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1、1 开放式基金投资最优决策一、问题某开放式基金现有总额为15 亿元的资金可用于投资，目前共有8 个项目可供投资者选择，每个项目可重复投资。根据专家经验，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目所需要的投资额已知，一般情况下投资一年后各项目所得利润也可估算出来，如表1所示。表 1 单位：万元项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资额6700 6600 4850 5500 5800 4200 4600 4500 年利润1139 1056 727.5 1265 1160 714 1840 1575 上限34000 27000 30000 22000 30000 23000
2、25000 23000 请帮该公司解决以下问题：（1）就表 1 提供的数据，应该投资哪些项目，使得第一年所得利润最高？（2）在具体投资这些项目时，实际还会出现项目之间互相影响的情况。公司咨询有关专家后， 得到以下可靠信息：同时投资项目A1，A3，它们的年利润分别是1005 万元，1018.5万元；同时投资项目A4，A5，它们的年利润分别是1045 万元， 1276 万元；同时投资项目A2， A6，A7，A8，它们的年利润分别是1353 万元， 840 万元， 1610 万元， 1350 万元，该基金应如何投资？（3）如果考虑投资风险，则应如何投资，使收益尽可能大，而风险尽可能小。投资项目总体风
3、险可用投资项目中最大的一个风险来衡量。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。表 2项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 风险率 (%) 32 15.5 23 31 35 6.5 42 35 （4）开放式基金一般要保留适当的现金，降低客户无法兑现的风险。在这种情况下，将专家的信息都考虑进来，基金该如何决策，使得尽可能降低风险，而一年后所得利润尽可能多？（5）这个项目投资，是必须资金全部到位才有利润，还是只要第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算？二、模型的建立及求解1模型 1（线性整数规划）（1）假设1）不考虑其他因素，单纯追求利润最大；名师
4、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2 2）预计利润能正确反映各项投资的利润；3）若对某项目投资，则该项目的总投资额必须是该项目投资额的整数倍；4）投资过程中交易费为0；5）该基金中无“庄家”或“金融大鳄”之类恶意操纵。（2）建模设 xi为对项目Ai的投资股数， H 表示基金总额，mi表示项目Ai的投资上限， bi表示项目 Ai的预计年利润，ci表示项目Ai每股的投资额，则一年后总投资利润iiixbR81，基金总额约束
5、：Hxciii81，各项目投资额上限约束：iiimxc（i=1，2， , ， 8） ，从而建立如下模型。iiixbR81maxs.t. 8, 2, 1,8 ,2, 1,81iNximxcHxciiiiiii（3）求解应用 Lindo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表3 所示。表 3项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数（股）5 1 1 4 5 2 5 5 投资额33500 6600 4850 22000 29000 8400 23000 22500 总投资149850 年利润5695 1056 727.5 5060 5800 1428 9200 7875
6、 利润率（ %）17 16 15 23 20 17 40 35 总利润36841.5 从表 3 可以看出， 基本上利润率较高的投资项目对应较强的投资势头，但有的投资项目虽然利润率较高，却未得到相应的投资势头，这说明利润率并不是影响投资的唯一因素，还有另外的因素尚未考虑到，需要继续深入讨论。2模型 2（非线性整数规划）考虑到专家的信息，投资项目之间相互影响，修正模型1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3 （1）假
