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1、计算流体力学引论计算流体力学引论The Elements of Computational Fluid Dynamics第二章 有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述2.2 导数的数值逼近方法2.3 差分格式的性质2.4 发展方程的稳定性分析2.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1 基本方程和定解问题方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(Algebraic Difference Quotient)代替，则可以用一组代
2、数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(Finite Difference Method)。2.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分方法求解式(2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。1.空间求解域的离散化把空间求解域分为M段（均匀剖分）2.时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为 求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1 求解域的离散化 3.解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。4.导数的数值
3、逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。2.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。1.FTCS(Forward difference in Time,Central difference in Space)格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。对初始条件和边界条件的离散化式(2.1.9)(2.1.12)称为方程(2.1.1)的一个有限差分方程或有限差分格式(finite difference scheme)。2.BTCS(Backward difference in Time,Central difference in
4、Space)格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物理量作为待求的未知量。因此，式(2.1.13)可以改写成2.1.4 差分方程的求解1.FTCS 格式可以改写为可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示。图2.2：FTCS格式的模板点FTCS格式的求解过程2.BTCS 格式可以改写为跟FTCS格式不同，BTCS格式中同时涉及到 n+1 时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式(implicit scheme)。图2.3：BTCS格式的模板点BTCS格式的求解过
5、程2.1.5 用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程2.2 导数的数值逼近方法2.2.1 精度分析 在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析。一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。2.2.2 导数差分近似的待定系数法2.2.3 导数差分近似方法的差分算子法1.差分算子的定义 算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过
6、程。在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子移位算子。移位算子的运算规则为移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子：2.差分算子之间的关系所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。3.微分算子与差分算子的关系4.导数的近似 根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。即：即：与待定系数法得到的结果一致。即：5.紧致格式 从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差
7、分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式(compact scheme)。2.3 差分格式的性质2.3.1 范数的定义及性质1.向量范数2.算子范数2.3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(local truncation error)衡量差分格式逼近微分方程的程度。如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间
8、方向是二阶精度。2.3.3 差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。2.3.4 差分格式的收敛性和稳定性1.差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：FTCS格式：解向量记为：考虑到边界条件，则差分格式可以写为：2.整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度3.差分格式的收敛性和稳
9、定性差分格式的收敛性对于保证数值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收敛的，那么，当计算网格足够密时，数值解将相当接近精确解。差分格式的稳定性等价于差分方程数值解的一致有界性。上述定理建立了算子范数的一致有界性与稳定性之间的关系。当差分格式稳定时，整体截断误差和局部截断误差量级相同。Lax等价性定理是计算流体力学中的一个重要定理。直接分析差分格式的收敛性比较困难，而稳定性分析则比较简单。Lax定理告诉我们，在一定条件下，收敛性和稳定性是等价的；通过稳定性分析，即可确定差分格式的收敛条件。4.稳定性的意义2.4 发展方程的稳定性分析2.4.1 矩阵方法2.4.2 Von Neumann稳定性理论2.4.3 稳定性分析实例