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1、第1页共 10页高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程1已知两圆 C1： x+42+y2=2，C2： x42+y2=2，动圆 M 与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是Ax=0 BC D2、求适合以下条件的双曲线的标准方程：1焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；2顶点间的距离为6，渐近线方程为3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A，2和 B2，两点的双曲线的标准方程5、已知 P是双曲线=1上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，假设| PF1| =17，则| PF2| 的值为精选学习资料 - - - - - - - - -
2、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页第2页共 10页二、离心率1、已知点 F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，假设 PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为2、设 F1，F2是双曲线 C：a0，b0的两个焦点假设在 C 上存在一点P使 PF1PF2，且PF1F2=30，则 C 的离心率为3、双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点 a，0和0，b ，且点1，0到直线 l 的距离与点 1，0到直线 l 的距离之和则双曲线的离心率e 的取值范围是ABC D3、焦点三角形1、设 P是双曲线 x2=1的右支上的动点， F为双曲线的右焦点，已知 A3，
3、1 ，则|PA|+|PF| 的最小值为2、 已知 F1，F2分别是双曲线 3x25y2=75的左右焦点， P是双曲线上的一点，且 F1PF2=120，求 F1PF2的面积3、已知双曲线焦点在y 轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的 2 倍求：1双曲线的渐近线方程；2 假设 P为双曲线上一点， 且满足 F1PF2=60，求PF1F2的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页第3页共 10页4、直线与双曲线的位置关系已知过点 P1，1的直线 L与双曲线只有一个公共点，则直线 L的斜率 k= 5、综合题型如
4、图，已知椭圆12222byax(ab0) 的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1、F2为顶点的三角形的周长为4(21)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点， 设 P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和 C 、D. (1) 求椭圆和双曲线的标准方程；(2) 设直线 PF1 、PF2的斜率分别为 k1、k2，证明： k1k21；(3) 是否存在常数，使得|AB| |CD|AB| |CD|恒成立？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10
5、 页第4页共 10页高中数学双曲线经典例题参考答案与试题解析一选择题共2 小题1 2015 秋?洛阳校级期末已知两圆C1： x+42+y2=2，C2： x42+y2=2，动圆 M 与两圆 C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是Ax=0 BCD【解答】 解：由题意，假设两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆C1： x+42+y2=2，C2： x42+y2=2，动圆 M 与两圆 C1，C2都相切，| MC1| =| MC2| ，即 M 点在线段 C1，C2的垂直平分线上又 C1，C2的坐标分别为 4，0与 4，0其垂直平分线为y 轴，动圆圆心 M 的轨迹方程是 x=0假设一内切一外切， 不妨令与
6、圆 C1： x+42+y2=2内切，与圆 C2： x42+y2=2外切，则有 M 到4，0的距离减到 4，0的距离的差是2，由双曲线的定义知，点 M 的轨迹是以 4，0与 4，0为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得 b2=c2a2=14，故此双曲线的方程为综知，动圆 M 的轨迹方程为应选 D2 2014?齐齐哈尔三模双曲线的焦距为2c，直线 l过点a，0和0，b ，且点 1，0到直线 l 的距离与点 1，0到直线 l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页第5页共 10页的距离之和则双曲线的离心率e 的取值范围是ABC