7、设1）专家的信息有较高的可信度，单纯追求利润最大。2）满足模型1 的假设 2） 5） 。（2）建模由 于 不 知 道 是 否 各 相 互 影 响 的 项 目 同 时 投 资 时 ， 利 润 较 大 ， 引 入0 1 变 量否则同时投资, 0, 131AAy，否则同时投资,0, 154AAz，否则同时投资, 0, 18762AAAAu。设ib表示受同时投资影响时项目Ai的预计利润，可建立如下模型。)(1()()(1()(max5544554433113311xbxbzxbxbzxbxbyxbxbyR)(1()(8877662288776622xbxbxbxbuxbxbxbxbus.t. 10,8
8、 , 2,1,50020308 ,2,1,8762543181或uzyiNxuxxxxuzxxzyxxyimxcHxciiiiiii其中yxxy3031中的 30 表示 A1，A3各最多投资5 股，6 股；zxxz2054中的 20 表示 A4，A5各最多投资4 股， 5 股；uxxxxu5008762中的 500 表示 A2，A6，A7，A8各最多投资4 股， 5股， 5 股， 5 股。当 A1，A3同时投资时，x1x30，y=1；当A1，A3不同时投资时，x1x3=0，y=0，故得A1，A3是否相互影响的约束：yxxy3031。同理可得其他两个是否相互影响的约束。（3）求解应用 Lingo
9、 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表4 所示。表 4项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数1 0 6 4 5 4 5 5 投资额6700 0 29100 22000 29000 16800 23000 22500 总投资额149100 年利润1005 0 6111 4180 6380 2856 9200 7875 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4 利润率（ %）15 16
10、 21 19 22 17 40 35 总利润37607 从表 4 可以看出，随着利润率的提高，投资势头也相应增强，利润率下降， 投资势头也相应减弱，这又一次反映了利润率对投资势头的强大影响。3模型 3（多目标规划 &非线性整数规划）考虑到专家提供的风险损失率方面的约束，进一步修正模型2。（1）假设1）考虑专家预测出的各项目风险率，总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量，追求利润最大、风险最小；2）满足模型2 的假设 2） 。（2）建模设 qi表示项目Ai的风险率，则总体风险max81iiiixcqQ，投资总利润R 同模型 2，从而可建立如下模型。max Rmin Qs.t. 同模型 2 利用
11、法构造评价函数QRP)1(，其中权系数)0(*)0()0(*QQRRQQ，R*，Q*分别为 R，Q 的最优值， R(0)，Q(0)分别为 Q，R 取最优值时 R，Q 的取值，可以把上述双目标规划化为如下单目标规划。QRP)1(maxs.t. 同模型 2 不过确定权系数的常用方法是根据专家意见和经验给出。（3）求解引入变量s=Q，目标函数化为sRP)1 (，在满足上述约束条件的基础上，还要对 s 加以约束：sxcqiii，i=1，2， , ， 8。应用 Lingo 软件包， 以题中所给的数据为例，编程求得结果， 如表 5 所示，即在考虑利润和风险的基础上，均衡两者的权，得出的最佳折中方案。表 5
12、项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数5 4 0 4 0 0 5 5 投资额33500 26400 0 22000 0 0 23000 22500 总投资额127400 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 5 利润率 (%) 17 16 15 23 20 17 40 35 风险率 (%) 32 15.5 23 31 35 6.5 42 35 年利润5965 4224 0 5060 0 0
13、9200 7875 总利润32054 总体风险10720(A1的风险 ) 从表 5 可以看出， 利润率和风险率对投资的影响都很大，对利润率和风险率都大的项目应谨慎投资，对风险大，利润过小的项目应少投资，甚至不投资。4模型 4（多目标规划 &非线性整数规划）模型 3 中未考虑保留适当的现金，从开放式基金具有由投资者随时赎回的特性来理解，相比交易所挂牌上市的证券，开放式基金以其单位基金净值作为赎回标准，可以在有效规避二级市场的股价波动风险的同时保证其流动性。对于突发性的赎回请示，基金管理人往往会通过保留一定的资金来应付。基于此， 我们在模型3 的基础上追加考虑保留适当的现金，用以降低客户无法兑付的
