初中数学专题 因式分解60.pdf

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1、第 1页（共 23 页） 整式乘法与因式分解 60题 学而思网校学而思网校 徐德直徐德直老师老师 说明：期中期末刷题系列资料，旨在希望同学们根据自己的薄弱点，在期中期末之前进行针对性强化训练，题量略大，同学们可以根据自己的时间安排自行完成。后附详细答案，内容较多，家长们在打印的时候可以只打印题目部分。 第 2页（共 23 页） 一、选择题（共一、选择题（共 1313 小题；共小题；共 6565 分）分） 1. 下列运算中，正确的是 ( ) A. B. C. ( ) D. ( ) 2. 下列运算中正确的是 ( ) A. B. ( ) C. ( ) D. 3. 下列计算正确的是 ( ) A. B.

2、 C. ( ) D. ( ) 4. 计算 ( ) 的结果是 ( ) A. B. C. D. 5. 计算 的结果是 ( ) A. B. C. D. 6. 下列式子正确的是 ( ) A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 7. 下列计算正确的是 ( ) A. ( ) B. C. D. ( ) 8. 下列运算正确的是 ( ) A. B. C. D. ( ) 9. 下列运算正确的是 ( ) A. B. ( ) C. ( ) D. ( )( ) 10. 下列各式计算正确的是 ( ) A. B. ( ) C. ( ) D. ( ) 11. 能被 ( ) 整除 A. B. C. D. 12.

3、 下列等式不成立的是 ( ) A. ( ) B. C. ( ) ( ) D. ( ) ( ) 13. 已知 ， ， ， 均为正数，且满足 ( )( )， ( )( )，则 ， 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 第 3页（共 23 页） 二、填空题（共二、填空题（共 1313 小题；共小题；共 6565 分）分） 14. 计算 的结果是 15. 计算： 16. 分解因式： 17. 分解因式： 18. （ ） ，（ ）( ) ，（ ）( ) 19. 在实数范围内分解因式： 20. 计 算 ( )( ) ( )( ) 的 结 果是 21. 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自

4、然数称为“智慧数”比如： ，则 就是智慧数； ，则 就是智慧数 （ ）从 开始第 个智慧数是 ； （ ）不大于 的智慧数共有 个 22. 有两个正方形 ， ，现将 放在 的内部得图甲，将 ， 并列放置后构造新的正方形得图乙若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 和 ，则正方形 ， 的面积之和为 23. 阅读下文，寻找规律 计算：( )( ) ，( )( ) ，( )( ) （ ）观察上式，并猜想：( )( ) （ ）根据你的猜想，计算： （其中 是正整数） 24. 已知 ，则 的最 （填“大”或“小”）值为 25. 若 ( ) ，则 的值为 26. 若 ( )( )( )( ) ，则 的末位数字是

5、 三、解答题（共三、解答题（共 3434 小题；共小题；共 442442 分）分） 27. 计算： （1）( ) ( )； （2）( )( ) 第 4页（共 23 页） 28. 分解因式： （1） ； （2）( ) 29. 因式分解： （1） ， （2） ， 30. 先化简，再求值： ( ) ( )( ) ( ) ，其中 31. 计算： ( )( ) ( ) 32. 计算： （1）( ) ( )( ) ( ) ； （2）( ) ( )( ) ( ) 33. 先化简，再求值： ( )( ) ( )( )，其中 ， 34. 分解因式： （1） ； （2） ( ) 第 5页（共 23 页） 35.

6、（1）( ) ( ) ( )； （2）( ) ( )( ) 36. 因式分解： （1） ； （2） 37. （1）( )( )； （2）( ) ； （3） ( ) ( )( ) 38. 先化简，再求值：( )( ) ( ) ( )，其中 ， 39. 先化简，再求值： ( ) ( )( )，其中 ， 40. 若 与 ( ) 互为相反数，化简求代数式 ( ) ( )( ) ( ) 的值 第 6页（共 23 页） 41. 在整式乘法的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究代数式的变形问题，借助直观、形象的几何图形，加深对整式乘法的认识和理解，感悟代数与几何的内在联系，现有边长分别为 ， 的正方形

