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1、第二章第二章有限差分法有限差分法)()(2222xqdxwdxEJdxd力边界力边界位移边界位移边界022kxwdxdwdxwdx钱学森指出：钱学森指出：“今日今日的力学要充分利用计算机的力学要充分利用计算机和现代计算技术去回答一和现代计算技术去回答一切宏观的实际科学技术问切宏观的实际科学技术问题，计算方法非常重要题，计算方法非常重要” v 有限差分法是数值求解微分方程的方法之一有限差分法是数值求解微分方程的方法之一有限差分公式，差分方程，差分格式有限差分公式，差分方程，差分格式)()(rhuxuurr)(xuxhh2rhh5h4h3u1.函数在离散点上的表示函数在离散点上的表示rrurhux
2、u)()( , 2 , 1 , 0r( )u xkh1, srsr, 1sr, 11, srsr,khxysrsruskrhuyxu,),(),(), 2, 1, 0;, 2, 1, 0( sr二维二维1,11,1rsr suurh skuu rh sk相邻的节点相邻的节点lhkxz1,lsrlsr, 1, lsr, 11,lsrlsr, 1, lsr, 1lsr , ,(,)(, )rstr s tu xy zu rh sk tlu(0, 1, 2, ; 0, 1, 2, 0, 1, 2, )rst三维三维2.单变量函数导数的有限差分公式单变量函数导数的有限差分公式rrrxxxxxxxxxr
3、ruhuhuhxuhxu! 3! 2)()(32rrrxxxxxxxxxrruhuhuhxuhxu! 3! 2)()(32rrrxxxxxxxrrxxuhuhhxuhxuu! 3! 2)()(22()()2!3!rrrrrxxxxxxxxxu xu xhhhuuuh211-23!rrxxxxrruuhuuhv 不同形式一阶导数差分公式及其截断误差不同形式一阶导数差分公式及其截断误差huuhxuhxuuurrrrrxxxr1)()()(huuhhxuxuuurrrrrxxxr1)()()(huuurrrx2)(112211( ) , ()2( ) , ()2() , ()6xxrrx xrxxr
4、rx xxxxrrx xhuo hxxxhhEuo hxhxxhuo hxxx中心差商中心差商向前差商向前差商向后差商向后差商v 二阶导数差分公式及其截断误差二阶导数差分公式及其截断误差2112)(huuuurrrrxx2211() , ()12rrxxxxrrrx xhEuo hxxx v 差分算子以及符号差分算子以及符号rrruuu11rrruuu2/12/1rrruuuE1rruEu2/ )(2/12/1rrruuuDrxxxrudxduDur)()/(符符 号号算算 子子差差 分分 表表 示示 式式向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分移位移位平均平均微分微分v不同算子间关系
5、不同算子间关系 1(1)rrrrrruuuEuuEu1E 111(1)rrrrrruuuuE uEu11E 1/21/211+()22rrrrruuuuu 21/21/211()()2rrrrrrruuuuuuu 32112-2u+2u-u2rrrrruu2312233()()()2!3! (1)exp()2!3!rrxrxxrxxrrrhhuuh uuuh Dh DhDuhD u1rrEuuexp()EhD232311ln(1)23ln11ln(1)23hDE 或或2sinh()2hD1/22233( / 2)( / 2)( / 2)()()()2!3!( / 2)( / 2) (1 ( /
6、 2)exp()2!3!2rrxrxxrxxxrrrhhuuhuuuhDhDhDhDuu1/22233(/ 2)(/ 2)(/ 2)()()()2!3!(/ 2)(/ 2) (1 (/ 2)exp()2!3!2rrxrxxrxxxrrrhhuuhuuuhDhDhDhDuu 两式相减两式相减1/21/2exp()exp()22rrrrrhDhDuuuuuexp()exp()22hDhD或或213324132sinh ( )22 3!2 5!hD232311ln(1)23ln11ln(1)23hDE 一阶导数：一阶导数：2311()()23xrrh uu 2311()()23xrrh uu 351
