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1、 好学者智，善思者康 400-810-2680三角形的三边关系 学习要求内容基本要求略高要求较高要求三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会正确对三角形进行分类：理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；了解三角形的内心、外心、重心会用尺规法作给定条件的三角形；会运用三角形内角和定理及推论；会按要求解三角形的边、角的计算问题；能根据实际问题合理使用三角形的内心、外心的知识解决问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关问题例题精讲板块一 三角形的基本概念定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。实例：雨伞、彩旗、灯罩
2、、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、金字塔、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。你还能列举出生活中哪些三角形吗？三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。三角形稳定性的实例：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥中的三角形。板块二与三角形有关的边与三角形相关的边三角形中的三种重要线段三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线注：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心，而且它一定在三角形内部三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的
3、线段叫做三角形的中线注：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的中心，而且它一定在三角形内部三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 注：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，直角三角形有两条高分别与两条直角边重合反之也成立画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高三角形三条边的关系三角形三边关系：三角形任何两边的和大于第三边 三角形
4、三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边即、三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形【例1】 下列线能否组成三角形A B C D【巩固】在下列长度的线段中，能组成三角形的是( )A， B， C， D，【巩固】下列不能构成三角形三边长的数组是( )A、 B、 C、 D、【例2】 如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是( )A5米B10米C15米D20米【巩固】已知三角形的两边长
5、分别为和，则此三角形的第三边的长可能是( )ABC D【巩固】 已知三角形三边长分别为，则的取值范围是( )A B C D【巩固】如果线段，能组成一个三角形，那么它们的长度的比可以是( )A B C D【例3】 已知三角形两边长为和，求它的周长的取值范围【巩固】已知三角形中两条边的长分别为、，且，求这个三角形的周长的取值范围( )A BC D【例4】 （1）一个三角形三边长分别为，则三角形的周长的范围是 （2）已知有两边长为、，其中，则其周长一定满足( )A B C D【例5】 已知三角形中两边长为2和7，（1）若第三边长为奇数，则这个三角形的周长为_（2）若这个三角形的周长为奇数，则第三边长
6、为_【例6】 （1）有三条线段，其中两条线段的长为和，第三条线段的长为，若这三条线段不能构成三角形，则的取值范围是 （2）已知三角形三边长分别为，则的取值范围是 （3）一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别是和，则三角形的第三边是 【例7】 判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例已知的三边分别为，（1）以，为三边的三角形一定存在（2）以，为三边的三角形一定存在【巩固】判断说理，正确的说明理由，错误的举出反例已知的三边分别为， 以、为三边的三角形一定存在 以、为三边的三角形一定存在【例8】 如图，四边形中，则的取值范围 【例9】 不等边三角形中，如果一条边长等于另两条边长的平均值，那么，最大
7、边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是 【巩固】在不等边三角形中，如果有一条边长等于另两条边长的平均值，那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A B C D 【巩固】不等边三角形的两条高长度为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长【例10】 、为三角形的三边长，化简，若此三角形周长为，求上面式子的值【巩固】、为三角形的三边长，化简【例11】 已知在中，求边上的中线的取值范围【例12】 下列长度的线段能否组成三角形：、()；【例13】 下列长度的线段能否组成三角形：、()；【巩固】 下列线段能组成三角形的是( )A， B， C， D，【巩固】 下列长度的线段能否组成三角形
8、：、()；【巩固】 下列长度的线段能否组成三角形：、()；【巩固】 长度分别为、的木棒，从中任意取三根，能组成多少个三角形？【例14】 已知三角形的三边长、都是整数，且，如果，求满足题意的三角形的个数【巩固】 已知三角形三边的长、都是整数，且，若，则有 个满足题意的三角形【例15】 周长为，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个？【巩固】 将三边长为，的三角形记作写出周长为20，各边长为正整数的所有不同的三角形【例16】 设、均为自然数，足，试问以、为边长的三角形有多少个?【例17】 若三角形的周长为，求最大边的范围【巩固】 已知的周长是，求最大的边的范围【例18】 设的三边、的长度均为自
9、然数，且，则以、为三边的三角形共有 个【巩固】 设、均为自然数，且，试问以、为边长的三角形有多少个?【巩固】 若三角形三边长、是三个连续的自然数，三角形的周长小于，这样三角形有 个【例19】 用根火柴棒首尾顺序连接摆成一个三角形，能摆成不同的三角形的个数为 【巩固】现有长度分别为，的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数为 【例20】 在平面内，分别用根、根、根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示： 根火柴能搭成三角形吗？ 根、根火柴能搭成几种不同形状的三角形？ 【例21】 将长度为(为自然数且)的一根铅丝折成各边长均为整数的三角形，记为三边的长分别为，且满足的一
10、个三角形（1）就、的情况，分别写出所有满足题意的；（2）有人根据中的结论，便猜想：当铅丝的长度为(为自然数且)时，对应的的个数一定是事实上，这是一个不正确的猜想；请写出时的所有，并回答的个数；（3）试将时所有满足题意的，按照至少两种不同的标准进行分类【例22】 如图，是内任意一点，求证：（1）；（2）【巩固】已知，如图，为三角形内两点，构成凸四边形，求证：【巩固】如图，在中取一点，使，求证：【例23】 如图，为内一点，试说明【巩固】如图，在三角形中，为三角形内任意一点，连结，并延长交于点求证：（1）；（2）【巩固】如图所示，在中，在上，是上的任意一点，求证 【例24】 点、分别在的边、和上，且
11、满足，求证：的周长与的周长之间有不等式课后作业1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A1，2，5 B4，5，9C5，8，15 D，8，92. 已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为( )A8 B7 C6 D43. 两根木棒的长分别是7和10，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是，则的取值范围是_4. 一个三角形三边长分别为，则的取值范围是 5. 一个三角形的周长为偶数，其中的两条边长分别为4和2003，则满足上述条件的三角形的个数为( )A1个 B3个 C5个 D7个6. 有三条线段，其中两条线段的长为和，第三条线段的长为，若这三条线段不能构成三角形，则的取值范围是 7. 已知有长为，的线段若干条，任取其中三条构造三角形，则最多能构成形状或大小不同的三角形个数是 8. 将长为的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有多少种10.2.1三角形的三边关系 讲义学生版 page 12 of 12