14、风险，进一步修正模型3。（1）假设1）考虑保留部分资金，追求利润最大、风险最小；2）不考虑原始投资人1%的认购费率、 0.5%的赎回费率；3）考虑保留资金的存储利润；4）满足模型3 中的假设。（2）建模模型 3 中未考虑投资者的风险偏好，而这个因素直接涉及投资方向和势头，对模型结果的影响很大。在实际中， 对于不同风险偏好的投资者，其最佳投资方案有所不同。为了反映实际情况，我们把投资者偏好合并分类，各自对应的权值为：高度冒险：WR=0.8，WQ=0.2；比较冒险：WR=0.6，WQ=0.4；中性冒险： WR=0.5，WQ=0.5；比较保守： WR=0.4，WQ=0.6；高度保守：WR=0.2，W
15、Q=0.8。WR，WQ在满足 WR+WQ=1 的条件下，具体取值可适当调整，这并不影响算法的实现。1）风险偏好与效用函数。投资的目的是为了将来更大的消费，即财富的增加。不同的财富水平投资者获得的效用是不同的，同样的财富增加量对不同的投资者，其带来的效用增加也有所不同。 财富 x与效用 U 之间的数量关系通常称为财富的效用函数，记为 U(x)。U(x)一般是增函数，即0)(xU，但对于不同的投资者其增长的形态不同。以下是三种典型效用函数形态。风险回避型这种人对财富的增加不很敏感，或财富增加的边际效用是递减的，通常不愿意为增加财富而冒大风险，如图1 所示。风险中性型这种人对财富增加的态度始终是相同
16、的，边际效用是一常数， 如图 2 所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 6 风险偏爱型这种人对财富具有强烈的渴望，越富越想富， 财富增加的边际效用是递增的，因而愿意为增加财富而承担较大的风险，如图3 所示。图 1 图 2 图 3 以上三种基本形态均可用下列二次效用函数表示：风险偏爱型：风险中性型：风险回避型000)(2xxxU虽然实际的效用函数有可能不是二次的，但二次效用函数具有更好的概率特性。2）投资心理曲线
17、。一般来说，人们的心理变化是一个模糊的概念，在此，对一个投资方案的看法 （即对投资者的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。通过查找心理学的相关资料，我们定义投资者的心理曲线为2)/(1)(xexu)0(，其中表示投资者平均收入的相关因子，称为实力因子， 一般为常数。 实力因子是反映不同投资者的平均收入和消费水平的标准。 确定一个投资方案应该尽力考虑所有不同投资者的实力因子，而在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此不同地区的实力因子也不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一实力因子进行研究。为此我们以中等地区的收入水平为例，根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入为1.5 万
18、元，按我国的现行制度，平均工作年限为 35 年，则人均收入为52.5 万元。取2)/5.52(1)5.52(eu=0.5（即吸引力的中位数） ，则6.30589。3）保留现金比例。设保留现金比例为g，不同投资者所占人群比例为i，又得知他们的风险偏好不同，主观风险权系数为WQi，i=1，2，3，4，5，则)/(5151iQiQiiiWWg根据投资心理曲线，参照风险偏好和效用函数，并根据网上调查，得知投资者基本上划分为 5 种类型，通过代入模型计算，得到相关信息如表6 所示。表 6风险偏好高度冒险比较冒险中度冒险比较保守高度保守所占人群比例 (%) 8.5 24.5 33 26.5 7.5 风险权
19、系数归一化0.08 0.16 0.20 0.24 0.32 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 7 保留现金比例 (%) 19.96 保留的资金存入银行比闲置更有利，这笔资金是用来应对突发性的赎回请求的，随时都可能用到它，因此采用活期存款的方式，存款年利润按0.72%计。将此代入模型3，并把基金总额约束修正为：Hgxciii)1(81，得模型 4。（3）求解应用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果
20、，如表7 所示。表 7项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资股数5 0 0 4 0 4 5 5 投资额33500 0 0 22000 0 16800 23000 22500 总投资额117800 年利润5695 0 0 5060 0 2856 9200 7875 保留资金29940 存款利润215.568 总利润30901.568 总体风险10720 以上是在假设这一年中未发生突发性的赎回请求，保留资金未被动用的情况下的总利润。考虑到最不好的情况，即保留资金还未存入银行就被动用，无存款利润可言。 综上所述，我们认为用于保留的资金为29940 万元比较合适，总利润应该在（3