7、1()()3!30 xrrh uu 二阶导数：二阶导数：223411()()12xxrrh uu 223411()()12xxrrh uu 224611()()1290 xxrrh uu三阶导数：三阶导数：334537()()24xxxrrh uu 334537()()24xxxrrh uu 335717()()4120 xxxrrh uu 四阶导数：四阶导数：445617()(2)6xxxxrrh uu 445617()(2)6xxxxrrh uu 446817()()6240 xxxxrrh uuv 单变量函数导数的有限差分公式单变量函数导数的有限差分公式3.多变量函数导数的有限差分公式多
8、变量函数导数的有限差分公式v 二元函数一阶偏导数的有限差分公式二元函数一阶偏导数的有限差分公式1,( , )(),( )rsrsr sxr sx xy yuuu x yuo hxh,1,( , )(),( )rsr sr syr sx xy yuuu x yuo kyk保持下标保持下标s不变（即不变（即y =常数）常数）中保持中保持r不变（即不变（即x =常数）常数）,()xr su,()yr suhkv 二元函数偏导数的有限差分公式（二元函数偏导数的有限差分公式（h=k）v 微分方程简单回顾微分方程简单回顾在力学、物理学等领域中，各个定律并不一定直接由某在力学、物理学等领域中，各个定律并不一
9、定直接由某些表征物理量的未知函数与自变量间的量的规律给出，些表征物理量的未知函数与自变量间的量的规律给出，而往往是由这些函数和它们对自变量的各阶导数或偏导而往往是由这些函数和它们对自变量的各阶导数或偏导数的关系给出，这种带有导数或微分符号的未知函数的数的关系给出，这种带有导数或微分符号的未知函数的方程称为方程称为微分方程微分方程 一般地，微分方程中，如果其中的未知函数只与一个自一般地，微分方程中，如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程，记为变量有关，则称为常微分方程，记为x为自变量，为自变量，y(x)为未知函数，为未知函数，y, y,y(n)为未知函为未知函数的各阶导数或微分。
10、方程中所含未知函数导数的数的各阶导数或微分。方程中所含未知函数导数的最高阶数（例如最高阶数（例如n ）称为这个方程或方程组的阶（例）称为这个方程或方程组的阶（例如：如：n 阶常微分方程）。阶常微分方程）。1. 常见描述力学问题的微分方程常见描述力学问题的微分方程物体运动方程物体运动方程( ) , ( )dsdvv ta tdtdt梁的静力平衡方程梁的静力平衡方程 ( ) , ( )dMdQQ xq xdxdx振动方程振动方程 )(22tfbsdtdsadtsd圆薄膜振动方程圆薄膜振动方程 022kxwdxdwdxwdx微分方程中，如果其中的未知函数与多于一个的自变量微分方程中，如果其中的未知函
11、数与多于一个的自变量有关，则称为偏微分方程，记为有关，则称为偏微分方程，记为其中，其中， u=(x1,x2,xm) , (m 2)为未知函数；为未知函数；F 是关于是关于x1,x2,xm ，u以及以及u的有限个偏导数的已知函数。如的有限个偏导数的已知函数。如果在果在F 中含有中含有u 的偏导数的最高阶为的偏导数的最高阶为n ，则称为，则称为n 阶偏阶偏微分方程。如果微分方程。如果F 关于关于u 及其导数是齐次的，则称微分及其导数是齐次的，则称微分方程是齐次的。方程是齐次的。悬索挠度方程悬索挠度方程 0)(1222dxdyHwdxyd梁的挠度方程梁的挠度方程 )()(2222xqdxwdxEJd
12、xd圆柱壳的轴对称弯曲方程圆柱壳的轴对称弯曲方程 DxqwDaEhdxwd)(244弹性基础上梁的挠度方程弹性基础上梁的挠度方程 )(44xqkwdxwdEJ拉普拉斯方程拉普拉斯方程 )2(02222Dyx )3(0222222Dzyx 热传导或扩散方程热传导或扩散方程 2222yvxvtva弦的振动方程弦的振动方程 22222xYatY双调和方程双调和方程 024422444yyxx薄板的弯曲方程薄板的弯曲方程 4( , )Dwq x y所有的物理学、力学等学科领域中的微分方程，都是所有的物理学、力学等学科领域中的微分方程，都是根据一些根据一些基本定律以及实验现象基本定律以及实验现象为基础建
13、立的。在这为基础建立的。在这些方程中的量，包括些方程中的量，包括自变量和特定函数的物理量自变量和特定函数的物理量，都，都是有量纲的物理量。由是有量纲的物理量。由量纲分析和相似理论量纲分析和相似理论，这些物，这些物理量所组成的物理方程都可以化为理量所组成的物理方程都可以化为无量纲形式无量纲形式。在这。在这种无量纲形式的微分方程中，所有的自变量和有着特种无量纲形式的微分方程中，所有的自变量和有着特定物理意义的函数表征的量都是无量纲，并且还会出定物理意义的函数表征的量都是无量纲，并且还会出现一些决定这个物理系统的现一些决定这个物理系统的无量纲常数无量纲常数相似模量相似模量。这种无量纲形式的微分方程，