7、D【解答】 解：直线 l 的方程为+=1，即 bx+ayab=0由点到直线的距离公式， 且 a1，得到点1，0到直线 l 的距离，同理得到点 1，0到直线 l 的距离 .，由，得 于是得 52e2，即 4e425e2+250解不等式，得e25由于 e10，所以 e 的取值范围是故选 D二填空题共5 小题3 2013 秋?城区校级期末已知P是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，假设 | PF1| =17，则| PF2| 的值为33【解答】 解：由双曲线方程知， a=8，b=6，则 c=10P是双曲线上一点，| PF1| | PF2| =2a=16，又| PF1| =17，| PF
8、2| =1或| PF2| =33又| PF2| ca=2，| PF2| =33故答案为 33精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页第6页共 10页4 2008 秋?海淀区期末已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，假设 PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为【解答】解：由题意，角 F1或角 F2为直角，不妨令角 F2为直角，双曲线方程=1此时 Pc，y ，代入双曲线方程=1解得 y=又三角形 PF1F2为等腰三角形得 PF2=F1F2，故得=2c，即 2ac=c2a2，即 e22e1=0，
9、解得 e=1故双曲线的离心率是故答案为5 2014 秋?象山县校级月考设P 是双曲线 x2=1 的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点，已知A3，1 ，则| PA |+| PF | 的最小值为2【解答】 解：设双曲线左焦点为F2，由双曲线的定义可得 | PF2| | PF | =2a，即| PF | =| PF2| 2a，则| PA |+| PF | =| PF2|+| PA| 2a| F2A| 2a，当 P、F2、A 三点共线时， | PF2|+| PA | 有最小值，此时 F22，0 、A3，1 ，则| PF2|+| PA | =| AF2| =，而对于这个双曲线， 2a=2，所以最小值为
10、2故答案为：2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页第7页共 10页6 2011 秋?张家港市校级期末与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是【解答】 解：设所求双曲线的方程为，已知双曲线的焦点为，0所求双曲线中的c2=5双曲线过点且 c2=a2+b2联立解得 a2=4，b2=1，双曲线的方程为故答案为：7 2013?湖南设 F1，F2是双曲线 C：a0，b0的两个焦点假设在 C上存在一点 P使 PF1PF2，且PF1F2=30 ，则 C的离心率为【解答】 解：依题意可知 F1PF2=90 | F1F2| =2
11、c，| PF1| =| F1F2| =c，| PF2| = | F1F2| =c，由双曲线定义可知 | PF1| | PF2| =2a=1ce= =故答案为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页第8页共 10页三解答题共4 小题8已知 F1，F2分别是双曲线 3x25y2=75的左右焦点， P是双曲线上的一点，且F1PF2=120 ，求 F1PF2的面积【解答】 解：由题意，双曲线3x25y2=75，可化为=1由 余 弦 定 理 可 得160=PF12+PF22 2PF1?PF2cos120= PF1 PF22+3P
12、F1?PF2=100+3PF1?PF2，PF1?PF2=20SF1PF2=PF1?PF2sin120 =20=5故答案为： A9 2014 春?湄潭县校级期中已知双曲线焦点在y 轴上， F1，F2为其焦点，焦距为 10，焦距是实轴长的2 倍求：1双曲线的渐近线方程；2假设 P为双曲线上一点，且满足F1PF2=60 ，求 PF1F2的面积【解答】 解： 1设双曲线方程为a0，b0 ，则焦距是实轴长的2 倍，c=2a，b=a，双曲线的渐近线方程为y=x； 2 由 余 弦 定 理 可 得4c2=PF12+PF22 2PF1?PF2cos60= PF1 PF22+PF1?PF2=4a2+PF1?PF2
13、，焦距为 10，2c=10，2a=5PF1?PF2=75SF1PF2=PF1?PF2sin60 =?75?=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页第9页共 10页10 2008 秋?岳阳校级期末求焦点在坐标轴上，且经过点A，2和 B2，两点的双曲线的标准方程【解答】 解：设所求双曲线方程为：mx2ny2=1， mn0 ，因为点 A，2和 B2，在双曲线上，所以可得：，解得，故所求双曲线方程为11 2009 秋?天心区校级期末求适合以下条件的双曲线的标准方程：1焦点在x 轴上，虚轴长为 12，离心率为；2顶点间的距离为6，渐近线方程为【解答】 解： 1焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得 a=8，c=10b2=c2a2=10064=36所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为2当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得 a=3，b= 所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页第10页共 10页同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页