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1、相似三角形的综合题一、与三角形有关的相似问题【例1】 如图，在中，点在边上，若在增加一个条件就能使，则这个条件可以是 【例2】 如图，、是的边、上的点，且，求证：.【例3】 如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，求的长.【例4】 直线与的边相交于点，与边相交于点，下列条件：；中，能使与相似的条件有（ ）A1个B2个C3个D4个【例5】 如图，中，点是内一点，使得，则 【例6】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求【例7】 如图，已知中，与相交于，则的值为（ ）A. B.1 C. D.2【例8】 在中，的延长线交的延长线于， 求证：.【例9】 如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的
2、延长线相交于，求证：【例10】 如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.【例11】 如图，已知，若，求证：.【例12】 如上图，垂足分别为、，和相交于点，垂足为.证明：.【例13】 如图，已知，找出、之间的关系，并证明你的结论.【例14】 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、及的延长线分别相交于点、和.求证：【例15】 已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长线交于求证：【例16】 已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：【例17】 如图， 中，若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则
3、；若分别是的中点，则_.【例18】 如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积分别为，则的面积是 【例19】 如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（ ）ABCD【例20】 如图，梯形中，两条对角线、相交于，若，那么 二、与平行四边形有关的相似问题【例21】 如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、，若，则的长是 【例22】 如图，已知，求证：.【例23】 如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值【例24】 如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，且与的交点为点
4、，求的面积。【例25】 如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.三、与梯形有关的相似问题【例26】 如图，在梯形中，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长【例27】 已知：如图，在梯形中，是的中点，分别连接、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【例28】 如图，在梯形中，分别是的中点，交于，交于，求的长 【例29】 如图，已知梯形中，,(),交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似
5、，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.四、与内接矩形有关的相似问题【例30】 中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【例31】 如图，已知中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【例32】 如图，已知中，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长【例33】 如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，求的面积【例34】 如图，在中，动点(与点，不重合)在边上，交于点当的面积与四边形的面积相等时，求的长当的周长与四边形的周长相等时，求的长试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长五、与旋转有关的
6、相似问题【例35】 如图，直角梯形中，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已知，则的值为（ ）A B C D 【例36】 如图，四边形和均为正方形，求_.【例37】 （1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：（2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论【例38】 把两块全等的直角三角板和叠放在一起，是三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证此时， （2）将三角板由图1的
7、所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中，问的值是否改变？说明你的理由（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠的部分面积为，求于的函数关系式六、与相似有关的动点问题【例39】 如图，中，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？【例40】 如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间 当为何值时，为等腰直角三角形？ 求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论 当为何值时，以点为顶点的三角形与相似【例41】 如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别
8、沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒若厘米，秒，则_厘米；若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形 的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由相似三角形综合题（中考）1已知：直角梯形OABC中，CBOA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QHOA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果BPQPHA，则点P的坐标为2 如图，在平面直角坐标系中，点C的
9、坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？（2）当t为何值时，PQOB？（3）当t为何值时，PQAB？（4）当t为何值时，OPQ是等腰三角形？ 3 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终
10、点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由4 （2012镇江）等边ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边APD和等边APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x若BM=3/8，求x的值；求四边形ADPE与ABC重叠部分的面积S与x之间的函数关系式以及S的最小值
11、；连接DE分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）当x为何值时，BAD=15？此时，以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由5（2012漳州）如图，在OABC中，点A在x轴上，AOC=60，0C=4cmOA=8cm动点P从点0出发，以1cm/s的速度沿线段OAAB运动；动点Q同时从点O出发，以acm/s的速度沿线段OCCB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动设运动时间为t秒（1）填空：点C的坐标是（ ， ），对角线OB的长度是 cm；（2）当a=1时，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大？（3）当点P在OA边
12、上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M若以O、M、P为顶点的三角形与OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围6（2012玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连
13、接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？7（2012宜昌）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90点E为底AD上一点，将ABE沿直线BE折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F（1）点E可以是AD的中点吗？为什么？（2）求证：ABGBFE；（3）设AD=a，AB=b，BC=c 当四边形EFCD为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系； 在的条件下，当b=2时，a的值是唯一的，求C的度数8 （2012威海）探索发现已知：在梯形ABCD中，CDAB
14、，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N（1）如图，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线（2）如图，如果ADBC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由学以致用仅用直尺（没有刻度），试作出图中的矩形ABCD的一条对称轴（写出作图步骤，保留作图痕迹）9（2012三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPE=1/2ACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点（1）当点P与点C重合时（如图1）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：BF/PE = ,并结合图2
15、证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若ACB=，求BF/PE的值（用含的式子表示）10 （2012莆田）（1）如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于点D求证：AB2=ADAC；（2）如图，在RtABC中，ABC=90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点FAB/BC=BD/DC=1,求AF/FC的值；（3）在RtABC中，ABC=90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F若AB/BC= BD/DC=n，请探究并直接写出AF/FC的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明11 （2011哈
16、尔滨）已知：在ABC中，BC=2AC，DBC=ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E（1）如图1，当ACB=90时，则线段DE、CE之间的数量关系?（2）如图2，当ACB=120时，求证：DE=3CE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，DKG和DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K，延长DK交AB于点H若BH=10，求CE的长12（2012长春）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8cm，BC=4cmD、E分别为边AB、BC的中点，连接DE点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止点P在线段AD上以1/5cm/s的速度运动，
17、在折线DE-EB上以1cm/s的速度运动当点P与点A不重合时，过点P作PQAC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M在线段AQ上设点P的运动时间为t（s）（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为 cm（用含t的代数式表示）（2）当点N落在AB边上时，求t的值（3）当正方形PQMN与ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式（4）连接CD，当点N与点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中点处，直接写出在点P的
18、整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围13.（2012哈尔滨）已知：在ABC中，ACB=90，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MNAC于点N，PQAB于点Q，AQ=MN（1）如图1，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，DKE=ABC，EFPM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长14.（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若AF/EF=3，求CD/CG的值（1）尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是 ，CG和EH的数量关系是 . CD/CG的值是 （2）类比延伸,如图2，在原题的条件下，若AF/EF=m（m0），则CD/CG的值是 （用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若AB/CD=a，BC/BE=b，（a0，b0），则AF/EF的值是 （用含a、b的代数式表示）