14、才是这种无量纲形式的微分方程，才是纯数学的微分方程纯数学的微分方程，其是一类可以描述很多不同物理现象的微分方程。其是一类可以描述很多不同物理现象的微分方程。在具体求解微分方程时，必须附加某些在具体求解微分方程时，必须附加某些定解条件定解条件，微，微分方程和定解条件一起组成定解问题。对于高阶微分分方程和定解条件一起组成定解问题。对于高阶微分方程，定解条件通常有三种提法：方程，定解条件通常有三种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，这类条件一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，这类条件称为初始条件，相应的定解问题称为称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题初值问题；一种是给出了积分曲线在边界
15、上的性态，这类条件称一种是给出了积分曲线在边界上的性态，这类条件称为边界条件，相应的定解问题称为为边界条件，相应的定解问题称为边值问题边值问题；最后一种是既给出部分初始条件，又给出部分边界条最后一种是既给出部分初始条件，又给出部分边界条件，即混合定解条件，相应的定解问题称为件，即混合定解条件，相应的定解问题称为混合问题混合问题。2. 常微分方程的差分格式构造与求解常微分方程的差分格式构造与求解( )( )( ),()yp x yq x yr xaxb111000)()( , )()(bybyayay111122()()()2nnnnnnnnnyyyyyp xq xyr xhh 利用有限差分公式
16、将上述常微分方程离散化利用有限差分公式将上述常微分方程离散化 将求解区域离散为将求解区域离散为x0，,xN N1个节点个节点()hbaN0,(0,1,)nxxnh nN 定解条件差分格式表示定解条件差分格式表示1111000010 , NNNyhyyyhyy 整理微分方程与定解条件，将微分方程转化为代数方程组整理微分方程与定解条件，将微分方程转化为代数方程组byA111112111210000224222420hhpqhhphpqhhphNNNATNhrhrhrhh 2 2 2 11222120bTNyyyy 210y其中：其中：例例1 用差分法求解边值问题：用差分法求解边值问题： 1) 1
17、( , 0)0() 10( , )()(yyxxxyxy解：解：取步长取步长h0.1，节点，节点xn=0.1n (n=0,1,10)12210101221109 . 01021 . 0102010002102422102420010yyy 数值计算结果：数值计算结果： 解析结果：解析结果：结果比较：结果比较：3. 偏微分方程的差分格式构造与求解偏微分方程的差分格式构造与求解v二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类),(),(),(),(),(),(2),(22222yxgyxfyyxexyxdyyxcyxyxbxyxa双曲型物型 ,0,0椭圆型,0:2抛acb利用这个判别式，可以判定波动方程
18、、弦振动方程隶属利用这个判别式，可以判定波动方程、弦振动方程隶属于双曲型方程，静电场、静磁场方程隶属于椭圆型方程，于双曲型方程，静电场、静磁场方程隶属于椭圆型方程，热传导方程隶属于抛物型方程。热传导方程隶属于抛物型方程。一维对流方程可表示为下式一维对流方程可表示为下式其中其中 c 为常数，该方程可刻画流体运动等某些物理现象。为常数，该方程可刻画流体运动等某些物理现象。例如例如:流体在平直管道中的等速单向流动并忽略了管壁与流体在平直管道中的等速单向流动并忽略了管壁与流体的摩擦，此时流体的摩擦，此时u 表示流体的密度，为时间表示流体的密度，为时间t 与沿管与沿管道方向的坐标道方向的坐标x 的函数，
19、常数的函数，常数c 为流速。为流速。一维扩散方程可表示为一维扩散方程可表示为其中其中a 0为常数，这是一个抛物型方程。其描述了热的为常数，这是一个抛物型方程。其描述了热的传导，粒子的扩散等问题。对于细长绝缘杆的热传导问题传导，粒子的扩散等问题。对于细长绝缘杆的热传导问题来说，在材料密度、比热和导热系数均为常数的假设下，来说，在材料密度、比热和导热系数均为常数的假设下，方程中的系数方程中的系数a 是由这些材料特性确定的常数，而是由这些材料特性确定的常数，而u 是温是温度，它是时间度，它是时间t 与沿杆方向坐标与沿杆方向坐标x 的函数。的函数。v 偏微分方程的差分格式偏微分方程的差分格式=, 0,