7、号和 号，以及长为 ，宽为 的长方形 号卡片足够多，我们可以选取适量的卡片拼接成几何图形（卡片间不重叠、无缝隙） 根据已有的学习经验，解决下列问题： （1）图 是由 张 号卡片、 张 号卡片、 张 号卡片拼接成的正方形，那么这个几何图形表示的等式是 ； （2）小聪想用几何图形表示等式 ( )( )，图 给出了他所拼接的几何图形的一部分，请你补全图形； （3）小聪选取 张 号卡片、 张 号卡片、 张 号卡片拼接成一个长方形，请你画出拼接后的长方形，并直接写出几何图形表示的等式 42. 两个不相等的实数 ， 满足 （1）若 ，求 的值； （2）若 ， ，求 和 的值 第 7页（共 23 页） 43

8、. 借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果下面利用表格试一试 例题：( )( ) 解：填表 则 ( )( ) 根据所学完成下列问题： （1）如表填表计算 ( )( ) ( )( )直接写出结果 式结果为 ；式结果为 （2）根据以上获得的经验填表： 结果为 ，根据以上探索，请用字母 ， 来表示发现的公式： （3）用公式计算：( )( ) ；因式分解： 44. 分解因式： （1）( )( ) ； （2）( )( ) ( ) 第 8页（共 23 页） 45. 因式分解： （1） ； （2）( ) ； （3） ( ) ( ) ( ) 46. 因式分解： （1） ； （2） ； （3

9、）( ) ( ) 47. （1）已知 ，求 的值； （2）若 ， 满足 ， ，求代数式 的值 48. （1）先化简，再求值：( ) ( ) ( ) ，其中 ， （2）已知 ( ) ，求 ( )( ) 的值 第 9页（共 23 页） 49. 下面是某同学对多项式 ( )( ) 进行因式分解的过程 解：设 ， 原式 ( )( ) (第一步) (第二步) ( ) (第三步) ( ) (第四步) 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底? （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （2）请你模仿以上方法尝试对多项式 ( )( ) 进行因式分解 50. 阅读材料后解决问题： 小

10、明遇到下面一个问题： 计算 ( )( )( )( ) 经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）( )( )( )( )( ) （2）( )( )( )( )( ) （3）化简：( )( )( )( )( ) 第 10 页（共 23 页） 51. 先阅读后解题： 若 ，求 和 的值 解：等式可变形为： ， 即 ( ) ( ) ， 因为 ( ) ，( )

11、， 所以 ， ， 即 ， 像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”请利用配方法，解决下列问题： （1）已知 ，求 的值； （2）已知 的三边长 ， ， 都是正整数，且满足 ，则 的周长是 ； （3） 的最小值是 52. 已知 ，计算 ( )( ) ，( )( ) ，( )( ) （1）观察以上各式并猜想：( )( ) （ 为正整数）； （2）根据你的猜想计算： ( )( ) ； （ 为正整数）； ( )( ) ； （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ( )( ) ( )( ) ( )( ) 53. 已知 ，求代数式 ( ) ( ) 的值 第 11 页（共 2

12、3 页） 54. 阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以将多项式 ( ) 变形为 ( ) 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式 的配方法 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式例如： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 根据以上材料，解答下列问题： （1）用多项式的配方法将 化成 ( ) 的形式； （2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式 进行分解因式的解答过程： 老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用 标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程： （3）求证： ， 取任何实数时，多项式 的值总为正数 55.

13、阅读下列材料，并解决后面的问题 材料：一般地， 个相同的因数 相乘： 个 记为 如 ，此时， 叫做以 为底 的对数，记为 （即 ）一般地，若 （ 且 ， ），则 叫做以 为底 的对数，记为 （即 ），如 ，则 叫做以 为底 的对数，记为 （即 ） 问题： （1）计算以下各对数的值： ； ； （2）观察（ ）中三数 ， ， 之间满足怎样的关系式，然后利用 ， ， 之间的数量关系猜想 ， ， 之间又满足怎样的关系式?答： ， ， 关系式为 （3）由（ ）的结果，请你能归纳出： （ 且 ， ， ） 第 12 页（共 23 页） 56. 现有一种计算 的方法，具体算法如下： 第一步：用被乘数 加上乘数

