQPC，得2 33tt解得33t如图 5，当 P、C 重合时， t2因此，当4 36t或 1t33或 t 2 时， P 与边 BC 有 1 个公共点当4 36t1 时， P 与边 BC 有 2 个公共点图 2 图 3 图 4 图 5 1.8 因动点产生的线段和差问题例 1 2012 年滨州市中考第24 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx c 经过 A(2, 4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点（1）求抛物线yax2 bxc 的解析式；（2）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求AMOM 的最小值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 滨
41、州 24” ，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2） ，可以体验到，当M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AMOM 最小（如图3） 请打开超级画板文件名“12 滨州 24” ，拖动点M， M 落在线段AB 上时，AMOM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页最小答案（ 1）212yxx。（2）AMOM 的最小值为4 2图 2 图 3 例 2 2012 年山西省中考第26 题如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y x22x3 与 x 轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C，点 D 是抛物线的顶
42、点（1）求直线AC 的解析式及B、D 两点的坐标；（2）点 P 是 x 轴上的一个动点，过 P 作直线 l/AC 交抛物线于点Q试探究： 随着点 P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以 A、P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC 上找一点M，使 BDM 的周长最小，求出点M 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 山西 26” ，拖动点 P 在 x 轴上运动， 可以体验到， 点 Q 有 3个时刻可以落在抛物线上拖动点 M 在直线 AC 上运动， 可以体验到， 当 M 落在 B D 上时，MBMD 最小
43、， MBD 的周长最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页思路点拨1第（ 2）题探究平行四边形，按照AP 为边或者对角线分两种情况讨论2第（ 3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B 关于“河流” AC 的对称点B，那么M 落在 BD 上时， MBMD 最小， MBD 的周长最小满分解答（1）由 y x22x3 (x1)(x3) (x1)24，得 A(1, 0)、B(3, 0)、 C(0, 3)、D(1, 4)直线 AC 的解析式是y 3x3（2）Q1(2, 3)，Q2(17,3)，Q3(17, 3)（3）设点 B
44、关于直线AC 的对称点为B ，联结 BB交 AC 于 F联结 BD，B D 与交 AC 的交点就是要探求的点M作 B Ex 轴于 E，那么 BB E BAF CAO在 RtBAF 中，1310AFBFAB， AB4，所以1210BF在 RtBBE 中，1310B EBEBB，24210BBBF，所以125B E，365BE所以3621355OEBEOB所以点B的坐标为21 12(,)55因为点 M 在直线 y3x3 上，设点M 的坐标为 (x, 3x3)由DDMMB DB M，得yDyByMyBxDxBxMxB所以1212433552121155xx解得935x所以点M 的坐标为9 132(,
45、)3535图 2 图 3 考点伸展第（ 2）题的解题思路是这样的：如图 4，当 AP 是平行四边形的边时，CQ/AP，所以点C、Q 关于抛物线的对称轴对称，点 Q 的坐标为 (2, 3)如图 5，当 AP 是平行四边形的对角线时，点C、Q 分居 x 轴两侧， C、Q 到 x 轴的距离相等解方程 x22x3 3， 得17x 所以点 Q 的坐标为 (17, 3)或 (17, 3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页图 4 图 5 第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 2012 年上
46、海市徐汇区中考模拟第25 题在 RtABC 中， C90， AC6，53sin B， B 的半径长为1， B 交边 CB 于点 P，点 O 是边 AB 上的动点（1）如图 1，将 B 绕点 P 旋转 180得到 M，请判断 M 与直线 AB 的位置关系；（2）如图 2，在（ 1）的条件下，当OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以NB 为半径的 N 和以 OA 为半径的 O外切，设NBy，OAx，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26
47、 页图 1 图 2 图 3 动感体验请打开几何画板文件名“12 徐汇 25” ，拖动点O 在 AB 上运动，观察OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点 P 可以落在对边的垂直平分线上，点 M 不能请打开超级画板文件名“12 徐汇 25” ， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形点击“相切”按钮，可得y 关于 x 的函数关系思路点拨1 B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求 y 关于 x 的函数关系式，作OBN 的边 OB 上的高，把
48、 OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答（1）在 RtABC 中， AC6，53sin B，所以 AB10，BC8过点 M 作 MD AB，垂足为D在 RtBMD 中， BM2，3sin5MDBBM，所以65MD因此MDMP，M与直线AB相离图 4 （2）如图4，MOMDMP，因此不存在MO MP 的情况如图 5，当 PMPO 时，又因为PBPO，因此 BOM 是直角三角形在 RtBOM 中， BM2，4cos5BOBBM，所以85BO此时425OA如图 6，当 OMOP 时，设底边MP 对应的高为OE在 RtBOE 中， BE32，4cos5BEBBO，所以158BO此时658
49、OA图 5 图 6 （3）如图 7，过点 N 作 NFAB，垂足为F联结 ON当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy在 RtBNF 中， BNy，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy在 RtONF 中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到22243()(10)()55xyxyy整理，得2505040 xyx定义域为0 x5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页图 7 图 8 考点伸展第（ 2）题也可以这样思考：如图 8，在 RtBMF 中， BM2，65MF，8
50、5BF在 RtOMF 中， OF8421055xx，所以222426()()55OMx在 RtBPQ 中， BP1，35PQ，45BQ在 RtOPQ 中， OF4461055xx，所以222463()()55OPx当 MOMP1 时，方程22426()()155x没有实数根当 POPM1时，解方程22463()( )155x，可得425xOA当 OMOP 时，解方程22426()()55x22463()()55x，可得658xOA例 2 2012 年连云港市中考第26 题如图 1，甲、乙两人分别从A、B 两点同时出发，点O 为坐标原点甲沿AO 方向、乙沿 BO 方向均以每小时4 千米的速度行走