20、 1, 2, =, 0, 1, 2, jnxxhj jttnn)(,)()0 ,()0,(,022RRxxfxutxxuatu )(, )()0 ,()0,(,0RRxxfxutxxuctu 求解区域剖分求解区域剖分 差分格式（方程）差分格式（方程） , 2, 1, 0;, 2, 1, 000, 1,1,nj, fuhuucuujjnjnjnjnj对流方程：对流方程：向后差分向后差分中心差分中心差分向前差分向前差分 , 2, 1, 0;, 2, 1, 0020,2, 1, 1,1,nj, fuhuuuauujjnjnjnjnjnj扩散方程：扩散方程：其与对流差分方程中的网格比不同其与对流差分方
21、程中的网格比不同共同的特征：共同的特征：一是差分格式仅涉及两个时间层（一是差分格式仅涉及两个时间层（ n 层和层和n +1层），这种格式称为二层格式，采用这种格式层），这种格式称为二层格式，采用这种格式来计算第来计算第n +1层层 uj,n+1 时均只用到第时均只用到第n层的信息；层的信息；二是格式提供了逐点计算二是格式提供了逐点计算 u j,n+1的直接表达式，的直接表达式，使得很容易从第使得很容易从第n层推进到第层推进到第n +1层，具有这层，具有这种特征的格式称为显式格式。种特征的格式称为显式格式。因此，前面的差分格式都是二层显式差分格式因此，前面的差分格式都是二层显式差分格式. , 2
22、, 1, 0;, 2, 1, 0020,2, 1, 1,1,nj, fuhuuuauujjnjnjnjnjnj扩散方程：扩散方程：当我们已知第当我们已知第n层的层的 u j ,n 后，要求解出第后，要求解出第n +1层的函层的函数值数值 uj,n+1 ，必须解一线性方程组，而不是直接给出，必须解一线性方程组，而不是直接给出 uj,n+1 的计算公式，这种格式称为隐式差分格式。的计算公式，这种格式称为隐式差分格式。 差分格式的分类差分格式的分类一阶格式、二阶格式、高阶格式等一阶格式、二阶格式、高阶格式等迎风格式、逆风格式、中心格迎风格式、逆风格式、中心格式等式等显示格式、隐式格式、显隐交显示格式
23、、隐式格式、显隐交替格式等替格式等例例1. 在区域在区域 内求解一维热传导混合问题内求解一维热传导混合问题: 0,0RxltT ), 0()(),(), 0(, )(), 0(), 0(, )()0 ,(), 0, 0(,02122Tt,tgtluTttgtulxxxuTtlxxuatu x=0 x=l解：解：1. 将求解区域离散，将求解区域离散，xjjh (j=0,J)，tnn (n=0,N)2.定解问题的差分方程为：定解问题的差分方程为：,1,1,1,2,00,1,220, ( 1,2,1;0,1,1 )2(), (0,1,2, )(), (0,1,) (), (0,1,)j nj njn
24、j njnjnJ nuuuuuajJnNhujhjJug nnNugnnN 显示格式显示格式为方便起见，引入下面的向量和矩阵形式为方便起见，引入下面的向量和矩阵形式则定解问题的差分格式可写成矩阵则定解问题的差分格式可写成矩阵 隐式格式隐式格式,11,1,2,00,1,220, ( 1,2,1;0,1,1 )2(), (0,1,2, )(), (0,1,) (), (0,1,)j nj njnj njnjnJ nuuuuuajJnNhujhjJug nnNugnnN如图所示取如图所示取x，y方方向等距网格，由问题向等距网格，由问题的方程和边界条件可的方程和边界条件可知，该问题是对称的，知，该问题
25、是对称的，因此只需求解因此只需求解1、2、3点上的点上的 值值例例2. 在区域在区域 内求解内求解Possion方程的定解方程的定解 问题问题222: 0 xyR),( ,0),(),(,02222222Ryxyxyxyxfyx 解解: 求解区域及其网格离散如下求解区域及其网格离散如下对区域内的点（对区域内的点（x, y）有）有 利用偏微分方程的混合差分格式，该定解问题的差分利用偏微分方程的混合差分格式，该定解问题的差分 格式为格式为设在辅助坐标系设在辅助坐标系 中，函数中，函数 ( ,)在在3点附近可近似点附近可近似表示为表示为在辅助坐标系中，原微分方程可化为在辅助坐标系中，原微分方程可化为
