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1、 因式分解 学而思网校 徐德直老师 一、一、 提公因式法提公因式法 如多项式()ambmcmm abc，其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式 找公因式的三步： 1公因式的系数找各因式系数的最大公约数 2公因式的字母各因式中相同的字母 3相同字母指数取各字母指数的最低次幂 二、二、 公式法公式法 1平方差公式：22ababab. 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积. 例如：222492323 23xxxx. 2完全平方公式：2222aabbab. 其中，222aabb叫做完全平方式. 即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于
2、这两个数的和(或差)的平方. 例如：22222412922 23323xxyyxxyyxy . 3立方和与立方差公式：3322()()abab aabb 3322()()abab aabb 即两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 知识架构 提公因式法 因式分解的基本方法 公式法 完全平方公式 平方差公式 立方和（差）公式 十字相乘法 分组分解法 知识精讲 三、三、 十字相乘法十字相乘法 在二次三项式2(0)axbxc a中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即12aaa，常数项c可以分解成两个因数之积，即12ccc，把1a，2a，1c，2c排列如
3、下： 按斜线交叉相乘， 再相加， 得到1 22 1aca c， 若它正好等于二次三项式2axbxc的一次项系数 b，即1 22 1aca cb，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a xc与22a xc之积，即21122()()axbxca xca xc 要点诠释： 1正确的十字相乘必须满足以下条件： 在上式中，竖向的两个数必须满足关系12a aa，1 2ccc；斜向的两个数必须满足关系 1 22 1aca cb，分解思路为“看两端，凑中间 ” 2二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上 形如2xpxq的某些二次三项式也可
4、以用十字相乘法分解因式， 这时只需考虑如何把常数项分解 四、四、 分组分解法分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解分组分解法即先对题目进行分组，然后再分解因式 分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 1 字母分组 2 按系数分组 3 符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三
5、项式 a1a2c2c1a1c2 + a2c1c1c2a2a1 一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题；共小题；共 4040 分）分） 1. 把多项式 分解因式，结果正确的是 A. B. C. D. 2. 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 A. B. C. D. 3. 在分解因式时，对于 的分组中，正确的是 A. B. C. D. 4. 分解因式 得 A. B. C. D. 5. 下列分解因式正确的是 A. B. C. D. 6. 若 与 的公因式为 ，则 的值为 A. B. C. D. 7. 已知二次三项式 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数 的取值有 A. 个 B.
6、 个 C. 个 D. 个 8. 已知二次三项式 能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数 的取值范围有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共二、填空题（共 3535 小题；共小题；共 175175 分）分） 9. 分解因式： 例题解析 10. 因式分解： 11. 分解因式： 12. 多项式 各项的公因式是 13. 分解因式： 14. 分解因式： 15. 分解因式： 16. 因式分解： 17. 分解因式： 18. 因式分解： 19. 分解因式： 20. 因式分解： 21. 分解因式： 22. 分解因式： 23. 分解因式： 24. 分解因式： 25. 分解因式： 26. 因
7、式分解： 27. 分解因式： 28. 多项式 因式分解的结果等于 29. 请你写出一个多项式，含有字母 ，并能够在有理数范围内用平方差公式进行因式分解此多项式可以是 30. 分解因式： 31. 在实数范围内分解因式 32. 在实数范围内分解因式： 33. 分解因式： 34. 因式分解： 35. 分解因式： 36. 分解因式： 37. 分解因式： 38. 多项式 可分解为 39. 关于 ， 的二次式 可以分解为两个一次因式的乘积，则 的值是 40. 分解因式： 41. 已知 ， 均为整数， 若 ， 则整数 的值有 42. 分解因式： 43. 现有若干张边长为 的正方形 A 型纸片， 边长为 的正
8、方形 B 型纸片， 长宽为 ， 的长方形 C 型纸片，小明同学选取了 张 A 型纸片， 张 B 型纸片， 张 C 型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 （用 ， 代数式表示） 三、解答题（共三、解答题（共 7 7 小题；共小题；共 9191 分）分） 44. 分解因式： 45. 分解因式： 46. 把下列各式因式分解： （1）； （2） 47. 分解因式： 48. 因式分解： 49. 阅读下面分解因式的过程：把多项式 分解因式. 解法一： 解法二： 根据你的发现，选择一种方法把下面的多项式因式分解： （1） ； （2） 50. 将下列各式分解因式： （1）； （2）； （3） 答案答案 第一部分第一部分 1. A 2. D 3. B 4. C 【解析】 5. B 6. C 7. D 【解析】根据题意，得 ， 解得 ，共 个 8. D 第二部分第二部分 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 答案不唯一 如： 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 第三部分第三部分 44. 45. 46. （1） （2） 47. 48. 49. （1） ； （2） 50. （1） （2） （3）