14、 的个位数字 ，即 第二步：把第一步得到的结果乘以 ，即 第三步：用被乘数 的个位数字 乘以乘数 的个位数字 ，即 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 于是得到 （1）请模仿上述算法计算 并填空 第一步：用被乘数 加上乘数 的个位数字 ，即 第二步：把第一步得到的结果乘以 ，即 第三步：用被乘数 的个位数字 乘以乘数 的个位数字 ，即 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 于是得到 （2）一般地，对于两个十位上的数字都为 ，个位上的数字分别为 ， （ ， ， ， 为整数）的两位数相乘都可以按上述算法进行计算请你通过计算说明上述算法的合理性 57. 阅读理解： 对于二次三项式 ，能

15、直接用公式法进行因式分解，得到 ( ) ，但对于二次三项式 ，就不能直接用公式法了我们可以采用这样的方法：在二次三项式 中先加上一项 ，使其成为完全平方式，再减去 这项，使整个式子的值不变，于是： ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法 （1）问题解决： 请用上述方法将二次三项式 分解因式 （2）拓展应用： 二次三项式 有最小值或有最大值吗?如果有，请你求出来并说明理由 第 13 页（共 23 页） 58. 阅读材料：若 ，求 ， 的值 解： ， ( ) ( ) ， ( ) ( ) ， ( ) ，( ) ， ， 根据你的观察，探究下

16、面的问题： （1）已知 ，求 的值； （2）已知 ， ，求 的值 59. 先阅读下面例题的解法，然后解答后面的问题 例：若多项式 分解因式的结果中有因式 ，求实数 的值 解：设 ( ) （ 为整数）， 若 ( ) ，则 或 ， 由 得 ， 则 是方程 的解， 所以 ( ) ( ) ，即 ，所以 问题： （1）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，则实数 ； （2）若多项式 分解因式的结果中有因式 ，求实数 的值； （3）若多项式 分解因式的结果中有因式 ( ) 和 ( )，求实数 ， 的值 第 14 页（共 23 页） 60. 阅读理解并填空： （1）为了求代数式 的值，我们必须知道 的值若 ，

17、则这个代数式的值为 ；若 ，则这个代数式的值为 ， ，可见，这个代数式的值因 的取值不同而 （填“变化”或“不变”）尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围 （2）数学课本第 页这样写“我们把多项式 及 叫做完全平方式”在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题例如： ( ) ( ) ，因为 ( ) 是非负数，所以，这个代数式 的最小值是 ，这时相应的 的值是 （3）求代数式 的最大（或最小）值，并写出相应的 的值 （4）求代数式 的最大（或最小）值，并写出相应的 的值 （5）

18、已知 ，且 的值在数 （包含 和 ）之间变化，求这时 的变化范围 第 15 页（共 23 页） 答案答案 第一部分第一部分 1. C 2. C 3. D 4. C 5. A 6. A 7. C 8. B 9. D 10. D 11. C 12. D 13. A 第二部分第二部分 14. 15. 16. ( )( ) 17. ( )( ) 18. ， ， 19. ( )( ) 20. 【解析】设 ， 原式 ( )( ) ( ) 21. ， 22. 【解析】设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，由图甲得 ( ) ，即 ， 由图乙得 ( ) ， ， 所以 ，即正方形 ， 的面积之和为 23. （

19、 ） ，（ ） ( ) 24. 大， 25. ， 或 26. 第三部分第三部分 27. （1） 原式 ； （2） 原式 ( ) ( ) ( ) ( ) 28. （1） 原式 ( ) ( )( ) 第 16 页（共 23 页） （2） 原式 ( )( ) ( ) ( ) 29. （1） 原式 ( ) ( ) ， （2） 原式 ( ) ( )( )； 原式 ( ) ( )( ) 30. 原式 ( ) 当 时， 原式 31. 原式 ( ) 32. （1） 原式 （2） 原式 33. 原式 ( ) ( ) 当 ， 时， 原式 ( ) 34. （1） ( ) ( )( ) （2） 原式 ( ) ( )(