26、利用几何关系，容易求得利用几何关系，容易求得m = sqrt(3) 1。精确解为精确解为1. 积分插值法积分插值法0 uucdxdttx考虑区域 对流积分方程12340u hcuu hcu1234,u u u u是各个边上的近似值()0txuncun ds)(, 1, 11,1,njnjnjnjuuhcuu234,11,1,1,1,1()20j njnjnjnjnuuuuuch2. 待定系数法待定系数法首先选取形式确定首先选取形式确定但系数待定的差分方程来逼近微分方程，然后在截断但系数待定的差分方程来逼近微分方程，然后在截断误差可能达到的范围内，按精度要求确定出差分方程误差可能达到的范围内，按
27、精度要求确定出差分方程的系数，构成具体的差分格式的系数，构成具体的差分格式 nkjkknjuau,1,v若定解问题的精确解为若定解问题的精确解为U(x,t)，则截断误差为：，则截断误差为：11(,)(,)jnkj knkEU x ta U xt利用利用Taylor级数展开有级数展开有v按截断误差的精度，可构造出不同形式的差分格式按截断误差的精度，可构造出不同形式的差分格式)(),()(61),()(21),()(),()1 (14333332322222hotxUxhakctxUxhakctxUxkahctxUaEnjkknjkknjkknjkk01kka0kkkahc0)(222hakckk
28、0)(3323hakckk10111101,11,1,1 , , 1, 22(1)22j njnj njnaaaaacchchaaachchuuuu 21011111222101222,11,1,1 , , ()()(), 1() , 22()()(1() )22j njnj njnaaaaacaachchchchchaachachchchchuuchuu 1. 差分格式的收敛性差分格式的收敛性差分格式的解能否逼近原方程的解？差分格式的解能否逼近原方程的解？设设u是微分方程的精确解，是微分方程的精确解， 是相应的差分方程的准确解，是相应的差分方程的准确解，如果当步长如果当步长 时，对于时，对于
29、j、n任何，有任何，有, j nu0,0h差分格式是收差分格式是收敛的敛的,1,1,1,02(1 2 )() 0, 1, 2, ; 0, 1, 2, /j nj njnjnjjuuuuuf, jnh网格比：显示差分格式显示差分格式220 , (R, 0)( ,0)( ) , (R)uuxttxu xf xx考虑扩散方程由由Taylor级数展开，可得级数展开，可得2422,24(, )( ,)()212jnjnj nx xt tu x tu x thEohtx令：令：,(,)j nj njneuu x t1.00nneen Met M：对于定解问题的某个差分格式，设初始层上引入误：对于定解问题的
30、某个差分格式，设初始层上引入误差差 ， 是第是第n层上的误层上的误差，如果存在常数差，如果存在常数K使得使得 ), 2, 1, 0( ,0,jej), 2, 1, 0( ,jenj0neK e是一种范数，是一种范数，比如模等比如模等0 uutx考虑对流方程,1,1,(1)/j nj njneeeh则误差传递满足1.差分法求解梁的弯曲问题差分法求解梁的弯曲问题v 梁的弯曲方程梁的弯曲方程)()(22xqdxxMd)()()(22xMdxxwdxEIv 差分格式差分格式iiiiqhMMM2112iiiiiMhwwwEI2112EhqwIwIIwIIIwIIwIiiiiiiiiiiiiiii4211
31、1111121)(2)4()(2EIhqwwwwwiTiiiii4211214641 例例1.等截面超静定梁如图所示，左端绞支右端固支。等截面超静定梁如图所示，左端绞支右端固支。在绞支端作用一力偶，梁的长度在绞支端作用一力偶，梁的长度L和截面抗弯刚度和截面抗弯刚度EI已知，求梁的挠度和绞支端的转角已知，求梁的挠度和绞支端的转角.解解：将梁四等分，则步长：将梁四等分，则步长hL/4v节点节点1，2，3的差分方程的差分方程101234640wwwww012344640wwwww123434640wwwwwv边界条件的差分格式边界条件的差分格式虚拟节点虚拟节点0410123302102wwwwwhE
32、Iwwh02122234013/(22)12/(22)5/(22)0wwhEIwhEIwhEIw100.1477AwwLhEI精确解精确解差分解差分解误差误差最大挠度最大挠度?13h2/(22EI)40%转角误差大，怎么办？转角误差大，怎么办？例例2. 文克尔弹性地基上的梁如图所示，已知梁的长度文克尔弹性地基上的梁如图所示，已知梁的长度 L6.096m，地基的等效弹性系数，地基的等效弹性系数k5104kNm2，抗弯刚度，抗弯刚度EI2.6336106kNm2 ，梁上作用均布载荷，梁上作用均布载荷 q14.88kN/m。求梁的挠度、弯矩及其地基反力。求梁的挠度、弯矩及其地基反力.解：解：由文克尔
