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1、解直角三角形中考要求内容基本要求略高要求较高要求解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题例题精讲板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： 三边之间的关系： (勾股定理)； 锐角之间的关系：； 边角之间的关系：，.三、 解直角三角形的四种基本类型 已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则，； 已知
2、斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，； 已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，； 已知两直角边(如和)，求出，由，得.具体解题时要善于选用公式及其变式，如可写成，等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在中，故，.利用这些关系式，可在
3、解题时进行等量代换，以方便解题（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：作垂线构成直角三角形；利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】 在三角形中，则的长度为（ ）A B C D【例2】 已知中，根据下列条件解直角三角形：，；【例3】 已知中，根据下列条件解直角三角形：，.【例4】 如图，在中，已知，如果，求的长
4、度【例5】 如图所示，在中，是边上的一点，且，求和的值【例6】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球，是地面上相距米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角，求汽球的高度（精确到0.1米，=1.732） 【例7】 如图，在中，已知，求中各内角的度数【例8】 如图，已知：是等腰直角三角形，过的中点作，垂足为，连接，求的值.【例9】 如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面点测得的仰角为45，从地面点测得的仰角为60已知米，点和直线在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）【例10】 已知：如图，中，是上一点，求的度数及的长 板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要
5、概念 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角如图 坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则坡度越大，坡面就越陡如图 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）度.如图2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题： 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义； 找出要求解的直角三角形有些图形虽然不
6、是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例11】 如图，一艘核潜艇在海面下米点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行米后再次在点处测得俯角为正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子点处距离海面的深度？（精确到米）【巩固】一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在处测量时，测角器中的(量角器零度线和铅垂线的
7、夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点处(点在同一直线上)，这时测角器中的，那么小山的高度约为()68米70米121米123米(注：数据，供计算时选用)【巩固】在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点处观测到河对岸水边有一点 ，测得在北偏西的方向上，沿河岸向北前行20米到达处，测得在北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度(参考数值：，)【例12】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部
8、，颖颖的头顶及亮亮的眼睛恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置，然后测出两人之间的距离，颖颖与楼之间的距离（在一条直线上），颖颖的身高，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【例13】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角求的度数；求这棵大树折断前的高度（结果精确到个位，参考数据：）C6038BDE23AF【例14】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高，深为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角为，设台阶的
9、起点为，斜坡的起点为，求的长度（精确到）【例15】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌，甲乙两人分别在相距8米的、两处测得点和点的仰角分别为和，且、三点在一条直线上，若米，求这块广告牌的高度(取，计算结果保留整数)【例16】 由山脚下的一点测得山顶的仰角是，从沿倾斜角为的山坡前进米到，再次测得山顶的仰角为，求山高. （二）、坡度角【例17】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽，使坡度由原来的变成，如图所示，已知原来背水坡长，堤长，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据1.7，2.7)【巩固】我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，斜坡米，坡角，为防夏季因瀑雨
10、引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚不动，从坡顶沿削进到处，问至少是多少米（结果保留根号）？ 【例18】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角为55，外口宽为180 mm，燕尾槽的深度为70 mm，求它的里口宽（精确到1 mm）【例19】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为，从乙的顶部测得甲的顶部的仰角为，测得甲的底部的俯角为，求两建筑物的高. （三）、方位角【例20】 如图，是某市环城路的一段，都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是经测量花卉世界位于点的北偏东45方向、点的北偏东30方向上
11、，（1）求之间的距离； （2）求之间的距离 【例21】 如图所示，某轮船以30海里时的速度航行，在点处测得海面上的哨所在南偏东，向北航行40分钟后到达点，测得哨所在南偏东，轮船改变为北偏东的航向再航行2小时到达点，若在上存在一点，点在点的南偏东处，且在点的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从点到点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?【巩固】如图，公路和公路在处交会，且，点处有一所学校，假设拖拉机行使时，周围以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路上沿的方向以的速度行使时， 学校是否会受到噪音的影响？为什么？ 若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？ 【例22】 如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西方向前进，乙船以每小时的速度沿东北方向前进，甲船航行到达处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东的方向追赶，结果两船在处相遇. 甲船从处追上乙船用了多长时间？ 甲船追赶乙船的速度是多少？（四）其它【例23】 公园里有一块形如四边形的草地，测得米，请你求出这块草地的面积【例24】 如图所示，已知在中，是上一点，垂足为，.求： 的长； 的长.【例25】如图，在中，是边上的中线，且于，若，求的长.【例26】如图，已知RtABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积.14.3.1解直角三角形 题库版教师版 page 9 of 10