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1、相似三角形【重点难点提示】重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质，以及综合运用这些知识证明线段相等、角相等、直线平行，比例式和等积式等难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形考点：综合运用相似三角形的判定与性质证明比例式、等积式、线段相等、角相等【经典范例引路】例1 如图，已知等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CGAB，BG分别交AD，AC于E、 F，求证：BE2EFEG例2 已知：如图，AD是RtABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于F，求证：=证法一：如图，在RtABC中，BACRt，ADBC，3C，又E是RtADC的斜边AC
2、上的中点，ED=ACEC，2C，又12，13，DFBAFD，DFBAFD， （1）又AD是RtABC的斜边BC上的高，RtABDRtCAD，= （2）由（1）（2）两式得=，故=证法二：过点A作AGEF交CB延长线于点G，则= （1）E是AC的中点，EDAC，D是GC的中点，又ADGC，AD是线段GC的垂直平分线，AGAC （2）由（1）（2）两式得：=，证毕。【解题技巧点拨】本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证【综合能力训练】一、填
3、空题1.已知：在ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件ACP= 或APC=或 AC2= 时，ACPABC2.两个相似三角形周长之比为49，面积之和为291，则面积分别是 。3.如图，DEFG是RtABC的内接正方形，若CF8，DG4，则BE 。4如图，直角梯形 ABCD中，ADBC，ADCD，ACAB，已知AD4，BC9，则 AC。5ABC中，AB15，AC9，点D是AC上的点，且AD=3，E在AB上，ADE与ABC相似，则AE的长等于。6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则BDC的度数为。7.ABC中，ABAC，A36，BC1，BD平分ABC交于D，则BD ，AD ，设ABx
4、,则关于x的方程是 .8如图，已知D是等边ABC的BC边上一点，把ABC向下折叠，折痕为MN，使点A落在点D处，若BDDC23，则AMMN= 。二、选择题9.（2001年杭州市中考题）如图，在正ABC中，D、E分别在AC、AB上，且=，AE=BE，则有（）AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD10（2001年河北省中考题）如图，在ABC中，D为AC边上一点，DBCA，BC=，AC3，则CD的长为（ ）A.1B.C.2D.11（2001年陕西省中考题），如图，ABCD中，G是 BC延长线上一点，AG与 BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ）A3对 B4对 C5
5、对 D6对12（2001年安徽省中考题）P是RtABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）A1条 B.2条 C3条 D4条13如图，在直角梯形 ABCD中，AB7，AD2，BC=3，若在 AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个三、解答下列各题14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经
6、过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？15（2001年青岛市中考题）已知：如图，正方形DEFG内接于RtABC，EF在斜边BC上，EHAB于H求证：（1）ADGHED；（2）EF2BEFC16（2001年长沙市中考题）如图，ABC中，ABAC，D在BC边上，若DFAB，垂足为F，DGAC，垂足为G，且 DFDG（1）求证：ADBC；（ 2）画出ABC的外接圆，设BE是外接圆直径，求证：AB2ADBE17（2001年甘肃省中考题）如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的长和宽各是多少？
7、18如图，已知：四边形中，P为AB上一点，且ACPABC，ADP=ABD，求证：AC=AD19已知：如图，RtABC中，ACB是直角，CDAB，M是CD上的点，DHBM，DH交BM于点 H，交 AC的延长线于点 E，求证：（1）AEDCBM；（2）AECMACCD20（2001年厦门市中考题）如图，矩形ABCD，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE5cm，且tgEFC，（1）求证：AFBFEC；（2）求矩形ABCD的周长21如图，在梯形ABCD中，ABCD， AB125， CDDA 80，对角线BD能否把梯形分成两个相似的三角形？若不能，给出证明；若能，求出BC、BD的长【创新思维训练】22如图，已知RtABC与RtDEF不相似，其中C、F为直角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使ABC所分成的两个三角形与DEF所分成的两个三角形分别对应相似？能的话，请设计出一种分割方案，并给以证明23（2001年重庆市中考题）已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC，交AB于F，连结FC（ABAE）（1）AEF与EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设k，是否存在这样的k值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由5