20、 ) 35. （1） 原式 ( ) ( ) （2） 原式 36. （1） ( ) ( )( ) （2） 原式 ( ) ( ) ( )( ) 37. （1） ( )( ) （2） ( ) （3） ( ) ( )( ) 第 17 页（共 23 页） 38. 原式 当 ， 时， 原式 ( ) 39. 原式 ( ) 当 ， 时，原式 40. 与 ( ) 互为相反数， ( ) ， 解得： 原式 ( ) ( ) 当 ， 时， 原式 41. （1） ( ) （2） （3） ( )( ) （拼图答案不唯一） 42. （1） ， ， ( ) ， ； （2） ， ， ， ， ( ) ， ( )( ) ， ， 第

21、18 页（共 23 页） ， ， ， ( ) ， ， ， 解得： ， 即 ， 43. （1） ； （2） ( )( ) （3） ；( )( ) 44. （1） 原式 ( ) （2） 原式 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 45. （1） ( ) ( ) （2） ( ) ( )( ) ( ) ( ) （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 46. （1） 原式 ( ) ( )( ) （2） 原式 ( ) ( ) ( ) （3） 原式 ( )( ) ( ) ( )( ) 47. （1） 由已知得： ， ( ) ( ) （2） ， ， ( ) 第 19 页（共

22、 23 页） 48. （1） ( ) ( ) ( ) 当 ， 时，原式 （2） ( ) ， ( )( ) ( )( ) ( ) 49. （1） 不彻底；( ) 【解析】因为 ( ) ( ) ， 所以该同学因式分解的结果不彻底 （2） 设 ， 原式 ( ) ( ) ( ) ( ) 50. （1） 【解析】( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) （2） 【解析】( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) （3） 当 时，原式 ； 当 时，原式 51. （1） 等式可变形为： ， 即 ( ) ( ) ， ( ) ，( ) ， ， ， 即 ， (

23、 ) （2） （3） 52. （1） ( )( ) ； 第 20 页（共 23 页） （2） ( )( ) ； ( ) ( ) ( ) ( ) ； ( )( ) ( )( ) ( ) ； （3） ( )( ) ； ( )( ) ； ( )( ) 53. ， ( ) ( ) ( ) ( ) 54. （1） ( ) . （2） 正确的解答过程是 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) （3） ( ) ( ) ( ) ( ) ， 多项式 的值总为正数 55. （1） ； ； 【解析】 ， ， ， ； ； （2） 【解析】由（ ）知， ， ( ) （3） 【解析】设 ， ， 第 21 页（

24、共 23 页） 则 ， ， ， ，即 56. （1） ； ； ； 【解析】计算 ， 第一步：用被乘数 加上乘数 的个位数字 ，即 第二步：把第一步得到的结果乘以 ，即 第三步：用被乘数 的个位数字 乘以乘数 的个位数字 ，即 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 于是得到 （2） 对于 ( ) ( )， 第一步：用被乘数 加上乘数 的个位数字 ，即 第二步：把第一步得到的结果乘以 ，即 ( ) 第三步：用被乘数 的个位数字 乘以乘数 的个位数字 ，即 第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即 ( ) 又 ( ) ( ) ， 故上述算法是合理的 57. （1） ( ) ( ) ( ) (

25、 )( ) ( )( ) （2） 有 ( ) 因为 ( ) ， 所以 ( ) 所以最小值为 58. （1） ， ( ) ( ) ， ( ) ( ) ， ， ， 解得， ， ， ( ) ； （2） ， ， 将 代入 ， 得 ， ( ) ( ) ， 第 22 页（共 23 页） ( ) ( ) ， ， ， 解得， ， ， ， 59. （1） 【解析】设 ( ) （ 为整数）， 若 ( ) ，则 或 ， 由 得， ， 则 是方程 的解， ， 解得 ； （2） 设 ( ) （ 为整式）， 若 ( ) ，则 或 ， 由 得， ， 则 是方程 的解， ( ) ( ) ( ) ， 即 ， 解得 ； （3） 设 ( )( ) （ 为整式）， 若 ( )( ) ，则 ， ， ， 由 ， 得， ， ， 即 ， 是方程 的解， ， ， 即 联立解得 ， 60. （1） ； ；变化 （2） ； （3） ( ) ， 的最大值是 ，相应的 的值是 ； （4） 根据题意得： ( ) ， 代数式 的最小值是 ，相应的 的值是 ； （5） ， ( ) ， 的值在数 （包含 和 ）之间变化， 这时 的变化范围是： 第 23 页（共 23 页）