33、假设，地基反力为由文克尔假设，地基反力为v因此弹性地基上的梁的挠曲方程为因此弹性地基上的梁的挠曲方程为v将地基梁四等分，则将地基梁四等分，则hL/4，对应的差分方程，对应的差分方程v节点节点1，2，3的差分方程的差分方程44110123464q hkhwwwwwEIEI44201234464q hkhwwwwwEIEI44312343464q hkhwwwwwEIEIv边界条件的差分格式边界条件的差分格式虚拟节点虚拟节点04101343220220wwwwwwwwhh04441322428442224280(10)412(14)412wwqhEIkhwwE IEIkhk hqhEIkhwE I
34、EIkhk h节点节点1、2、3的弯矩为的弯矩为101222123232342(2)40.16(2)52.67(2)40.16EIMwwwhEIMwwwhEIMwwwh 地基反力地基反力A 端处的支座反力端处的支座反力v弹性薄板理论弹性薄板理论从几何特征上从几何特征上讲，薄板是指讲，薄板是指tb的板的板1）中法线始终垂直于中面；）中法线始终垂直于中面；2）垂直于板中面的）垂直于板中面的应力很小，一般忽略不计；应力很小，一般忽略不计；3）弯曲后板的中面无）弯曲后板的中面无应变应变.根据板的几何变形特征应变与位移间的关系根据板的几何变形特征应变与位移间的关系薄板本构关系薄板本构关系22(), ()
35、, 110 xxyyyxxyxyzyzxzEEG基本假定：薄板面内力与位移间的关系薄板面内力与位移间的关系 /2 /2 /2 /2xxttxxzyyttyyzxyxyMQMzdzdzQM，222222222() () (1)xyxywwMDxywwMDyxwMDx y 2222222222()()()()xywwQDDwxxyxwwQDDwyxyy 薄板控制方程薄板控制方程4444224222, 1()xywwwDqxxyyMMDwMMqM 或，边界条件边界条件？边界条件边界条件0)(, 02222axaxxaxywxwDMw 0, 022axaxxww 简支简支固支固支0, 0axaxyww
36、 边界条件边界条件自由边自由边22223332()0()(2)0 xx ax axyxxx ax ax awwMDxyMwwVQDyxx y 滑动边滑动边33320(2)0 x ax awxwwxx y 2.薄板弯曲问题的有限差分法薄板弯曲问题的有限差分法13242210322222204222256782111111211211(2)11(2)11()()41()22xyxyxxnnxnnnwwwwxhhwwwwykkwwwwwxhhwwwwwykkwwwwwwx yhyhkwwwwwww 其中：，3391311333331024123334491031144444102041244411(
37、22)211(22)211(464)11(464)xyxywwwwwwxhhwwwwwwykkwwwwwwwxhhwwwwwwwykk91112101324444220567802244221111()()4()()2334()2()wwwwwwwwhkhh kqwwwwwh khkk hD132400222201324022221111()()2()1111()()2()MMMMMqhkhkMwwwwwhkhkD 或者013240222202413022220567801302411()()2()11()()2()(1)()411(), ()22xyxyxyMDwwwwwhkhkMDwwww
38、wkhkhDMwwwwhkQMMQMMhk 解：解：将薄板在将薄板在x方向和方向和y方向分别四等份，则方向分别四等份，则h=k=a/4，应，应用弯矩控制方程用弯矩控制方程2122123223422444MMqhMMMqhMMqh 23211289128725611qaMMMTT同理，可得挠度的控制方程同理，可得挠度的控制方程212121232223342/24/44/wwM hDwwwM hDwwM hD 14230.002140.002930.00403wqawDw2212432125432442442MMqhMMMMqhMMMMqh 2211232122323222435644/24/42/2/,2/,0wwM hDwwwM hDwwM hDwM hDwM hDM 222123224564441230.03792,0.03862,0.022300.026159,0.01369,00.00180,0.00121,0.00082MqaMqaMqaMqaMqaMqaqaqawwwDDD