21、0686，30901.568）范围内。5模型 5（非线性整数规划）（1）假设1）不考虑风险因素，单纯追求利润最大；2）投资额是连续的；3）第一期资金到位启动后就可以随便投资，然后利润率按第一期利润和投资之比来计算。（2）建模设 xi为对项目Ai的投资金额， i=1，2，, ， 8。考虑到假设2） 、3） ，项目之间有无影响时的利润率分别为iiicba，iiicba。引入 01 变量否则投资,0, 1iiAv，i=1，2， , ， 8，则 Ai的投资金额的上下限约束为：iiiiiivmxvvc，可建立如下模型。)(1 ()()(1()(max5544554433113311xaxazxaxazx
22、axayxaxayR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 8 )(1()(8877662288776622xaxaxaxauxaxaxaxaus.t. 8,2, 1, 10,8,2, 1,0103570751066101028 ,2, 1,12876275473181ivuzyixuxxxxuzxxzyxxyivmxvcHxiiiiiiiii或其中yxxy73110102中的 102107表示 A1，A3各最多投资3
23、4000 万元，30000 万元。 当 A1， A3同时投资时，1,031yxx； 当 A1， A3不同时投资时，0,031yxx。同理可得其他两个是否相互影响的约束。（3）求解应用 Lingo 软件包，以题中所给数据为例，编程求得结果，如表8 所示。表 8项目编号A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 投资金额27000 0 30000 22000 0 23000 25000 23000 总投资额150000 年利润4050 0 6300 5060 0 3910 10000 8050 总利润37370 从表 8 可以看出，这种投资方案将资金全部抛出，未留“适当”现金，不符合开放式基金
24、的特点， 欠妥。比较模型5 和模型 2 的结果，可知模型5 的方案中总投资额、总利润与利润率分别为150000 万元、 37370 万元、 24.9%，而模型 2 的方案中总投资额、总利润与利润率分别为 149100 万元、 37607 万元、 25.2%，显然模型2 的投资方案比模型5 的更好。这说明在投资时， 只有投资以单位投资额的整数倍投入，利润才会以相应倍数增大。如果投资不是以单位投资额的整数倍投入，利润的增长则明显滞后，利润率明显偏低， 是不合算的方案。同时模型 2 的方案中留下了一部分资金备用，符合开放式基金客户投资、撤资自由的特点，而模型 5 的方案中未留下任何备用资金，一旦客户
25、要求撤资，开放式基金就有失信的风险，不利于其长久发展。三、灵敏度分析决策变量 xi相应的影子价格称为缩减成本RCi，i=1，2，, ， 8，RCi的值表示当xi增加一个单位（其他变量保持不变）时，目标函数增加的量，如表9 所示。表 9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 9 股份x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 模型 1 RCi1139 1056 727.5 1265 1160 714 1840 157
26、5 模型 2 RCi1005 1056 1018.5 0 1276 714 1840 1575 模型 3 RCi1930 224.44 0 0 246.54 0 391.1 334.7 模型 4 RCi 1930 0 0 0 246.54 151.7 391.1 334.7 从表 9 可以发现， x1的变化对各目标函数最优值的影响最大，x7次之。四、模型的进一步分析实际上，投资的收益和风险都是随机的，考虑如下问题。某投资公司经理欲将50 万元基金用于股票投资，股票的收益是随机的。经过慎重考虑，他从所有上市交易的股票中选择了3 种股票作为候选的投资对象，从统计数据的分析得到：股票 A 每股的年期
27、望收益为5 元，标准差（均方差）为2 元；股票 B每股的年期望收益为8元，标准差为6 元；股票 C 每股的年期望收益为10 元，标准差也为10 元；股票A，B 收益的相关系数为5/24，股票 A，C 收益的相关系数为- 0.5，股票 B，C 收益的相关系数为- 0.25。目前股票 A，B，C 的市价分别为20 元， 25 元， 30 元。（1）如果该投资人期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资可使风险最小（这里用收益的方差或标准差衡量风险）？（2）投资回报率与风险的关系如何？1建模设 x1，x2，x3分别表示投资股票A，B，C 的数量。国内股票通常以“一手”（100 股）为最小单位出售，
28、故此处设股票数量以100 股为单位。 相应地， 期望收益和标准差以百元为单位。记股票 A，B，C 每手的收益分别为s1，s2，s3（百元），根据题意， si（i=1，2，3）是随机变量，投资的总收益332211sxsxsxs也是随机变量。用E 和 D 分别表示随机变量的数学期望和方差（标准差的平方），r 和 cov 表示两个随机变量的相关系数和协方差，则1Es=5，2Es=8，3Es=10，1Ds=4，2Ds=36，3Ds=100，12r=5/24，13r=- 0.5，23r=- 0.25，5.2),cov(211221DsDsrss，10),cov(311331DsDsrss，),cov(3
29、2ss153223DsDsr。故投资的总期望收益为3322111EsxEsxEsxEsz3211085xxx，投资总收益的方差为),cov(221213232221212ssxxDsxDsxDsxDsz3231212322213232313130205100364),cov(2),cov(2xxxxxxxxxssxxssxx实际上投资者可能面临许多约束条件，如是否需要将资金全部用来购买股票，没有购买。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - -
30、 - - - - - 10 股票的资金是否可以存入银行或做其他投资。此处假设不一定需要将资金全部用来购买股票，没有购买股票的资金也闲置不用，而只考虑可用于投资的资金总额的限制，即5000302520321xxx。问题（ 1）的模型为二次规划：min z2s.t. Nxxxxxxxxx321321321,100010855000302520问题（ 2）的模型为：min12zzzs.t. Nxxxxxxxxx321321321,100010855000302520其中为风险偏好系数，10。当=0 时，表明投资者是完全的冒险型，不考虑风险；当充分大时，表明投资者是保守型的，希望规避风险。取不同的求解
31、，即可大致看出投资回报率与风险的关系。2求解利用 Lingo 软件包， 编程求得问题 （1）的结果：股票 A，B，C 各购买 132，15，22 （手），投资额为 3675（百元），总期望收益为1000（百元），风险（方差）为68116，标准差为261（百元）。对问题 （2） ，通过试探发现从 0.00010.1 以 0.0001 的步长变化可以得到很好的近似结果，图 4 给出了对应的总期望收益与风险（标准差）之间的关系。图 4（单位：百元）由于每 1 元投资于股票C 的预期收益最大， 因此 50 万元可能的最大预期收益为16.6667万元。 从图 4 可以看出， 当预期收益在0 14 万元左
32、右增加时，风险基本上线性增加；若预名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 11 期收益超过14 万元，则风险迅速增加。因此可见，对于那些对收益和风险没有特殊偏好的投资者来说， 转折点处的投资组合方案比较理想，经过对计算结果 （数据输出） 的检查可得，这个方案大致是股票A，B， C 各购买 153，35， 35（手）。五、模型的评价1模型的优点（1）采用较为成熟的数学理论建立模型，可信度比较高。（2）模型的计算采用专业
33、数学软件，可信度较高，便于推广。（3）模型经多次修正，综合考虑到了风险偏好等方面，给出的最优决策对于有关部门有较大的参考价值。2模型的缺点（1）模型虽然综合考虑了很多因素，但为了建立模型，理想化了许多影响因素，具有一定的局限性，得到的最优方案可能与实际有一定的出入。（2）模型 5 只考虑了利润最大，没有考虑风险最小，模型结果与实际有一定差距。六、模型的推广1模型建立思想还可以进一步解决彩票投注、企业投资、车辆调度、运输费用等方面的规划问题。2模型 3 还可以考虑用“理想点法”、 “法” 、 “极大极小法”等求解多目标规划问题，然后对各种方法得到的投资方案进行比较，优选出更合理的方案。3模型应该进一步考虑随便投资（利润按利润率求解）的问题，求解该情况下的最优解，以及考虑多阶段投资等问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -